第四章 平衡隨機過程和各態(tài)歷經(jīng)過程

第四章平衡隨機過程和各態(tài)歷經(jīng)過程第一頁，共七十七頁，2022年，8月28日在隨機過程的大家族中，有一類隨機過程，它的統(tǒng)計特性或者說統(tǒng)計變化規(guī)律與所選取的時間起點無關(guān)?；蛘哒f，整個隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。例如，飛機在某一水平高度h上飛行時，由于受到氣流的影響，實際飛行高度H(t)總是在理論設(shè)計高度h水平上下隨機波動，此時飛機的實際飛行高度H(t)是一個隨機過程，顯然此過程可看作不隨機推移面變化的過程，這個隨機過程，我們把它看作是平衡的隨機過程。第二頁，共七十七頁，2022年，8月28日此外當我們知道一個隨機過程是平穩(wěn)過程時，它應(yīng)不隨時間的推移而變幻無常。例如當我們要測定一個電阻的熱噪聲的統(tǒng)計特性，由于它是平穩(wěn)過程，因而我們在任何時間進行測試都能得到相同的結(jié)果。第三頁，共七十七頁，2022年，8月28日§4.1嚴平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征

定義嚴平穩(wěn)隨機過程：對于任意的t，隨機過程X(t)的任意n維概密度都有

則稱X(t)為嚴平穩(wěn)隨機過程。研究平穩(wěn)過程的意義在于：該過程在任何時刻計算它的統(tǒng)計結(jié)果都是相同的。由定義知平穩(wěn)隨機過程的n維概度密度函數(shù)不隨時間而變化，這一特性具體反映在隨機過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征方面具有如下性質(zhì)：第四頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.1若X(t)為平衡過程，則它的一維概率密度與時間無關(guān)證設(shè)X(t)的一維概率密度函數(shù)為，由于X(t)為平穩(wěn)過程∴令則由此我們可求平穩(wěn)過程X(t)的均值、均方值、方差。第五頁，共七十七頁，2022年，8月28日顯然，X(t)的均方值、方差都與時間t無關(guān)。由此知，當隨機過程為平穩(wěn)過程時，該過程的所有樣本函數(shù)總是它們均值——水平直線上下波動，樣本曲線偏離水平直線的幅度正好是。第六頁，共七十七頁，2022年，8月28日如圖4.1所示，圖中細實線表示隨機過程的樣本函數(shù)，粗實線表示隨機過程的數(shù)學期望，虛線表示隨機過程對數(shù)學期望的偏差。第七頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.2平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。證：設(shè)X(t)的二維概率密度函數(shù)為由于X(t)為平穩(wěn)過程，所以對任意有若令，則而正是隨機過程二維概率密度函數(shù)的時間間隔，令，則：第八頁，共七十七頁，2022年，8月28日此式表明，平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度函數(shù)僅依賴于，而時間的個別值無關(guān)。由此，我們可以進一步來討論平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)具有什么樣的表達形式。又∵

∴第九頁，共七十七頁，2022年，8月28日

順便指出，由一個隨機過程的平穩(wěn)性研究可推廣到關(guān)于兩個隨機過程的平穩(wěn)性研究，可以這樣說，若兩個隨機過程的聯(lián)合概率密度函數(shù)不隨時間的平移而變化，與時間的起點無關(guān)，則可稱這兩個隨機過程是聯(lián)合平衡的，或稱平穩(wěn)相依。第十頁，共七十七頁，2022年，8月28日§4.2寬平穩(wěn)隨機過程

從上面介紹的嚴平穩(wěn)隨機過程的定義知，要判斷一個隨機過程是否是嚴平穩(wěn)，需要確定該隨機過程的任意n維概率密度函數(shù)族，它的變化是否與時間的平穩(wěn)無關(guān)，這本身就是一個十分困難的工作，然而在工程上根據(jù)實際需要，我們往往只在所謂的相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮隨機過程的平穩(wěn)性問題，這里所指的相關(guān)理論，就是指隨機過程的數(shù)字特征，即數(shù)學期望、相關(guān)函數(shù)和今后要介紹的功率普密度等。當在相關(guān)理論又可指研究隨機過程的一、二階矩理論。第十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日

前面已經(jīng)介紹過，對于一個隨機過程X(t)，我們當然希望能建立起它的多維分布函數(shù)，因為隨機過程的多維分函數(shù)能較完整地描述隨機過程的統(tǒng)計特性，但是要建立多維分布函數(shù)往往很困難，因此我們一般在相關(guān)理論范圍內(nèi)也就是用數(shù)字特征來描述過程的重要特性，這種用數(shù)字特征來描述過程X(t)統(tǒng)計特性變化規(guī)律，對很多實際問題往往已能獲得很好的效果，可以提取到所需的參數(shù)。第十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日定義寬平穩(wěn)過程：給定隨機過程X(t)，如果常數(shù)且則稱X(t)為寬平穩(wěn)過程（廣義平穩(wěn)過程）。顯然由寬平穩(wěn)定義可知，要求就要考慮X(t)的一維概率密度函數(shù)和二維概率密度函數(shù)。第十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日下面我們來分析一下嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)之間的關(guān)系。對于一個隨機過程X(t)，如果它是嚴平穩(wěn)的，且它的二階矩存在及均方有界，則由嚴平穩(wěn)雙因嚴平穩(wěn)的一維概率密度與時間無關(guān)，即∴常數(shù)又因嚴平穩(wěn)的二維概率密度只與時間間隔有關(guān)，即第十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日∴綜上所述，嚴平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)

反之不一定成立，除非是高斯過程（正態(tài)過程）。類似地，我們還可以給出兩個隨機過程聯(lián)合寬平穩(wěn)定義。定義聯(lián)合寬平穩(wěn)：對于平穩(wěn)過程若則稱聯(lián)合寬平穩(wěn)。

第十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日順便指出，今后凡提到“平穩(wěn)過程”，通常是指寬平穩(wěn)過程。例4.1設(shè)Y是隨機變量，試分別考慮隨機過程的平穩(wěn)性。解∵Y是隨機變量，∵這一過程是一個與時間無關(guān)的特殊的過程，它的任何n維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)，所以是一個嚴平穩(wěn)?！呤菄榔椒€(wěn),∴只要則X1(t)是寬平穩(wěn)。對于第十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日都與時間有關(guān)，所以為非平穩(wěn)。例4.2設(shè)是一周期為T的函數(shù)，是（0,T）上具有均勻分布的隨機變量，稱為隨機相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。解由題設(shè)知的概率密度函數(shù)為第十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日要討論X(t)的平穩(wěn)性，由寬平穩(wěn)定義知，需要求。當取定為一隨機變量的函數(shù)，由求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式知∵令，則常數(shù)第十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日又∵令第十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日§4.3各態(tài)歷經(jīng)過程

1.各態(tài)歷經(jīng)問題的提出

對于一個隨機過程X(t)，我們當然希望知道它們的分布函數(shù)，但很困難，于是我們退而求其次，考慮求它的數(shù)字特征即數(shù)學期望、相關(guān)函數(shù)等。但要求X(t)的數(shù)字特征，首先需要知道它的一、二維概率密度函數(shù)，即這實際上又很難辦，進而為我們求數(shù)字特征又帶來困難。怎么解決這個問題呢？實際上，在工程中，要求X(t)的數(shù)字特征，我們自先是通過試驗來產(chǎn)生一族時間樣本函數(shù)第二十頁，共七十七頁，2022年，8月28日X(t)或者是做試驗產(chǎn)生一個樣本函數(shù)x(t)，然后再對樣本函數(shù)x(t)取不同時刻，如，得所對應(yīng)的結(jié)果，即此時隨機過程可表示為。對任意指定時刻的數(shù)學期望可近似表示為自相關(guān)函數(shù)可近似表示為來計算，顯然這種用近似計算的方法來估計隨機過程的數(shù)學期望及自相關(guān)函數(shù)要求n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。但這在實際工程又常常又很難做到，于是人們自然想到能不能夠通過測試一個樣本函數(shù)如第二十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日用一個樣本函數(shù)xi(t)的均值和相關(guān)函數(shù)來近似隨機過程的均值和相關(guān)函數(shù)，如果能，這為我們求隨機過程的數(shù)學特征就帶來了很大方便。這里提出一個問題：怎樣表示一個樣本函數(shù)如x1(t)的均值呢？我們以下式來表示顯然x1(t)不同其積分結(jié)果一般不同。

于是對一個隨機過程，，其樣本函數(shù)的積數(shù)結(jié)果可能不同。此時顯然用一個樣本函數(shù)的數(shù)字特征如，近似是不正確的。但是如果當時間區(qū)間T充分大時，如果X(t)的絕大多數(shù)樣本函數(shù)的均值第二十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日都有則我們可用其中一個樣本函數(shù)的均值作為[X(t)]的近似，即定義隨機過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)：稱為隨機過程的時間相關(guān)函數(shù)。第二十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日注意：定義中一般都是隨機變量（常數(shù)可看作特殊的隨機變量）。由上述分析可知，是不是任何一個隨機過程，它的數(shù)學期望、相關(guān)函數(shù)都可用其中的一個樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)來近似呢，顯然不一定，一個自然的問題是X(t)在什么條件下可用一個樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為整個過程X(t)的均值，自相關(guān)函數(shù)的近似呢？第二十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日2.平均隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性

要回答上述的問題，我們設(shè)當X(t)為平穩(wěn)過程且滿足一定條件時，可用一個樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為過程X(t)的數(shù)字特征近似，為此我們給出如下定義：定義：設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)過程（1）若

以概率1成立，則稱隨機過程X(t)均值具有各態(tài)歷經(jīng)性這里依概率1成立是指對X(t)的所有樣本函數(shù)即第二十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日由此知，此時，我們可用一個樣本函數(shù)的均值如的值作為的近似值。反之，若已知X(t)的均值各態(tài)歷程，則可用一個樣本函數(shù)的均值作為過程X(t)的均值。（2）若

以概率1成立，則稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。第二十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日

這里若X(t)的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)，就是指我們可用過程X(t)的一個樣本函數(shù)、xn(t)的時間相關(guān)函數(shù)

即作為過程的相關(guān)函數(shù)。（3）若X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)過程，簡稱X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程。綜上所述，如果X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程，則必為平穩(wěn)過程，此時可用過程的一個樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為過程的數(shù)字特征近似。第二十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日例4.3設(shè)隨機過程式中為參數(shù)，是（0.2,）上均勻分布隨機變量。①求證X(t)是寬平穩(wěn)過程；②該過程是否是各態(tài)歷經(jīng)過程。解①第二十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日∴X(t)為一寬平穩(wěn)過程。②第二十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日顯然由①、②結(jié)果再由隨機過程各態(tài)歷經(jīng)定義知∴X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程。第三十頁，共七十七頁，2022年，8月28日如果兩個隨機過程X(t)，Y(t)，當它們各自都是各態(tài)歷經(jīng)時，并且時間互相關(guān)函數(shù)與統(tǒng)計相關(guān)函數(shù)以概率1相等時，我們有如下定義：定義兩個隨機過程聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)：設(shè)X(t)，Y(t)各自都各態(tài)歷經(jīng)則稱X(t)，Y(t)為聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)過程。同理當X(t)，Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時，可用它們的一對樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為X(t)，Y(t)的數(shù)字特征近似。第三十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.

隨機過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程的判定

從前面的分析知，如果一個隨機過程能成為一個平衡過程，這對我們研究各態(tài)歷經(jīng)，則該過程一定是平衡過程，反之則一定成立，于是很自然提出這樣一個問題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個平穩(wěn)過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程。通過對平穩(wěn)過程的分析研究，我們給出如下的幾個判定定理。

性質(zhì)4.3平穩(wěn)過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是

式中：為平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)；為平穩(wěn)過程的數(shù)學期望。第三十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日例4.4已知隨機電報信號X(t)，它的，，問X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。解∵∴X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。第三十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.4平衡過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是式中平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（4.7）式相似，只是將（4.7）式中相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)改為互相關(guān)函數(shù)即可。第三十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.5對于高斯平穩(wěn)過程，如果它的均值為零，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則該過程各態(tài)歷經(jīng)的一個充分條件是

綜上所述，對一個平穩(wěn)隨機過程X(t)通過性質(zhì)1、2判定以后，如果X(t)各態(tài)歷經(jīng)了，則對于該過程的數(shù)字特征，即求，我們可用第三十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日也就是當X(t)各態(tài)歷經(jīng)時，我們可用一個樣本函數(shù)的時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)作為過程X(t)的數(shù)學期望、自相關(guān)函數(shù)的近似。最后順便說明，對于許多實際問題，如果要從理論上判定一個過程是否為各態(tài)歷經(jīng)過程，往往是比較困難。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，在后根據(jù)實驗來檢驗這個假設(shè)是否合理。在實際應(yīng)用一般不可能給出隨機過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)的表達式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過程的數(shù)學期望、自相關(guān)函數(shù)，有兩種方法：第三十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日第一種方法用模擬自相關(guān)分析儀，自動畫出自相關(guān)曲線。這種儀器的功能是當輸入樣本函數(shù)時，X-Y記錄儀自動描繪出自相關(guān)函數(shù)的曲線。它的工作原理如圖4.2所示。圖4.2第三十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計算方法）。如圖4.2把[0，T]等分為N個長為的小區(qū)間，再在時刻，取樣，得N個函數(shù)值。于是再把積分表過式表示為基本區(qū)間上的和，就有數(shù)字估計式（4.8）。類似可以寫出在時的自相關(guān)函數(shù)估計式（4.9）式，由這個估計式可算出自相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可作出自相關(guān)函數(shù)的近似圖形，見圖4.3。第三十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過程，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來確定過程X(t)的統(tǒng)計特性，看處理出來的結(jié)果是否與實際相符合，如果不相符合，再對過程的假設(shè)作修改。

第三十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對于一個隨機過程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學期望和相關(guān)函數(shù)，但是當隨機過程為平穩(wěn)過程時，它的數(shù)學期望是一個常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱?，所以當過程X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實際上就是相關(guān)函數(shù)。此外，相關(guān)函數(shù)不僅可向我們提供隨機過程各狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也是求取隨機過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。為此下面我們專門研究一下平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。第四十頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.6證∵當，即平穩(wěn)過程的均方值可自由相關(guān)函數(shù)得到。性質(zhì)4.7，即平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。同理證∵第四十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.8平穩(wěn)過程X(t)自相關(guān)函數(shù)的最大點在處，即證∵任何非負函數(shù)的數(shù)學期望恒為非負值，的平方均值，即∴∴∴又∵X(t)平穩(wěn)，∴∴第四十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日∵平穩(wěn)隨機過程的一維率密度函數(shù)不隨時間的平緩而變化，即∴∴∴同理對于

第四十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.9周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即證設(shè)∵性質(zhì)4.10非周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足第四十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日例4.6非周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)。求。解∵∴∴為了方便表征隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的線性關(guān)聯(lián)程度，我們給出自相關(guān)系定義：定義自相關(guān)系數(shù)：

第四十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日特別取，一般有顯然，自相關(guān)系數(shù)越接近1，狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度越高。也可以說，當狀態(tài)與狀態(tài)之間的時間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。因此相關(guān)系數(shù)可直觀地說明隨機過程不同兩個狀態(tài)的自相關(guān)程度的強弱或隨機過程起伏的快慢。第四十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日相關(guān)時間是另一個表示隨機過程相關(guān)程度的量，它是利用相關(guān)系數(shù)來定義的。一般相關(guān)時間的定義有兩種，一種是把滿足時的作為相關(guān)時間。其物理意義為：若隨機過程X(t)的相關(guān)時間為，則認為隨機過程的時間間隔大于的兩個時刻的取值不相關(guān)。另一種定義相關(guān)時間間隔大于的兩相時刻的取值不相關(guān)。第四十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日另一種定義相關(guān)時間方法是將曲線在之間的面積等效成的矩形，如圖4.3所示。因此有圖4.3自相關(guān)系數(shù)第四十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日5.設(shè)隨機過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)設(shè)為兩個平穩(wěn)過程。性質(zhì)4.11一般情況下，互相關(guān)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，同理，互協(xié)方差函數(shù)也是非奇非偶函數(shù)。性質(zhì)4.12互相關(guān)函數(shù)的幅度平方滿足同理，互協(xié)方差函數(shù)滿足第四十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.13互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的幅度滿足同理性質(zhì)4.14互相關(guān)系數(shù)為了研究兩個平穩(wěn)過程的相互關(guān)聯(lián)程度，我們引入互相關(guān)系定義定義互相關(guān)系數(shù)：可以證明，且當時互不相關(guān)。第五十頁，共七十七頁，2022年，8月28日習題四1.考慮一個具有隨機相位的余弦波，它由如下定義的隨機過程描述：，其中是常數(shù)，服從上的均勻分布，證明X(t)是寬平穩(wěn)過程。2.考慮一個具有隨機振幅的正弦波，它由如下定義的隨機過程描述其中，A、B為兩個隨機變量，且滿足，，度X(t)為寬平穩(wěn)過程。第五十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.設(shè)隨機過程是方差不為零的隨機變量，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。4.設(shè)X(t)是雷達的發(fā)射信號，遇到目標后返回接收機的微弱信號是是信號返回時間，由于接收到的信號總是伴有噪聲，記噪聲為，于是接收機收到的全信號。①若X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)，求互相關(guān)函數(shù)。②在①的條件下，假如N(t)的均值為零，且X(t)是相互獨立，求（這是利用互相關(guān)函數(shù)從全信號中檢測小信號的接收法）。第五十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日5.設(shè)有隨機過程，其中A是具有瑞利分布的隨機變量，其概率密度為是在（0,2）上具有均勻分布且與A相互獨立的隨機變量，是一個常數(shù)，問X(t)是否是寬平穩(wěn)過程。第五十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日第五章隨機過程的功率譜密度

當我們在時間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時，如果確定起來不方便，在數(shù)學上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進行研究，最終目的是使問題簡化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時間域的問題轉(zhuǎn)換到頻率域，進而使問題簡化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個信號有“高”頻成分，我們在頻率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號分析和電路理論等方面應(yīng)用極廣。第五十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日是不是任何一個時間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當時間函數(shù)滿足絕對可積條件時可以。然而，隨機過程的樣本函數(shù)，即一般不滿足絕對條件，因此隨機過程不能直接進行付氏變換。此外，很多隨要過程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無法用方程描述。這樣，若想直接對隨要過程進行譜分解，顯然也不行。但是，對隨機過程進行某種處理后，同樣可對隨機過程施行傅里葉變換。第五十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日§5.1功率譜密度

為了研究隨機信號的傅氏變換，我們首先簡單復習一下確定信號的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機過程的功率譜密度概念。定理5.1設(shè)S(t)是一個確定信號，且在上，則S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜記為第五十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日一般頻譜是一個復數(shù)，且有，*表示共軛。我們知道，對于復數(shù)有∴對于定理的物理解釋是，或代表電流或電壓，則定理條件要求，即是要求的總能量必須有限。

由積分變換的巴塞伐能量公式有第五十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日下面我們來解釋一下公式的物理含義等式左邊表示在上的總能量，而右邊積分中被積函數(shù)相應(yīng)地稱為能譜密度。巴塞伐公式理解為時間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。然而，工程技術(shù)上有許多重要的時間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦就是。我們要研究的隨機過程，由于持續(xù)時間是無限的，所以其總能量也是無限的，即所以隨機過程的頻譜不存在。第五十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日那么該如何應(yīng)用傅氏變換工具來對隨機過程進行化簡研究呢？我們是這樣考慮的，一個隨機過程，盡管它的樣本函數(shù)總能量是無限的，但它的平均功率是有限的，即這是隨機過程的樣本函數(shù)在時間域上的平均功率表示。這樣，對隨機過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率確有意義。第五十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日圖5.1及其截取函數(shù)

怎樣具體表示隨機過程一個樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義的一個樣本函數(shù)，不妨設(shè)為，再次地樣本函數(shù)任意截取一段，長度為2T，并記為。稱為原樣本函數(shù)的截取函數(shù)，如圖5.1所示。第六十頁，共七十七頁，2022年，8月28日用公式表示即為于是滿足絕對可積條件。∴存在付氏變換，即這里稱為的頻譜函數(shù)。第六十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日又由于隨機過程在隨機試驗中取哪一個樣本函數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗結(jié)果，就意味著隨機過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進一步表示為，當然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為，顯然它的傅氏變換也可表示為。又∵第六十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日第六十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日由于引入隨機過程樣本函數(shù)的截取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。在上式中，令則稱（5.1）式為隨機過程X(t)的樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。定義樣本函數(shù)的功率譜密度式中，為截取函數(shù)的頻譜。第六十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日又∵隨機過程是由一族樣本函數(shù)組成，即顯然對每一個樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計平均就可給出隨機過程的功率譜密度定義。定義隨機過程的功率譜密度：第六十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日隨機過程的一個樣本函數(shù)的平均功率的表示形式，有兩種類似的，可求出X(t)的所有樣本函數(shù)的平均功率表示形式，然后取統(tǒng)計平均，則可以給出隨機過程的平均功率定義，定義隨機過