第四章 平衡隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程

第四章平衡隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程第一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日在隨機(jī)過(guò)程的大家族中，有一類隨機(jī)過(guò)程，它的統(tǒng)計(jì)特性或者說(shuō)統(tǒng)計(jì)變化規(guī)律與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。或者說(shuō)，整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。例如，飛機(jī)在某一水平高度h上飛行時(shí)，由于受到氣流的影響，實(shí)際飛行高度H(t)總是在理論設(shè)計(jì)高度h水平上下隨機(jī)波動(dòng)，此時(shí)飛機(jī)的實(shí)際飛行高度H(t)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，顯然此過(guò)程可看作不隨機(jī)推移面變化的過(guò)程，這個(gè)隨機(jī)過(guò)程，我們把它看作是平衡的隨機(jī)過(guò)程。第二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日此外當(dāng)我們知道一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，它應(yīng)不隨時(shí)間的推移而變幻無(wú)常。例如當(dāng)我們要測(cè)定一個(gè)電阻的熱噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，由于它是平穩(wěn)過(guò)程，因而我們?cè)谌魏螘r(shí)間進(jìn)行測(cè)試都能得到相同的結(jié)果。第三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日§4.1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)字特征

定義嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于任意的t，隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維概密度都有

則稱X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。研究平穩(wěn)過(guò)程的意義在于：該過(guò)程在任何時(shí)刻計(jì)算它的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是相同的。由定義知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的n維概度密度函數(shù)不隨時(shí)間而變化，這一特性具體反映在隨機(jī)過(guò)程的一、二維概率密度及數(shù)字特征方面具有如下性質(zhì)：第四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.1若X(t)為平衡過(guò)程，則它的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)證設(shè)X(t)的一維概率密度函數(shù)為，由于X(t)為平穩(wěn)過(guò)程∴令則由此我們可求平穩(wěn)過(guò)程X(t)的均值、均方值、方差。第五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日顯然，X(t)的均方值、方差都與時(shí)間t無(wú)關(guān)。由此知，當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，該過(guò)程的所有樣本函數(shù)總是它們均值——水平直線上下波動(dòng)，樣本曲線偏離水平直線的幅度正好是。第六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日如圖4.1所示，圖中細(xì)實(shí)線表示隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)，粗實(shí)線表示隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望，虛線表示隨機(jī)過(guò)程對(duì)數(shù)學(xué)期望的偏差。第七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.2平穩(wěn)過(guò)程X(t)的二維概率密度只與的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。證：設(shè)X(t)的二維概率密度函數(shù)為由于X(t)為平穩(wěn)過(guò)程，所以對(duì)任意有若令，則而正是隨機(jī)過(guò)程二維概率密度函數(shù)的時(shí)間間隔，令，則：第八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日此式表明，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)僅依賴于，而時(shí)間的個(gè)別值無(wú)關(guān)。由此，我們可以進(jìn)一步來(lái)討論平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)具有什么樣的表達(dá)形式。又∵

∴第九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日

順便指出，由一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性研究可推廣到關(guān)于兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性研究，可以這樣說(shuō)，若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率密度函數(shù)不隨時(shí)間的平移而變化，與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則可稱這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程是聯(lián)合平衡的，或稱平穩(wěn)相依。第十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日§4.2寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

從上面介紹的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義知，要判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否是嚴(yán)平穩(wěn)，需要確定該隨機(jī)過(guò)程的任意n維概率密度函數(shù)族，它的變化是否與時(shí)間的平穩(wěn)無(wú)關(guān)，這本身就是一個(gè)十分困難的工作，然而在工程上根據(jù)實(shí)際需要，我們往往只在所謂的相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性問(wèn)題，這里所指的相關(guān)理論，就是指隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征，即數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)和今后要介紹的功率普密度等。當(dāng)在相關(guān)理論又可指研究隨機(jī)過(guò)程的一、二階矩理論。第十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日

前面已經(jīng)介紹過(guò)，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，我們當(dāng)然希望能建立起它的多維分布函數(shù)，因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程的多維分函數(shù)能較完整地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，但是要建立多維分布函數(shù)往往很困難，因此我們一般在相關(guān)理論范圍內(nèi)也就是用數(shù)字特征來(lái)描述過(guò)程的重要特性，這種用數(shù)字特征來(lái)描述過(guò)程X(t)統(tǒng)計(jì)特性變化規(guī)律，對(duì)很多實(shí)際問(wèn)題往往已能獲得很好的效果，可以提取到所需的參數(shù)。第十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日定義寬平穩(wěn)過(guò)程：給定隨機(jī)過(guò)程X(t)，如果常數(shù)且則稱X(t)為寬平穩(wěn)過(guò)程（廣義平穩(wěn)過(guò)程）。顯然由寬平穩(wěn)定義可知，要求就要考慮X(t)的一維概率密度函數(shù)和二維概率密度函數(shù)。第十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日下面我們來(lái)分析一下嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)之間的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，如果它是嚴(yán)平穩(wěn)的，且它的二階矩存在及均方有界，則由嚴(yán)平穩(wěn)雙因嚴(yán)平穩(wěn)的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)，即∴常數(shù)又因嚴(yán)平穩(wěn)的二維概率密度只與時(shí)間間隔有關(guān)，即第十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日∴綜上所述，嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)

反之不一定成立，除非是高斯過(guò)程（正態(tài)過(guò)程）。類似地，我們還可以給出兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程聯(lián)合寬平穩(wěn)定義。定義聯(lián)合寬平穩(wěn)：對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程若則稱聯(lián)合寬平穩(wěn)。

第十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日順便指出，今后凡提到“平穩(wěn)過(guò)程”，通常是指寬平穩(wěn)過(guò)程。例4.1設(shè)Y是隨機(jī)變量，試分別考慮隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性。解∵Y是隨機(jī)變量，∵這一過(guò)程是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的特殊的過(guò)程，它的任何n維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)?！呤菄?yán)平穩(wěn),∴只要?jiǎng)tX1(t)是寬平穩(wěn)。對(duì)于第十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日都與時(shí)間有關(guān)，所以為非平穩(wěn)。例4.2設(shè)是一周期為T的函數(shù)，是（0,T）上具有均勻分布的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)相位周期過(guò)程，試討論它的平穩(wěn)性。解由題設(shè)知的概率密度函數(shù)為第十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日要討論X(t)的平穩(wěn)性，由寬平穩(wěn)定義知，需要求。當(dāng)取定為一隨機(jī)變量的函數(shù)，由求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式知∵令，則常數(shù)第十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日又∵令第十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日§4.3各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程

1.各態(tài)歷經(jīng)問(wèn)題的提出

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，我們當(dāng)然希望知道它們的分布函數(shù)，但很困難，于是我們退而求其次，考慮求它的數(shù)字特征即數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)等。但要求X(t)的數(shù)字特征，首先需要知道它的一、二維概率密度函數(shù)，即這實(shí)際上又很難辦，進(jìn)而為我們求數(shù)字特征又帶來(lái)困難。怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？實(shí)際上，在工程中，要求X(t)的數(shù)字特征，我們自先是通過(guò)試驗(yàn)來(lái)產(chǎn)生一族時(shí)間樣本函數(shù)第二十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日X(t)或者是做試驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)樣本函數(shù)x(t)，然后再對(duì)樣本函數(shù)x(t)取不同時(shí)刻，如，得所對(duì)應(yīng)的結(jié)果，即此時(shí)隨機(jī)過(guò)程可表示為。對(duì)任意指定時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望可近似表示為自相關(guān)函數(shù)可近似表示為來(lái)計(jì)算，顯然這種用近似計(jì)算的方法來(lái)估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及自相關(guān)函數(shù)要求n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。但這在實(shí)際工程又常常又很難做到，于是人們自然想到能不能夠通過(guò)測(cè)試一個(gè)樣本函數(shù)如第二十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日用一個(gè)樣本函數(shù)xi(t)的均值和相關(guān)函數(shù)來(lái)近似隨機(jī)過(guò)程的均值和相關(guān)函數(shù)，如果能，這為我們求隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)特征就帶來(lái)了很大方便。這里提出一個(gè)問(wèn)題：怎樣表示一個(gè)樣本函數(shù)如x1(t)的均值呢？我們以下式來(lái)表示顯然x1(t)不同其積分結(jié)果一般不同。

于是對(duì)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，，其樣本函數(shù)的積數(shù)結(jié)果可能不同。此時(shí)顯然用一個(gè)樣本函數(shù)的數(shù)字特征如，近似是不正確的。但是如果當(dāng)時(shí)間區(qū)間T充分大時(shí)，如果X(t)的絕大多數(shù)樣本函數(shù)的均值第二十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日都有則我們可用其中一個(gè)樣本函數(shù)的均值作為[X(t)]的近似，即定義隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)：稱為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。第二十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日注意：定義中一般都是隨機(jī)變量（常數(shù)可看作特殊的隨機(jī)變量）。由上述分析可知，是不是任何一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)都可用其中的一個(gè)樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)來(lái)近似呢，顯然不一定，一個(gè)自然的問(wèn)題是X(t)在什么條件下可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為整個(gè)過(guò)程X(t)的均值，自相關(guān)函數(shù)的近似呢？第二十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日2.平均隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性

要回答上述的問(wèn)題，我們?cè)O(shè)當(dāng)X(t)為平穩(wěn)過(guò)程且滿足一定條件時(shí)，可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為過(guò)程X(t)的數(shù)字特征近似，為此我們給出如下定義：定義：設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程（1）若

以概率1成立，則稱隨機(jī)過(guò)程X(t)均值具有各態(tài)歷經(jīng)性這里依概率1成立是指對(duì)X(t)的所有樣本函數(shù)即第二十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日由此知，此時(shí)，我們可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值如的值作為的近似值。反之，若已知X(t)的均值各態(tài)歷程，則可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值作為過(guò)程X(t)的均值。（2）若

以概率1成立，則稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。第二十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日

這里若X(t)的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)，就是指我們可用過(guò)程X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)、xn(t)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)

即作為過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。（3）若X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，簡(jiǎn)稱X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。綜上所述，如果X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，則必為平穩(wěn)過(guò)程，此時(shí)可用過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為過(guò)程的數(shù)字特征近似。第二十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例4.3設(shè)隨機(jī)過(guò)程式中為參數(shù)，是（0.2,）上均勻分布隨機(jī)變量。①求證X(t)是寬平穩(wěn)過(guò)程；②該過(guò)程是否是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。解①第二十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日∴X(t)為一寬平穩(wěn)過(guò)程。②第二十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日顯然由①、②結(jié)果再由隨機(jī)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)定義知∴X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。第三十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，Y(t)，當(dāng)它們各自都是各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，并且時(shí)間互相關(guān)函數(shù)與統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)以概率1相等時(shí)，我們有如下定義：定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)：設(shè)X(t)，Y(t)各自都各態(tài)歷經(jīng)則稱X(t)，Y(t)為聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。同理當(dāng)X(t)，Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，可用它們的一對(duì)樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為X(t)，Y(t)的數(shù)字特征近似。第三十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日3.

隨機(jī)過(guò)程成為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的判定

從前面的分析知，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程能成為一個(gè)平衡過(guò)程，這對(duì)我們研究各態(tài)歷經(jīng)，則該過(guò)程一定是平衡過(guò)程，反之則一定成立，于是很自然提出這樣一個(gè)問(wèn)題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程成為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。通過(guò)對(duì)平穩(wěn)過(guò)程的分析研究，我們給出如下的幾個(gè)判定定理。

性質(zhì)4.3平穩(wěn)過(guò)程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是

式中：為平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)；為平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。第三十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例4.4已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào)X(t)，它的，，問(wèn)X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。解∵∴X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。第三十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.4平衡過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是式中平穩(wěn)過(guò)程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（4.7）式相似，只是將（4.7）式中相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)改為互相關(guān)函數(shù)即可。第三十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.5對(duì)于高斯平穩(wěn)過(guò)程，如果它的均值為零，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則該過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)的一個(gè)充分條件是

綜上所述，對(duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)通過(guò)性質(zhì)1、2判定以后，如果X(t)各態(tài)歷經(jīng)了，則對(duì)于該過(guò)程的數(shù)字特征，即求，我們可用第三十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日也就是當(dāng)X(t)各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，我們可用一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間均值和時(shí)間自相關(guān)函數(shù)作為過(guò)程X(t)的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)的近似。最后順便說(shuō)明，對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，如果要從理論上判定一個(gè)過(guò)程是否為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，往往是比較困難。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗(yàn)把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，在后根據(jù)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理。在實(shí)際應(yīng)用一般不可能給出隨機(jī)過(guò)程X(t)的樣本函數(shù)x(t)的表達(dá)式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)，有兩種方法：第三十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第一種方法用模擬自相關(guān)分析儀，自動(dòng)畫出自相關(guān)曲線。這種儀器的功能是當(dāng)輸入樣本函數(shù)時(shí)，X-Y記錄儀自動(dòng)描繪出自相關(guān)函數(shù)的曲線。它的工作原理如圖4.2所示。圖4.2第三十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計(jì)算方法）。如圖4.2把[0，T]等分為N個(gè)長(zhǎng)為的小區(qū)間，再在時(shí)刻，取樣，得N個(gè)函數(shù)值。于是再把積分表過(guò)式表示為基本區(qū)間上的和，就有數(shù)字估計(jì)式（4.8）。類似可以寫出在時(shí)的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)式（4.9）式，由這個(gè)估計(jì)式可算出自相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可作出自相關(guān)函數(shù)的近似圖形，見(jiàn)圖4.3。第三十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過(guò)程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來(lái)確定過(guò)程X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，看處理出來(lái)的結(jié)果是否與實(shí)際相符合，如果不相符合，再對(duì)過(guò)程的假設(shè)作修改。

第三十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，但是當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱悖援?dāng)過(guò)程X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。此外，相關(guān)函數(shù)不僅可向我們提供隨機(jī)過(guò)程各狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也是求取隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。為此下面我們專門研究一下平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。第四十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.6證∵當(dāng)，即平穩(wěn)過(guò)程的均方值可自由相關(guān)函數(shù)得到。性質(zhì)4.7，即平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。同理證∵第四十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.8平穩(wěn)過(guò)程X(t)自相關(guān)函數(shù)的最大點(diǎn)在處，即證∵任何非負(fù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，的平方均值，即∴∴∴又∵X(t)平穩(wěn)，∴∴第四十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日∵平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維率密度函數(shù)不隨時(shí)間的平緩而變化，即∴∴∴同理對(duì)于

第四十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.9周期平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即證設(shè)∵性質(zhì)4.10非周期平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足第四十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例4.6非周期平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)。求。解∵∴∴為了方便表征隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的線性關(guān)聯(lián)程度，我們給出自相關(guān)系定義：定義自相關(guān)系數(shù)：

第四十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日特別取，一般有顯然，自相關(guān)系數(shù)越接近1，狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度越高。也可以說(shuō)，當(dāng)狀態(tài)與狀態(tài)之間的時(shí)間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。因此相關(guān)系數(shù)可直觀地說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程不同兩個(gè)狀態(tài)的自相關(guān)程度的強(qiáng)弱或隨機(jī)過(guò)程起伏的快慢。第四十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日相關(guān)時(shí)間是另一個(gè)表示隨機(jī)過(guò)程相關(guān)程度的量，它是利用相關(guān)系數(shù)來(lái)定義的。一般相關(guān)時(shí)間的定義有兩種，一種是把滿足時(shí)的作為相關(guān)時(shí)間。其物理意義為：若隨機(jī)過(guò)程X(t)的相關(guān)時(shí)間為，則認(rèn)為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間間隔大于的兩個(gè)時(shí)刻的取值不相關(guān)。另一種定義相關(guān)時(shí)間間隔大于的兩相時(shí)刻的取值不相關(guān)。第四十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日另一種定義相關(guān)時(shí)間方法是將曲線在之間的面積等效成的矩形，如圖4.3所示。因此有圖4.3自相關(guān)系數(shù)第四十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日5.設(shè)隨機(jī)過(guò)程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)設(shè)為兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。性質(zhì)4.11一般情況下，互相關(guān)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，同理，互協(xié)方差函數(shù)也是非奇非偶函數(shù)。性質(zhì)4.12互相關(guān)函數(shù)的幅度平方滿足同理，互協(xié)方差函數(shù)滿足第四十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4.13互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的幅度滿足同理性質(zhì)4.14互相關(guān)系數(shù)為了研究?jī)蓚€(gè)平穩(wěn)過(guò)程的相互關(guān)聯(lián)程度，我們引入互相關(guān)系定義定義互相關(guān)系數(shù)：可以證明，且當(dāng)時(shí)互不相關(guān)。第五十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題四1.考慮一個(gè)具有隨機(jī)相位的余弦波，它由如下定義的隨機(jī)過(guò)程描述：，其中是常數(shù)，服從上的均勻分布，證明X(t)是寬平穩(wěn)過(guò)程。2.考慮一個(gè)具有隨機(jī)振幅的正弦波，它由如下定義的隨機(jī)過(guò)程描述其中，A、B為兩個(gè)隨機(jī)變量，且滿足，，度X(t)為寬平穩(wěn)過(guò)程。第五十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日3.設(shè)隨機(jī)過(guò)程是方差不為零的隨機(jī)變量，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。4.設(shè)X(t)是雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)，遇到目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號(hào)是是信號(hào)返回時(shí)間，由于接收到的信號(hào)總是伴有噪聲，記噪聲為，于是接收機(jī)收到的全信號(hào)。①若X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)，求互相關(guān)函數(shù)。②在①的條件下，假如N(t)的均值為零，且X(t)是相互獨(dú)立，求（這是利用互相關(guān)函數(shù)從全信號(hào)中檢測(cè)小信號(hào)的接收法）。第五十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日5.設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，其中A是具有瑞利分布的隨機(jī)變量，其概率密度為是在（0,2）上具有均勻分布且與A相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是一個(gè)常數(shù)，問(wèn)X(t)是否是寬平穩(wěn)過(guò)程。第五十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第五章隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

當(dāng)我們?cè)跁r(shí)間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時(shí)，如果確定起來(lái)不方便，在數(shù)學(xué)上我們可以考慮將此函數(shù)通過(guò)某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說(shuō)頻率域內(nèi)進(jìn)行研究，最終目的是使問(wèn)題簡(jiǎn)化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時(shí)間域的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到頻率域，進(jìn)而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個(gè)信號(hào)有“高”頻成分，我們?cè)陬l率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號(hào)分析和電路理論等方面應(yīng)用極廣。第五十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日是不是任何一個(gè)時(shí)間函數(shù)都可以將其通過(guò)傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說(shuō)當(dāng)時(shí)間函數(shù)滿足絕對(duì)可積條件時(shí)可以。然而，隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)，即一般不滿足絕對(duì)條件，因此隨機(jī)過(guò)程不能直接進(jìn)行付氏變換。此外，很多隨要過(guò)程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無(wú)法用方程描述。這樣，若想直接對(duì)隨要過(guò)程進(jìn)行譜分解，顯然也不行。但是，對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行某種處理后，同樣可對(duì)隨機(jī)過(guò)程施行傅里葉變換。第五十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日§5.1功率譜密度

為了研究隨機(jī)信號(hào)的傅氏變換，我們首先簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下確定信號(hào)的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度概念。定理5.1設(shè)S(t)是一個(gè)確定信號(hào)，且在上，則S(t)的傅氏變換存在，或者說(shuō)具有頻譜記為第五十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日一般頻譜是一個(gè)復(fù)數(shù)，且有，*表示共軛。我們知道，對(duì)于復(fù)數(shù)有∴對(duì)于定理的物理解釋是，或代表電流或電壓，則定理?xiàng)l件要求，即是要求的總能量必須有限。

由積分變換的巴塞伐能量公式有第五十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日下面我們來(lái)解釋一下公式的物理含義等式左邊表示在上的總能量，而右邊積分中被積函數(shù)相應(yīng)地稱為能譜密度。巴塞伐公式理解為時(shí)間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。然而，工程技術(shù)上有許多重要的時(shí)間函數(shù)總能量是無(wú)限的，不能滿足傅氏變換絕對(duì)可積條件，如正弦就是。我們要研究的隨機(jī)過(guò)程，由于持續(xù)時(shí)間是無(wú)限的，所以其總能量也是無(wú)限的，即所以隨機(jī)過(guò)程的頻譜不存在。第五十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日那么該如何應(yīng)用傅氏變換工具來(lái)對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行化簡(jiǎn)研究呢？我們是這樣考慮的，一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，盡管它的樣本函數(shù)總能量是無(wú)限的，但它的平均功率是有限的，即這是隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)在時(shí)間域上的平均功率表示。這樣，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒(méi)有意義，但研究它的平均功率確有意義。第五十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D5.1及其截取函數(shù)

怎樣具體表示隨機(jī)過(guò)程一個(gè)樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義的一個(gè)樣本函數(shù)，不妨設(shè)為，再次地樣本函數(shù)任意截取一段，長(zhǎng)度為2T，并記為。稱為原樣本函數(shù)的截取函數(shù)，如圖5.1所示。第六十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日用公式表示即為于是滿足絕對(duì)可積條件?！啻嬖诟妒献儞Q，即這里稱為的頻譜函數(shù)。第六十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日又由于隨機(jī)過(guò)程在隨機(jī)試驗(yàn)中取哪一個(gè)樣本函數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗(yàn)結(jié)果，就意味著隨機(jī)過(guò)程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進(jìn)一步表示為，當(dāng)然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為，顯然它的傅氏變換也可表示為。又∵第六十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第六十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日由于引入隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的截取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。在上式中，令則稱（5.1）式為隨機(jī)過(guò)程X(t)的樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。定義樣本函數(shù)的功率譜密度式中，為截取函數(shù)的頻譜。第六十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日又∵隨機(jī)過(guò)程是由一族樣本函數(shù)組成，即顯然對(duì)每一個(gè)樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對(duì)所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義。定義隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度：第六十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)的平均功率的表示形式，有兩種類似的，可求出X(t)的所有樣本函數(shù)的平均功率表示形式，然后取統(tǒng)計(jì)平均，則可以給出隨機(jī)過(guò)程的平均功率定義，定義隨機(jī)過(guò)