2020-2021學年高中數(shù)學模塊測評含解析新人教A版必修

PAGE模塊綜合測評(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若cosα＝eq\f(1,3)，則cos2α＝()A.eq\f(4\r(,2),9) B．－eq\f(4\r(,2),9)C.eq\f(7,9) D．－eq\f(7,9)D[cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9)，故選D.]2．已知扇形的圓心角為eq\f(2π,3)弧度，半徑為2，則扇形的面積是()A.eq\f(8π,3) B.eq\f(4,3)C．2π D.eq\f(4π,3)D[扇形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×22＝eq\f(4π,3).]3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,12)))的值等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(,2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(,2),3)C[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝－eq\f(1,3)，故選C.]4．設向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，則tan(α＋β)＝()A.eq\f(1,7) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,7)A[∵a＋b＝(2tanα＋4，tanβ－3)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2tanα＋4＝0，,tanβ－3＝0，))∴tanα＝－2，tanβ＝3，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－2＋3,1－－2×3)＝eq\f(1,7).]5．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝2cosx，動直線x＝t與f(x)和g(x)的圖象分別交于A，B兩點，則|AB|的取值范圍是()A．[0,1] B．[0，eq\r(,2)]C．[0,2] D．[1，eq\r(,2)]B[題意得|AB|＝|f(t)－g(t)|＝|sint－cost|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4)))))∈[0，eq\r(,2)]．故選B.]6．已知taneq\f(θ,2)＝eq\f(2,3)，則eq\f(1－cosθ＋sinθ,1＋cosθ＋sinθ)的值為()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)A[eq\f(1－cosθ＋sinθ,1＋cosθ＋sinθ)＝eq\f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝taneq\f(θ,2)＝eq\f(2,3).]7．為了得到函數(shù)y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象，只要把函數(shù)y＝eq\r(2)cos2x圖象上所有的點()A．向左平行移動eq\f(π,8)個單位長度B．向右平行移動eq\f(π,8)個單位C.向左平行移動eq\f(π,4)個單位長度D．向右平行移動eq\f(π,4)個單位B[只要把函數(shù)y＝eq\r(2)cos2x圖象上所有的點，向右平行移動eq\f(π,8)個單位，可得函數(shù)y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象，故選B.]8．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，x∈R)在一個周期內的圖象如圖所示，則y＝f(x)的解析式是()A．f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))B．f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋\f(π,3)))C.f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))D．f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x－\f(π,3)))B[由圖象知函數(shù)的最大值為A＝4，eq\f(T,4)＝eq\f(π,8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(3π,8).即T＝eq\f(3π,2)＝eq\f(2π,ω)，即ω＝eq\f(4,3)，即f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋φ))，由五點對應法得eq\f(4,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋φ＝0，得φ＝eq\f(π,3)，得f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋\f(π,3)))，故選B.]9．已知f(x)＝eq\f(1＋sin2x,2)，若a＝f(lg5)，b＝f(lg0.2)，則下列正確的是()A．a＋b＝0 B．a－b＝0C．a＋b＝1 D．a－b＝1C[∵b＝f(lg0.2)＝f(－lg5)，∴f(x)＋f(－x)＝eq\f(1＋sin2x,2)＋eq\f(1＋sin－2x,2)＝1，∴a＋b＝f(lg5)＋f(－lg5)＝1.]10．如圖，設P為△ABC內一點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up6(→))，則△PMB的面積與△ABC的面積之比等于()A．1∶5 B．2∶5C．3∶20 D．7∶20C[由題可知eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，由平行四邊形法則可知eq\o(NP,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))∥eq\o(MP,\s\up6(→))，所以eq\f(S△PMB,S△ABC)＝eq\f(|\o(PM,\s\up6(→))|·|\o(MB,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,20).]11．函數(shù)f(x)＝cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的一個單調遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))A[函數(shù)f(x)＝cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得－eq\f(5π,6)＋2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)，當k＝0時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6))).故選A.]12．在△ABC中，A，B，C是其三個內角，設f(B)＝4sinB·cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(B,2)))＋cos2B，當f(B)－m＜2恒成立時，實數(shù)m的取值范圍是()A．m＜1 B．m＞－3C．m＜3 D．m＞1D[f(B)＝4sinBcos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(B,2)))＋cos2B＝4sinB·eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B)),2)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.∵f(B)－m＜2恒成立，∴2sinB＋1－m＜2恒成立，即m＞2sinB－1恒成立．∵0＜B＜π，∴0＜sinB≤1，∴－1＜2sinB－1≤1，故m＞1.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，且eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，則點C的坐標是．(－2,6)[設C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，Beq\o(C,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)．由eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2＝0，,2x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6，))∴點C的坐標為(－2,6)．]14．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象上的所有點向右平移eq\f(π,6)個單位，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍(縱坐標不變)，則所得的圖象的函數(shù)解析式為．y＝sin4x[y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象上的所有點向右平移eq\f(π,6)個單位得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝sin2x，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍(縱坐標不變)得y＝sin4x.]15．設α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上一點，且cosα＝eq\f(x,5)，則tan2α＝.eq\f(24,7)[因為α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，所以x＜0，因為cosα＝eq\f(x,5)＝eq\f(x,\r(x2＋16))，所以x＝－3，所以tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(24,7).]16．如圖，在等腰△ABC中，D為底邊BC的中點，E為AD的中點，直線BE與邊AC交于點F，若AD＝BC＝4，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝.－8[以點D為原點，以BC為x軸建立平面直角坐標系；則A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，E(0,2)，直線AC的方程為2x＋y－4＝0；直線BE的方程為x－y＋2＝0；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0,x－y＋2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3),y＝\f(8,3)))，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－4)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(8,3)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4×\f(8,3)))＝－8，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－8.]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知角α的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).(1)求sinα的值；(2)求式子eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),sinα＋π)·eq\f(tanα－π,cos3π－α)的值．[解](1)∵|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(2))＝1，∴點P在單位圓上，由正弦函數(shù)定義得sinα＝－eq\f(3,5).(2)原式＝eq\f(cosα,－sinα)·eq\f(tanα,－cosα)＝eq\f(sinα,sinα·cosα)＝eq\f(1,cosα).由(1)知，P在單位圓上，∴由余弦函數(shù)定義得cosα＝eq\f(4,5)，∴原式＝eq\f(5,4).18．(本小題滿分12分)已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，a·b＝eq\f(2,5)，求eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2)).[解]∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq\f(2,5)，∴sinα＝eq\f(3,5).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2))＝eq\f(5\r(2)sin2α－2\r(2)cosα－sinα,1＋cosα)＝eq\f(5\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))－2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)－\f(3,5))),1－\f(4,5))＝－10eq\r(2).19．(本小題滿分12分)如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，點D，E分別在邊AB，AC上，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AE,\s\up6(→)).(1)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，求證：點F為DE的中點；(2)在(1)的條件下，求eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))的值．[解](1)證明：因為eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，所以F為DE的中點．(2)由(1)可得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,10)\o(AC,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB2,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)×4＋eq\f(1,10)×2×6×cos60°＝－eq\f(2,5).20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(cos4x－1,2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)))＋cos2x－sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；(2)在所給坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)π，\f(11,8)π))的圖象(只作圖不寫過程)．[解]f(x)＝eq\f(1－2sin22x－1,－2sin2x)＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，則2kπ＋eq\f(π,4)≤2x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z，故kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．(2)圖象如下：21．(本小題滿分12分)如圖，已知eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，設Z是直線OP上的一動點．(1)求使eq\o(ZA,\s\up6(→))·eq\o(ZB,\s\up6(→))取最小值時的eq\o(OZ,\s\up6(→))；(2)對(1)中求出的點Z，求cos∠AZB的值．[解](1)∵Z是直線OP上的一點，∴eq\o(OZ,\s\up6(→))∥eq\o(OP,\s\up6(→)).設實數(shù)t，使eq\o(OZ,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))，∴eq\o(OZ,\s\up6(→))＝t(2,1)＝(2t，t)，則eq\o(ZA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(1,7)－(2t，t)＝(1－2t,7－t)，eq\o(ZB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(5,1)－(2t，t)＝(5－2t,1－t)，∴eq\o(ZA,\s\up6(→))·eq\o(ZB,\s\up6(→))＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.當t＝2時，eq\o(ZA,\s\up6(→))·eq\o(ZB,\s\up6(→))有最小值－8，此時eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(2t，t)＝(4,2)．(2)當t＝2時，eq\o(ZA,\s\up6(→))＝(1－2t,7－t)＝(－3,5)，|eq\o(ZA,\s\up6(→))|＝eq\r(34)，eq\o(ZB,\s\up6(→))＝(5－2t,1－t)＝(1，－1)，|eq\o(ZB,\s\up6(→))|＝eq\r(2).故cos∠AZB＝eq\f(\o(ZA,\s\up6(→))·\o(ZB,\s\up6