初中奧林匹克數(shù)學(xué)解題思想方法和技巧2010927

初中奧林匹克數(shù)學(xué)解題思想方法和技巧【英文題名】MethodologyandTechniquesforSolvingonOlympicMathematicsinJuniorMiddleSchool【中文關(guān)鍵字】 奧林匹克數(shù)學(xué);初中奧數(shù);解題的方法和技巧;【英文關(guān)鍵詞】Olympicmathematics;OlympicmathematicinJuniorMiddleSchool;methodologyandtechniquesforsolving;【中文摘要】隨著數(shù)學(xué)奧林匹克活動的廣泛深入的發(fā)展,奧林匹克數(shù)學(xué)及其教育也引發(fā)了各種各樣的問題與爭議。在這種情況下,本文就初中的奧林匹克數(shù)學(xué)的解題為研究對象,對其所涉及的思想方法與技巧進(jìn)行研究探討?！居⑽恼縒iththeextensiveandthoroughdevelopmentoftheMathematicalOlympicactivities,theOlympicmathematicsandtheeducationonithavealsoinitiatedvariousquestionsanddisputes.Underthissituation,withsolvingonOlympicMathematicsinJuniorMiddleSchoolasitsresearchobjectives,thisarticleattemptstostudyandprobeonthemethodologyandtechniquesinvolvedinit.一．奧林匹克數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)競賽的興起，對數(shù)學(xué)、教育學(xué)和考試學(xué)都產(chǎn)生了積極的影響，對數(shù)學(xué)教育的改革也產(chǎn)生了一定的推動作用。這些都導(dǎo)致了競賽數(shù)學(xué)的誕生，從教育的角度看，競賽數(shù)學(xué)教育圍繞著數(shù)學(xué)競賽展開的數(shù)學(xué)教育活動，以開發(fā)智能為根本目的，以解決問題為基本形式，以數(shù)學(xué)競賽大綱為基本教學(xué)內(nèi)容，實(shí)行“多綱多本”的具有綜合性教育功能的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育。何為競賽數(shù)學(xué)呢？我所理解的競賽數(shù)學(xué)應(yīng)該是一門交叉學(xué)科，應(yīng)該是數(shù)學(xué)與教育學(xué)的交叉，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的交叉，高等教育與初等教育的交叉，同時(shí)也是數(shù)學(xué)素質(zhì)與應(yīng)試藝術(shù)的融合。二.初中奧林匹克數(shù)學(xué)內(nèi)容以及初中數(shù)學(xué)競賽的發(fā)展趨勢奧林匹克數(shù)學(xué)已經(jīng)成為中小學(xué)生數(shù)學(xué)課外活動的重要部分，奧林匹克數(shù)學(xué)的研究也已經(jīng)成為數(shù)學(xué)研究的重要課題。而初中奧數(shù)是奧數(shù)教育的基礎(chǔ)，對于數(shù)學(xué)人才的發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，推動數(shù)學(xué)教育的改革和發(fā)展都具有非常重要的、不可替代的作用。因此隨著數(shù)學(xué)奧林匹克和數(shù)學(xué)教育的不斷深化和發(fā)展，恰當(dāng)?shù)卦u估初中奧數(shù)的奧數(shù)教育和基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育中的地位和作用。適宜地介紹初中學(xué)生學(xué)習(xí)的奧數(shù)內(nèi)容，正確地引導(dǎo)初中學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)，不論對奧數(shù)活動的健康發(fā)展，還是對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育和奧數(shù)的深入研究都是非常有益和必要的。中國數(shù)學(xué)奧林匹克的培訓(xùn)，基本上已經(jīng)形成了一個(gè)比較合理有效的培訓(xùn)體系。在著這個(gè)體系中高中學(xué)生是數(shù)學(xué)奧林匹克的主力軍。我們也不可否認(rèn)的認(rèn)識到隨著奧數(shù)活動不斷發(fā)展，初中將會成為培養(yǎng)奧數(shù)人才的基地。當(dāng)培訓(xùn)體系逐步完善的同時(shí)，競賽活動和內(nèi)容也應(yīng)該規(guī)范化與正規(guī)化。三.初中奧林匹克數(shù)學(xué)中解題的思想方法與技巧競賽數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，其核心是問題。數(shù)學(xué)競賽就是解決問題的競賽，那么，解題就成為了競賽數(shù)學(xué)教育的重要組成部分。在學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們幾乎每天都要解一些數(shù)學(xué)題，許多同學(xué)對于書本上基礎(chǔ)知識、定理可說是可以倒背如流，但是他們一碰到那些構(gòu)思巧妙、靈活運(yùn)用知識、不拘一格的競賽數(shù)學(xué)題目的時(shí)候，就束手無策，連解題的著手點(diǎn)都找不到。當(dāng)老師或者同學(xué)將解答過程高質(zhì)的時(shí)候，霎時(shí)恍然大悟，大發(fā)感慨原來如此。因此，很多同學(xué)都希望可以提高自己的解題能力，特別是一些希望參加競賽，并想在競賽中取得好成績的同學(xué)。那么，怎樣才能提高我們的解題能力呢！首先，要求同學(xué)們對課本所涉及的數(shù)學(xué)概念以及與這些概念緊密相關(guān)的定義、定理、數(shù)學(xué)公式與法則等都要熟悉；其次，要能夠靈活運(yùn)用這些指示，在運(yùn)用中可以結(jié)合一些基本的數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧，打好這兩個(gè)方面的基礎(chǔ)之后，還要配合一定量的聯(lián)系來積累解題經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。解題經(jīng)驗(yàn)的積累對于我們提高解題能力很重要，我們?nèi)裟軌蛟诮忸}中注意積累每一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識，從量變到質(zhì)變，慢慢就可以培養(yǎng)出一種善于思考和解決問題的能力。下面向大家介紹一些基礎(chǔ)的解題思想方法與技巧：首先，要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，很多同學(xué)都忽視了解題步驟這一環(huán)節(jié)，一拿到題目就開始動筆進(jìn)行解題，實(shí)際上這樣做是不好的。正確的解題步驟對我們解決問題有很大的幫助。那么，正確的解題步驟是怎樣的呢？其實(shí)每一位同學(xué)都知道，美國著名的數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞在他的驚世之作《怎樣解題》中也明確地指出解題的步驟是：1審.題；2.分析；3解題；4.檢查。首先，審題是解題的出發(fā)點(diǎn)。有許多數(shù)學(xué)題在審清題意之后，同時(shí)就發(fā)現(xiàn)了解題的方法和途徑，因此，審題是解題中最重要的環(huán)節(jié)。當(dāng)然也有一些數(shù)學(xué)題雖然我們審情出了題目，但是我們卻不能立即找出解題的方法甚至是連題目的意思都還沒有琢磨透，這時(shí)，就需要我們根據(jù)過去積累的解題經(jīng)驗(yàn)，利用自己掌握的解題方法與技巧，將原問題轉(zhuǎn)化，尋找到解題的著手點(diǎn)，然后將它解決。在這個(gè)過程中數(shù)學(xué)的思想方法和解題技巧起到了非常重要而關(guān)鍵也是非常靈活的作用。這個(gè)過程也是最能夠展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的地方，不知多少數(shù)學(xué)愛好者們陶醉于這個(gè)過程中，樂不思蜀。最后解題必須注意總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)也就是檢查。如果說認(rèn)真審題一個(gè)好的開頭，那么認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)就是一個(gè)好的結(jié)尾?？偨Y(jié)是為了以后解題的需要。有了良好的解題習(xí)慣，無疑對于提高我們的解題能力奠定了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其次，要奠定好堅(jiān)實(shí)的解題功底—掌握好解題工具：數(shù)學(xué)的思想方法和技巧。下面將這些方法與技巧分成：1探.索思路的鑰匙--—關(guān)于審題的思想；2.解決問題的關(guān)鍵--關(guān)--于解題的思想。.探索思路的鑰匙——關(guān)于審題的思想①整體處理的思想一道數(shù)學(xué)題可以說是一個(gè)系統(tǒng)，有條件和文體組成，條件通常分成幾個(gè)部分獨(dú)立開來。有時(shí)條件多了，問題應(yīng)該會比較容易解決，但是前提是合理地利用條件。如果條件之間相互獨(dú)立而毫無聯(lián)系，那么對于我們審題來說是一種麻煩，所以我們在審題的時(shí)候就應(yīng)該注意對題目整體結(jié)構(gòu)的分析處理，從整體的性質(zhì)出發(fā)去把握各個(gè)部分，這樣處理思想我們稱之為整體處理的思想。也就是說可以通過政體的性質(zhì)類確定部分的性質(zhì)。在競賽數(shù)學(xué)里，整體處理的思想應(yīng)用也非常的廣泛，例如：例在4 的內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)，以這n+5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，將三角形分割成互補(bǔ)重疊的三角形，共可得幾個(gè)三角形？分析：由于對△的分割未必是唯一的，因此，直接計(jì)算比較困難。當(dāng)我們?nèi)?__可以猜測一共得到小三角形2n+1個(gè)。這里如果我們可以用整體處理的方法來解決的話，就可以找到解題的辦法。解：設(shè)三角形分割得到％個(gè)小三角形，由于三角形的內(nèi)角和是度，所以％個(gè)三角形的內(nèi)角和s等于：s=網(wǎng)另外我們注意到從整體來看這x個(gè)三角形的內(nèi)角和§是由兩部分角組成的，一是在等頂點(diǎn)、、處，二是頂點(diǎn)在三角形內(nèi)部的個(gè)n點(diǎn)而且互補(bǔ)重疊，每一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)度的周角，所以內(nèi)角和s=2兀n+兀綜上所述可以得到：兀x=2兀n+兀所以s=2n+1從上面的例子我們可以看出：整體處理的思想方法可以幫助我們發(fā)掘問題的內(nèi)在特征，聯(lián)合各個(gè)條件，使得每一個(gè)條件的作用力都朝著解決問題的方向使，從而使得所研究的問題得以順利解決。②等量代換的思想等量代換顧名思義就是用相等的量來代換原來的量，使原問題得以解決的思想方法。通過改變原命題的陳訴或者改變觀察角度，使之更為我們所熟悉，從而達(dá)到解題的目的。運(yùn)用數(shù)學(xué)元素的等量代換來解題的方法叫做換元法。換元法就是用一個(gè)新的字母或者新的數(shù)學(xué)式取代換原字母或者數(shù)學(xué)式。利用恒等變形，將原問題由難化易，由繁化簡，由隱蔽化顯然的一種等量代換的解題方法。在競賽數(shù)學(xué)里，等量代換的思想應(yīng)用也非常的廣泛，看下面的例題：TOC\o"1-5"\h\zx y z a b c x2 y2 z2例已知一+；+—=1,一+-+-=0,求證： +：+=1.a b c x y z a2 b2 c2x yz證明：設(shè)l=,m=,,n,則：a bc111l+m+n=1,-+一+—=0lmn由上式得：lm+mn+nl=0x2y2z2從而：一+——+一=12+m2+n2=(l+m+n)2-2(lm+mn+nl)=1a2b2c2說明：由于已知條件和問題表達(dá)式比較復(fù)雜，所以我們可以利用換元法將其化簡，再利用(l+m+n)2=12+m2+n2+2(lm+mn+nl)關(guān)系式得到結(jié)果。.解決問題的關(guān)鍵---關(guān)-于解題的思想①帶余除法初等數(shù)論中有許多問題都是在研究整數(shù)之間的除法。任意兩個(gè)整數(shù)的和、差或者積都是整數(shù)，但是兩個(gè)整數(shù)相除時(shí)所得到的結(jié)果卻不一定是整數(shù)。那么就可以將除法分為整除和帶余除法。下面。先介紹一下帶余除法的概念與性質(zhì)：帶余除法：設(shè)〃、b是兩個(gè)整數(shù)，b。0,則存在唯一的一對整數(shù) 和，滿足a=bq+r,0<r<|b|,其中q稱為a除以b所得的商，丫稱為a除以b所得的余數(shù)。定義：如果a除以b所得的余數(shù)等于零，那么稱a能被b整除，或稱b整除a。記作ba。否則，如果余數(shù)不等于零，那么稱b不能整除a。性質(zhì)i如果a/b//J那么a/c。這時(shí)整除的傳遞性；行至：若a/b,a/c,則對任意整數(shù)x,y,都有a/bx+y.有了上面的定義和性質(zhì)，我們可以很方便地將整數(shù)劃分為若干類。奇數(shù)和偶數(shù)實(shí)際上就是將所有整數(shù)按被2除時(shí)的余數(shù)為1還是為0這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分成兩類。余數(shù)為1就是奇數(shù)，用2k-1或2k+1(這里k為整數(shù))表示；余數(shù)為就是偶數(shù)，用2k表示。這種分類的方法很容易推廣到一般情形，例如：所有整數(shù)按輩3除時(shí)的余數(shù)可分成三類：第一類是能夠被3整除的數(shù)，可以用3k表示；第二類是被除余數(shù)為的數(shù)，可以用3k+1表示；第三類是被除余數(shù)為的數(shù)，可以用3k+2或3k-1表示。一般德，整數(shù)a按被b(b>0)除時(shí)的余數(shù)可以分成b類，這b類數(shù)可以分別用bk,bk+1,bk+2,…bk+(b-1)表示，其中k為整數(shù)。按照這個(gè)規(guī)律，我們完全可以根據(jù)問題的需要將整數(shù)劃分成若干類，從而使問題條理化，這就是利用余數(shù)的思想方法。［例3］個(gè)4數(shù)26，12324，1350，938被5同一自然數(shù)除時(shí)所得的余數(shù)相同(但不為零)，求除數(shù)和余數(shù)。解：設(shè)除數(shù)為b，余數(shù)為人依題意有：TOC\o"1-5"\h\z2613=bqi+r; (1)2243=bq2+r； (2)1503=bq3+r； (3)985=bq4+r； (4)(1)-(2)得：370=b(q-q)；12(3)-(4)得：518=b(q-q).34以上可知，和 都可以被b整除，也就是說b時(shí) 和的公約數(shù)。因?yàn)楹偷拇笥诘墓s數(shù)有，，，所以b=2,37,74,相應(yīng)地r=1,23,23.所以除數(shù)為2時(shí)余數(shù)是1，除數(shù)是37時(shí)余數(shù)是2，3除數(shù)是74時(shí)余數(shù)是23。②待定系數(shù)法“待定系數(shù)法“是一種很重要的解決多項(xiàng)式問題的數(shù)學(xué)方法，它的思想方法是：先假設(shè)一個(gè)恒等式，其中含有待定的系數(shù)，然后根據(jù)多項(xiàng)式衡等概念或者是有關(guān)的定理導(dǎo)出方程或方程組，解方程或方程組從而求出待定的稀疏，或者從方程或方程組中消去待定系數(shù)，找到原來那些已知系數(shù)間所存在的關(guān)系，從而解決問題。在這種方法的使用過程中有個(gè)地方需要注意：在假設(shè)恒等式的時(shí)候，通常需要知道問題的預(yù)定結(jié)構(gòu)，當(dāng)中的待定系數(shù)主要是整式中的系數(shù)。換句話說就是：只要能與之多項(xiàng)式問題的結(jié)構(gòu)都可以考慮使用待定系數(shù)法。下面我們用例子來看看待定系數(shù)法的應(yīng)用：例請問：當(dāng)m,n為什么數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x4-4x2+mx-n能夠被x2+2x-1整除？分析：根據(jù)題目的意思和整除的要求，可以預(yù)知商式應(yīng)該是一個(gè)二次三項(xiàng)式，所以我們可以運(yùn)用待定系數(shù)法假設(shè)所求商式為ax2+bx+j再根據(jù)題目已知的兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分析可以知道a=1,c=n,這樣就減少了兩個(gè)待定系數(shù)，再根據(jù)多項(xiàng)式衡等概念可以求解出其他三個(gè)待定系數(shù)。解：假設(shè)商式為X2+bx+n，則依題意可得:x4—4x2+mx—n=(x2+2x—1)(x2+bx+n)=x4+(2+b)x3+(2b+n—1)x2+(2n—b)x—n比較等式左右兩邊多項(xiàng)式的系數(shù)可得：尸+b二0<2b+n—1=—42n—b-m解方程組得：b-—2,n-1,m-4.所以當(dāng)m-4,n-1時(shí)，多項(xiàng)式x4—4x2+mx—n能