2023年北京中考數學重難題型專題04二次函數的推理計算與證明綜合問題（真題10道+模擬30道）含詳解

2023中考數學重難題型培優(yōu)導練案（北京專用）

專題04二次函數的推理計算與證明綜合問題（北京真題10道+模擬30道）

【方法歸納】題型概述，方法小結，有的放矢

據北京歷年中考題型來推測，二次函數的壓軸題目多數會以參數的形式出現的，難度之大，可

想而知。在解決含參數二次函數的題目時，通常先觀察解析式，看能否求出對稱軸，圖像與坐標軸交

點能否用參數來表示？根據設出點的坐標可求出相應的線段，然后觀察題意，再考慮我們所學過的知

識點（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函數的基礎知識有：

1.幾種特殊的二次函數的圖象特征如下:

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

無=°（、軸）(0,0)

y=ax2+k*=°('軸)9,k)

當a>0時

y=a(x-h)2開口向上x=hS,0)

當。<0時

y-a[x—A)*+kx—hS,為

開口向下

bbAac—b2

y=ax2+bx+cx=———

2a(2aAa)

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a#0）.已知圖象上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點式：y^a（x-hf+k（aWO）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

（可以看成y=ad的圖象平移后所對應的函數.）

⑶交點式：已知圖象與X軸的交點坐標XI、X2,通常選用交點式：

bQ

y=Q（x—）（x—）（a^O）.（由此得根與系數的關系：X]+%2=---,X,=—）.

【典例剖析】典例精講，方法

提煉，精準提分

[例1]（2021?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，點（l,m）和點（3,n）在拋物線y=ax2+bx（a>0）

（1）若m=3,n=15,求該拋物線的對稱軸：

（2）已知點（一1,%）,（2,丫2），（4,丫3）在該拋物線上.若nm<0，比較力,力，乃的大小，并說明理由.

【例2】（2022?北京?中考真題）在平面直角坐標系％Oy中，點（1,血）,（3,九）在拋物線y=a/+bx+c（Q>o）

上，設拋物線的對稱軸為％=t.

（1）當c=2,m=ri時，求拋物線與y軸交點的坐標及￡的值；

（2）點。o，m）（%oH1）在拋物線上，若m<n<G求t的取值范圍及q的取值范圍.

【真題再現】必刷真題，關注素養(yǎng)，把握核心

1.（2013?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx-2（m9））與y軸交于點A,其對

稱軸與x軸交于點B.

（1）求點A,B的坐標；

（2）設直線1與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線1的解析式；

（3）若該拋物線在這一段位于直線1的上方，并且在2Vx<3這一段位于直線AB的下方，求該拋物

線的解析式.

2.（2014?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=2/+小刀+n經過點4（0,-2）,8（3,4）.

（1）求拋物線的表達式及對稱軸；

（2）設點B關于原點的對稱點為C,點。是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A,B之間的部分為圖象G（包

含4B兩點）.若直線CD與圖象G有公共點，結合函數圖像，求點?？v坐標t的取值范圍.

13.（2015?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，過點（0,2）且平行于x軸

的直線，與直線y=x-l交于點A,點A關于直線x=l的對稱點為B,拋物線C,：y=x2+bx+c經過點A,

B.

4?

3?

2-

1-

(1)求點A,B的坐標;

-4-3-2-1。1234x

-1-

-2-

-3-

-4-

備用圖

(2)求拋物線Ci的表達式及頂點坐標；

(3)若拋物線C2：y=ax2(a/0)與線段AB恰有一個公共點，結合函數的圖象，求a的取值范圍.

4.(2016?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx+m—1(m>0)與x軸的交點

為A,B.

(1)求拋物線的頂點坐標；

(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.

①當m=l時，求線段AB上整點的個數；

②若拋物線在點A,B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(包括邊界)恰有6個整點，結合函數的圖象,

求m的取值范圍.

1■

■>5.(2017?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-4x+3

o-Tx

與X軸交于點A、B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.

(1)求直線BC的表達式；

(2)垂直于y軸的直線1與拋物線交于點pQi，%),Q(%2，y2)，與直線BC交于點水X3，乃)，若X|<X2<X3,

結合函數的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍.

6.（2018.北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點4B,拋物線

y=ax2+bx-3a經過點2,將點8向右平移5個單位長度，得到點C.

（1）求點C的坐標；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍.

7.（2019?北京?中考真題）在平面直角坐標系％0y中，拋物線y=ax?+bx-5與y軸交于點A,將點A向右

平移2個單位長度，得到點B,點B在拋物線上.

（1）求點B的坐標（用含a的式子表示）；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）已知點（2（2,2）.若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍.

8.（2020.北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，用（彳1,%）,可（如為）為拋物線V=ax2+bx+c（a>0）±

任意兩點，其中與<犯.

（1）若拋物線的對稱軸為X=1,當Xi，?為何值時，丫1=及=C；

（2）設拋物線的對稱軸為x=t.若對于與+%2>3,都有％<%，求t的取值范圍.

L模擬精練】必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題（共30題）

1.（2022?北京市廣渠門中學模擬預測）已知拋物線y=a/+2g+3a2-4（a#0）

（1）該拋物線的對稱軸為;

（2）若該拋物線的頂點在x軸上，求a的值；

（3）設點N（2,yz）該拋物線上，若求，”的取值范圍.

2.（2022.北京.二模）在平面直角坐標系xO），中，拋物線y=/一27nx.

（1）當拋物線過點（2,0）時，求拋物線的表達式；

（2）求這個二次函數的頂點坐標（用含〃，的式子表示）；

（3）若拋物線上存在兩點A（m-1,%）和B（?n+2,丫2），其中m>0.當乃,乃>。時，求的取值范

圍.3.（2022?北京昌平?二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a/+bx-l（a>0）.

y

3

1

.......................3⑴若拋物線過點(4,-l).

1~2~3~4~5~6~7

①求拋物線的對稱軸；

②當-1<》<0時，圖像在X軸的下方，當5<X<6時，圖像在X軸的上方，在平面直角坐標系中畫出符合

條件的圖像，求出這個拋物線的表達式；

（2）若（—4,yJ,（—2,%），（1,為）為拋物線上的三點且>%>丫2,設拋物線的對稱軸為直線X=3直接寫

出t的取值范圍.

4.（2022?北京房山?二模）在平面直角坐標系xOy中，點做2,-1）在二次函數y=/-（2m+l）x+ni的圖象

上.

（1）直接寫出這個二次函數的解析式；

（2）當nWxWl時，函數值的取值范圍是一1WyW4-n,求〃的值；

（3）將此二次函數圖象平移，使平移后的圖象經過原點。.設平移后的圖象對應的函數表達式為、=

a（x-h）2+k,當x<2時，y隨x的增大而減小，求&的取值范圍.

5.（2022?北京朝陽?二模）在平面直角坐標系xO），中，已知拋物線y=M+（a+2）x+2a.

（1）求拋物線的對稱軸（用含“的式子表示）；

（2）若點（一1,yQ,（。，為），（1，、3）在拋物線上，且yi<y2<y3，求。的取值范圍.

6.（2022?北京東城?二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+l（a羊0）的對稱軸是直線x=3.

（1）直接寫出拋物線與y軸的交點坐標；

（2）求拋物線的頂點坐標（用含a的式子表示）；

（3）若拋物線與x軸相交于48兩點，且4B44,求a的取值范圍.7.（2022?北京平谷?二模）在平面直角坐標

系xOy中，點（一1,%）、（1/2）、（3,乃）是拋物線y=/+bx+1上三個點.

（1）直接寫出拋物線與y軸的交點坐標；

（2）當力=曠3時，求6的值；

(3)當丫3>>1>丫2時，求6的取值范圍.

8.(2022.北京四中模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=/一25+一

(1)求拋物線的頂點坐標(用含，的代數式表示)；

(2)點P(Xi，yi),Q(X2，y2)在拋物線上，其中t-1<%i<t+2,x2=1-t.

①若％的最小值是-2,求力的最大值；

②若對于與,不，都有yi<Y2,直接寫出/的取值范圍.

9.(2022?北京豐臺?二模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=M—2ax—3.

(1)求該拋物線的對稱軸(用含。的式子表示)

(2)4(/，％),B(X2,丫2)為該拋物線上的兩點，若為1=1-2a,上=a+1，且Vi>y2，求a的取值范圍.

10.(2022?北京密云?二模)已知二次函數y=aM+bx+2的圖象經過點(1,2).

(1)用含a的代數式表示6；

(2)若該函數的圖象與x軸的一個交點為(—1,0),求二次函數的解析式；

(3)當a<0時，該函數圖象上的任意兩點P(Xi，yD、Q(>2，y2)，若滿足尤1=-2,y]>y?，求%2的取值范圍.

11.(2022?北京大興?二模)關于x的二次函數%=/+mx的圖象過點(一2,0).

(1)求二次函數yi=x2+mx的表達式；

(2)已知關于x的二次函數丫2=-x2+2x,一次函數丫3=kx+b(k*0),在實數范圍內，對于x的同一個值，

這三個函數所對應的函數值yi>y3力均成立.

①求6的值；

②直接寫出火的值.

12.(2022?北京順義?二模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=產+加》+n.

⑴當m=-3時，

①求拋物線的對稱軸；

②若點8(M療2)都在拋物線上，且y2<y「求到的取值范圍；

(2)已知點將點P向右平移3個單位長度，得到點。.當n=2時，若拋物線與線段尸。恰有一個

公共點，結合函數圖象，求，〃的取值范圍.

13.(2022?北京市十一學校模擬預測)已知二次函數y=a/-4ax-3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A

在點2的左側)，頂點為￡>.

(1)直接寫出函數圖象的對稱軸：；

(2)若△4BD是等腰直角三角形，求a的值；

(3)當一1WxWk(2WkW6)時，y的最大值機減去y的最小值”的結果不大于3,求。的取值范圍.

14.(2022?北京房山?二模)已知二次函數y=a/一4ax.

(1)二次函數圖象的對稱軸是直線x=：

(2)當0W%W5時，y的最大值與最小值的差為9,求該二次函數的表達式；

(3)若a<0,對于二次函數圖象上的兩點P(%i，yi),Q(*2，y2)，當)一1W4t+l,x2>5時，均滿足力>y2,

請結合函數圖象，直接寫出，的取值范圍.

15.(2022?北京海淀?二模)在平面直角坐標系xO)，中，點(加-2,州),(肛”)，(2-m,yj)在拋物線y=/

—2ax+1上，其中且m^2.

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸的表達式(用含a的式子表示)；

(2)當機=0時，若y尸”，比較y/與>2的大小關系，并說明理由；

(3)若存在大于1的實數機，使y/>y2>y3,求a的取值范圍.

16.(2022.北京西城?二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=。產+加+c經過點(0,-2),(2,-2).

(1)直接寫出c的值和此拋物線的對稱軸；

(2)若此拋物線與直線y=-6沒有公共點，求a的取值范圍；

(3)點(t,%),?+1,及)在此拋物線上，且當一2StW4時，都有“2—%1<(直接寫出。的取值范圍.

17.(2022?北京東城?一■模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=/-2mx+m?+i與軸交于點A.點

是拋物線上的任意一點，且不與點4重合，直線y=kx+b(k。0)經過4，B兩點.

(1)求拋物線的頂點坐標(用含機的式子表示)；

(2)若點。(小一2,。)，O(m+2,b)在拋物線上，則a匕(用"或">''填空)；

(3)若對于與<-3時，總有k<0,求機的取值范圍.

18.(2022?北京市T—學校二模)在平面直角坐標系xOy中，點A(r,2)(r/0)在二次函數y=ax2+bx+2(a彳

0)的圖象上.

(1)當t=4時，求拋物線對稱軸的表達式；

(2)若點8(5—t,0)也在這個二次函數的圖象上.①當這個函數的最小值為0時，求f的值；

②若在0WXW1時，y隨x的增大而增大，求f的取值范圍.

19.(2022?北京石景山?一模)在平面直角坐標xOy中，點(4,2)在拋物線丫=&/+"+25>0)上.

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)拋物線上兩點P(%i，yi),Q(x2,y2)>.@.t<x1<t+l,4-t<x2<5-t.

①當t=|時，比較y2的大小關系，并說明理由；

②若對于與，X2,都有yi二丫2,直接寫出，的取值范圍.

20.(2022?北京大興?一模)在平面直角坐標系xOy中，已知關于x的二次函數y=/-2ax+6.

(1)若此二次函數圖象的對稱軸為x=1.

①求此二次函數的解析式；

②當x力1時，函數值>,.5(填“>”，“<"，或2”或"W)；

(2)若a<—2,當一2SxW2時，函數值都大于“，求a的取值范圍.

21.(2022?北京?東直門中學模擬預測)在平面直角坐標系X。)，中，拋物線y=ax2-(a+4)x+3經過點(2,zn).

(1)若m=-3,

①求此拋物線的對稱軸；

②當l<x<5時，直接寫出y的取值范圍；

(2)已知點(%1，月)，(%2，丫2)在此拋物線上，其中若m>0,且5xi+5%2214,比較％，的大小，

并說明理由.

22.(2022.北京市燕山教研中心一模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=。必+法+3a(a#0)與x軸的

交點為點4(1,0)和點B.

(1)用含。的式子表示b；

(2)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；

(3)分別過點P(t,O)和點Q(t+2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N,記拋物線在何，N之間的部分為

圖象G(包括N兩點).記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是膽，最小值為〃.

①當a=1時，求m-ri的最小值；

②若存在實數f,使得m-n=l,直接寫出a的取值范圍.

23.(2022?北京平谷?一模)在平面直角坐標系xO)，中，拋物線y=/-2fer.

(1)當拋物線過點(2,0)時，求拋物線的表達式；

(2)求這個二次函數的對稱軸(用含6的式子表示)；(3)若拋物線上存在兩點A(/?-I,>■/)和BS+2,”)，

當W<0時，求人的取值范圍.

24.(2022?北京門頭溝?一■模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-/+2?nx-病+m-2(m是常

數).

3產

A▲A■/?

12345"(1)求該拋物線的頂點坐標(用含m代數式表示);

(2)如果該拋物線上有且只有兩個點到直線y=1的距離為1,直接寫出Tn的取值范圍；

(3)如果點4(見月)，8(a+2,y2)都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有力>力，求a的取值

范圍.

25.(2022?北京房山?一模)己知二次函數y=/+fex+c(6,c為常數)的圖象經過點A(1,0)與點C(0,-3),

其頂點為P.

$

;二；:(1)求二次函數的解析式及P點坐標;

3

3

(2)當心時，y的取值范圍是?4W)02m,求"2的值.

26.(2022?北京朝陽?一模)在平面直角坐標系％Oy中，點(一2,0),(2,%)在拋物線y=x2+Z?x+

c上.

(1)若%=丫2，求為的值；

(2)若Vyi<丫3，求為值的取值范圍.27.(2022?北京市第一六一中學分校一模)在平面直角坐標系xOy

中，直線//：y=-2x+6與y軸交于點A,與x軸交于點3,二次函數的圖象過A,8兩點，且與x軸的另一

交點為點C,BC=2；

6

5

4

3

2

1

?1111r（1）求點c的坐標;

4?5Y-3-2-1O123456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

（2）對于該二次函數圖象上的任意兩點P/（xi,y/）,尸2（尢2,丁2）,當制＞冗2＞2時，總有

①求二次函數的表達式;

②設點A在拋物線上的對稱點為點。，記拋物線在C。之間的部分為圖象G（包含C,。兩點）.若一次

函數丁="-2（原0）的圖象與圖象G有公共點，結合函數圖象，求&的取值范圍.

28.（2022?北京順義?一模）在平面直角坐標系xOy中，點（2,-2）在拋物線、=。久2+"一2（。＜0）上.

（1）求該拋物線的對稱軸;

（2）已知點（九一2,%），（n-l,y2）,（n+1,乃）在拋物線、=a/+b%-2（。V0）上.若0＜九＜1,比較y1，

為，丫3的大小，并說明理由.

29.（2022?北京海淀?一模）在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=a%2-2ax（aH0）的圖象經過點4（一1,3）.

（1）求該二次函數的解析式以及圖象頂點的坐標；

（2）一次函數y=2%+b的圖象經過點A,點（犯力）在一次函數y=2%+b的圖象上，點（m+4,丫2）在二次函

數、=Q/一的圖象上.若yi〉為，求〃?的取值范圍.

30.（2022?北京市第七中學一模）在平面直角坐標系％Oy中，點4（4、1）,以物力）在拋物線V=-/+（2a-

2

2）%—a+2Q上，其中％1＜%2-

⑴求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；

（2）①當％=a時，求y的值；②若乃=、2=。，求的的值（用含。的式子表示）；

（3）若對于與+打＜一5，都有力＜為，求Q的取值范圍.

2023中考數學重難題型培優(yōu)導練案（北京專用）

專題04二次函數的推理計算與證明綜合問題（北京真題10道+模擬30道）

【方法歸納】題型概述，方法小結，有的放矢

據北京歷年中考題型來推測，二次函數的壓軸題目多數會以參數的形式出現的，難度之大，可

想而知。在解決含參數二次函數的題目時，通常先觀察解析式，看能否求出對稱軸，圖像與坐標軸交

點能否用參數來表示？根據設出點的坐標可求出相應的線段，然后觀察題意，再考慮我們所學過的知

識點（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函數的基礎知識有:

1.幾種特殊的二次函數的圖象特征如下:

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

工=°（'軸）(0,0)

y=ax2+kx=°（沙軸）(0,k)

當a>0時

y=a[x—%)'開口向上x=h(3o)

當以vO時

y=a(x一力＞+上x=h凡無）

開口向下

bbAac-b2

y=ax2+bx+cx=———

2a(2aAa)

2.用待定系數法求二次函數的解析式:

⑴一般式：y=ax2+bx+c（a#0）.已知圖象上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點式：y=a（x-hf+k（aWO）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

（可以看成y=ax1的圖象平移后所對應的函數.）

⑶交點式：已知圖象與X軸的交點坐標XI、X2,通常選用交點式:

bc

y=（a#o）.（由此得根與系數的關系：石+%2=--，玉/2=—）。

aa

3.

【典例剖析】典例精講，方法

提煉，精準提分

【例1】(2021?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，點(l,m)和點(3,71)在拋物線、=。％2+/)%3>0)

上.

(1)若m=3,n=15,求該拋物線的對稱軸；

(2)已知點(-l,yD(2,丫2)，(4,丫3)在該拋物線上.若mn<0，比較丫1，、2，丫3的大小，并說明理由.

【答案】(1)x=-1；(2)丫2<月<為，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)由題意易得點(1,3)和點(3,15),然后代入拋物線解析式進行求解，最后根據對稱軸公式進行求解即可；

(2)由題意可分當巾<0,n>0時和當山>0/<0時，然后根據二次函數的性質進行分類求解即可.

【詳解】

解：(1)當771=3,〃=15時，則有點(L3)和點(3,15),代入二次函數y=a/+bx(a>0)得：

卜上以=，，解得:｛；=；，

(9。+3b=153=2

???拋物線解析式為y=/+2x,

...拋物線的對稱軸為X=-?=-1;

2a

(2)由題意得：拋物線y=@無2+6轉。>0)始終過定點(0,0),則由nmvo可得：

①當？n>0,n<0時，由拋物線y=ax2+bx(a>0)始終過定點(0,0)可得此時的拋物線開口向下，即a<0,

與Q>0矛盾；

②當?n<0,n>0時，

?.?拋物線y=ax2+bx(a>0)始終過定點(0,0),

???此時拋物線的對稱軸的范圍為1(尤<|,

:點(一1,%),(2/2)，(4/3)在該拋物線上，

它們離拋物線對稱軸的距離的范圍分別為I<x-(-l)<|,i<2-x<p|<4-x<p

Va>0,開口向上，

/.由拋物線的性質可知離對稱軸越近越小，

?**yz<%v>3?

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

【例2】（2022?北京?中考真題）在平面直角坐標系％0、中，點（1,??1）,（3,幾）在拋物線、=。％2+加；+0（。>0）

上，設拋物線的對稱軸為％=C.

（1）當c=2,m=n時，求拋物線與y軸交點的坐標及￡的值；

（2）點。。，加乂&W1）在拋物線上，若zn<n<c,求t的取值范圍及&的取值范圍.

【答案】⑴（0,2）；2

（2）t的取值范圍為|<t<2,軟的取值范圍為2<沏<3

【解析】

【分析】

（1）當x=0時，產2,可得拋物線與y軸交點的坐標：再根據題意可得點（3,n）關于對稱軸為x=t對

稱，可得f的值，即可求解；

（2）拋物線與y軸交點關于對稱軸x=C的對稱點坐標為（2f,c）,根據拋物線的圖象和性質可得當x<，時，

y隨x的增大而減小，當x>t時，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當點（1,血），點（3,n）,（2/,

c）均在對稱軸的右側時；當點（1,巾）在對稱軸的左側，點（3,n）,（2f,c）均在對稱軸的右側時，即可求解.

解：（1）解：當c=2時，y=aX2+w：+2,.?.當時，y=2,二拋物線與），軸交點的坐標為（0,2）；

n,二點（Lm）,（3,n）關于對稱軸為久=￡對稱，.'"=岸=2；

（2）解：當戶0時，尸c,...拋物線與y軸交點坐標為（0,c）,

???拋物線與y軸交點關于對稱軸x=t的對稱點坐標為（2i,c）,

>0,「?當x工t時，y隨式的增大而減小，

當時，y隨x的增大而增大，當點點（3,幾），（2r,c）均在對稱軸的右側時，t<l,

Vm<n<c,l<3,：.2t>3,即t>|（不合題意，舍去），

當點（1,巾）在對稱軸的左側，點（3,n）,（2t,c）均在對稱軸的右側時，點（沏,巾）在對稱軸的右側，l<t<3,

此時點（3,九）到對稱軸％=t的距離大于點（l,m）到對稱軸％=亡的距離，???￡-1V3-3解得：￡V2,

Vm<n<c,l<3,2/>3,BPt><t<2,

對稱軸為x=t,=等，<竽<2,解得：2<x0<3,的取值范圍為|<t<2,

出的取值范圍為2<沏<3.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

【真題再現】必刷真題，關注素養(yǎng)，把握核心

1.(2013?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx-2(m翔))與丁軸交于點A,其對

稱軸與x軸交于點B.

(1)求點A,B的坐標；

(2)設直線1與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線1的解析式；

(3)若該拋物線在這一段位于直線加勺上方，并且在2Vx<3這一段位于直線AB的下方，求該拋物

線的解析式.

【答案】(1)A(0,-2),B(1,0)；(2)y=-2x+2；(3)y=2x2-4x-2

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)令x=0求出y的值，即可得到點A的坐標，求出對稱軸解析式，即可得到點B的坐標；

(2)求出點A關于對稱軸的對稱點(2,-2),然后設直線1的解析式為y=kx+b(k^O),利用待定系數法求

一次函數解析式解答即可；

(3)根據二次函數的對稱性判斷在2Vx<3這一段與在-lVx<0這一段關于對稱軸對稱，然后判斷出拋物

線與宜線1的交點的橫坐標為-1,代入直線1求出交點坐標，然后代入拋物線求出m的值即可得到拋物線解

析式.

試題解析：(1)當x=0時,y=-2,

AA(0,-2),

拋物線的對稱軸為直線x=-F%=l,

2m

AB(1,0)；

(2)易得A點關于對稱軸直線x=l的對稱點A，(2,-2),

則直線1經過A\B,

設直線1的解析式為y=kx+b(厚0),

則｛2k+b=-2

解得。量2,

所以，直線I的解析式為y=-2x+2；

(3)；拋物線的對稱軸為直線x=l，工拋物線在2Vx<3這一段與在-l<x<0這一段關于對稱軸對稱，

結合圖象可以觀察到拋物線在-2<xV-l這一段位于直線1的上方，在<x<0這一段位于直線1的下方，

拋物線與直線1的交點的橫坐標為-1,

當x=-l時，y=-2x(-1)+2=4,

所以，拋物線過點（-1,4）,

當x=-l時，m+2m-2=4.

解得m=2,

二拋物線的解析式為y=2x2-4x-2.

3.二次函數圖象

上點的坐標特征.

2.（2014.北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經過點A（0,-2）,B（3,4）.

（1）求拋物線的表達式及對稱軸;

（2）設點B關于原點的對稱點為C,點。是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在4,B之間的部分為圖象G（包

含48兩點）.若直線CD與圖象G有公共點，結合函數圖像，求點?？v坐標t的取值范圍.

2x23

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）將所給的點的坐標代入就可求得解析式，利用對稱軸公式就可以

（2）先確定點C的坐標，當D點為拋物線的頂點時，此時t最小，當D為BC與對稱軸的交點時，此時的

t最大

試題解析：(1);p=2/經過點A(0,-2),B(3,4).

n=—2

代入得：LGC

18+3m+/i=4

二＜R—Y，拋物線的表達式為y=2——4x—2

〃=—2

對稱軸x=-i=l

2x2

(2)由題意可知C(-3,-4)

二次函數y=Ze?-4x—2的最小值為-4

由圖象可以看出D點縱坐標最小值即為-4,最大值即BC與對稱軸交點

4

當X=1時，y=—

3

4

所以t的取值范圍是一44￡4一考點：1、二次函數；2、中心對稱；3、數形結合

3

3.（2015?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，過點（0,2）且平行于x軸的直線，與直線y=x-l

交于點A,點A關于直線x=l的對稱點為B,拋物線Ci：y=x?+bx+c經過點A,B.

4?

3-

2?

1?

—,—■—1—1——■—1—1—,—(1)求點A,B的坐標;

-4-3-2-1。1234x

-1-

-2-

-3-

-4-

備用圖

(2)求拋物線Ci的表達式及頂點坐標；

(3)若拋物線C2：y=ax2(a#))與線段AB恰有一個公共點，結合函數的圖象，求a的取值范圍.

【答案】(1)A(3,2),B(-1,2).(2)y=x2-2x-l,(1,-2).(3)g?a<2

【解析】

【分析】

(1)把y=2代入直線解析式即可求出A(3,2),根據對稱的性質得出B(-1,2)；

(2)把A,B兩點的坐標代入C“y=x2+bx+c即可求出二次函數的解析式和頂點坐標；

(3)把A,B的坐標分別代入C2：y=ax2求出a的值即可得出結論.

【詳解】

(1)當y=2,則2=x—1,x=3,

，A(3,2),

VAB關于x=1對稱,

AB(-1,2).

(2)把(3,2)(-1.2)代入得：卷;：，解得仁二：，所以函數解析式為丫=/一2%-1,其

頂點坐標為(1,-2).

(3)如圖，當C2過A點，B點時為臨界，

代入A(3,2)則9a=2,

代入B(-1,2)則a=2

2

二?一工Q<2.

9

4.（2016.北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線

y=mx2—2mx+m—1（m>0）與x軸的交點為A,B.

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.

①當m=l時，求線段AB上整點的個數；

②若拋物線在點A,B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內（包括邊界）恰有6個整點，結合函數的圖象,

求m的取值范圍.

1-

>【答案】（I）頂點坐標（1,-1）.（2）3個；（3）J<m<i

1、94

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）將拋物線表達式變?yōu)轫旤c式，即可得到頂點坐標；

（2）①m=l時，拋物線表達式為y=/—即可得到A、B的坐標，可得到線段AB上的整點個數;

②拋物線頂點為（1,-1）,則由線段AB之間的部分及線段AB所圍成的區(qū)域的整點的縱坐標只能為或者

0,所以即要求AB線段上（含AB兩點）必須有5個整點；令y=0,則m/一2nl%+m-1=0,解方程可

得到A、B兩點坐標分別為（1一高，0）,（1+煮，0）,即5個整點是以（1,0）為中心向兩側分散，進

而得到2W看<3,即可得到結論.

試題解析：（1）將拋物線表達式變?yōu)轫旤c式y=rn（x-l）2—l,則拋物線頂點坐標為（1,-1）；

（2）①m=l時，拋物線表達式為y=/一2%,因此A、B的坐標分別為（0,0）和（2,0）,則線段AB

上的整點有（0,0）,（1,0）,（2,0）共3個；

②拋物線頂點為（1,-1）,則由線段AB之間的部分及線段AB所圍成的區(qū)域的整點的縱坐標只能為-1或者

0,所以即要求AB線段上（含AB兩點）必須有5個整點;又有拋物線表達式，令y=0,則-2mx+m-l=

0,得到A、B兩點坐標分別為（1一高，0）,（1+a，0）,即5個整點是以（1,0）為中心向兩側分散,

5.（2017?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A、B（點A在點B

的左側），與y軸交于點C.

（1）求直線BC的表達式；

（2）垂直于y軸的直線1與拋物線交于點pOi，%）,Q（%2，y2），與直線BC交于點N（X3，y3），若xi<X2<X3,

結合函數的圖象，求XI+X2+X3的取值范圍.

【答案】（1）y=-x+3;⑵7<XI+X2+X3<8.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）先求A、B、C的坐標，用待定系數法即可求解；

（2）由于垂直于y軸的直線I與拋物線y=/-4%+3要保證<%2<工3，則P、Q兩點必位于x軸下方，

作出二次函數與一次函數圖象，找出兩條臨界直線，為x軸和過頂點的直線，繼而求解.

試題解析：（1）由拋物線y=M-4X+3與X軸交于點A,B（點A在點B的左側），令y=0,解得x=l或

x=3,二點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0),

\?拋物線y=x2-4x+3與y軸交于點C,令x=0,解得y=3,...點C的坐標為(0,3).設直線BC的表

達式為y=kx+b,二產/；。,解得｛1注1,

直線BC的表達式為：y=-x+3.

(2).由y=x2-4x4-3=(x-2)2-1,

???拋物線的頂點坐標為(2,-1),對稱軸為直線x=2,

Vy1=y2,.?.%1+%2=4.令y=-l,y=-x+3,x=4.

即

<x2<x3,.'.3<X3<4,7Vxl+%2+%3<8,

+%2+%3的取值范圍為：7v%i+%2+%3<8.

【點睛】本題考查二次函數與X軸的交點問題，待定系數法求函數解析式，二

次函數的對稱性等，結合圖形正確地求解是關鍵.

6.（2018?北京?中考真題）在平面直角坐標系％Oy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點4B,拋物線

y=a/+6工一3a經過點4,將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

（1）求點。的坐標；

（2）求拋物線的對稱軸；（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍.

【答案】（1）C（5,4）；（2）x=l；（3）。＜一（或。21或（1=一1.

【解析】

【詳解】

分析：（1）根據直線y=4x+4與％軸、y軸交于力、B.即可求出4（-1,0）,B（0,4）,根據點的平移即

可求出點C的坐標；

（2）根據拋物線y=。/+此一3a過4（-1,0）,代入即可求得b=-2a,根據拋物線的對稱軸方程即可

求出拋物線的對稱軸；

（3）分①當拋物線過點C時.②當拋物線過點B時.③當拋物線頂點在BC上時.三種情況進行討論即可.

詳解：(1)解：..,直線y=4%+4與％軸、y軸交于4、B.

：.A(-1,0),B(0,4)

：.C(5,4)

(2)解：拋物線y=a/+b%-3a過4(-1,0)

Aa—b—3a=0.b=-2a

??y=ax2—2ax—3a

二對稱軸為X=一手=1.

2a

(3)解：①當拋物線過點C時.

-3a=4,解得a=-

③當拋物線頂點在BC上時.

%

此時頂點為(1,4)

??a—2Q—3Q=4,解得Q=-1.

???綜上所述Q<一(或。>:或Q=-1.

點睛：屬于二次函數的綜合題，考查了一次函數與坐標軸的交點，點的平移，拋物線對稱軸，拋物線與線

段交點問題，注意分類討論思想在解題中的應用.

7.(2019?北京?中考真題)在平面直角坐標系久0y中，拋物線丫=。％2+加；-，與丁軸交于點人，將點A向右

平移2個單位長度，得到點B,點B在拋物線上.

(1)求點B的坐標(用含a的式子表示)；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)已知點PG，-*,(2(2,2).若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍.

【答案】(1)點B的坐標為(2,-》；(2)對稱軸為直線久=1;(3)當時，拋物線與線段PQ恰有'

個公共點.【解析】

【分析】

(1)4(0,-J向右平移2個單位長度，得到點8(2,-?；

(2)A與B關于對稱軸x=l對稱；

⑶)①a>°時，當x=2時，y=-i<2,當y時，x=0或x=2,所以函數與AB無交點；②a<。時，

當y=2時，ax2-2ax--=2,》=也絲11或％=竺!但當竺1絲1!《2時，a《一3

aaaa2

【詳解】

解：(1),??拋物線與y軸交于點A,...令x=0,得y=_g,

點A的坐標為(0,-》，?.?點A向右平移兩個單位長度，得到點B,

點B的坐標為(2,-》；

(2)???拋物線過點4(0,-*和點由對稱性可得，拋物線對稱軸為

直線》=等=1,故對稱軸為直線x=l

(3)；對稱軸x=l,

/.b-2a,二y=ax2—2ax-

/a

①a>0時，

當x=2時，y=--<2,當y=-々=0或x=2,

aa

，函數與AB無交點；

②aVO時，

當y=2時,ax2—2ax-，=2,

X=或X=a-1a+H當a+|a+l］《？時，a<

aaa2

當a《-決寸，拋物線與線段PQ恰有一個公共點；

(3)①當a>0時，則-}<0,分析圖象可得：根據拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經過點A和點P；

也不可能同時經過點B和點Q,所以，此時線段PQ與拋物線沒有交點.

②當a<0時，則-5>0.分析圖象可得：根據拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經過點A和點P；但當

點Q在點B上方或與點B重合時，拋物線與線段PQ恰有一個公共點，此時-T42,即

綜上所述，當aS-1時，拋物線與線段PQ恰有一個公共點.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象上點的特征，數形結合討論交點是解題的關鍵.

8.(2020?北京?中考真題)在平面直角坐標系％Oy中