把數(shù)學(xué)建模的思想和方法

把數(shù)學(xué)建模的思想和方法

融入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中去

北京理工大學(xué)葉其孝

數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性

為什么要把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入

大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程？

三.怎樣融入？

A.融入的幾個原則

B.具體做法：兩個例子

1.復(fù)利和抵押貸款買房問題

2.易拉罐問題一一個想法改變了可

口可樂易拉罐的形狀

四.幾個值得注意的問題

五.困難和可能的解決辦法

數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性

高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù).

戴維（E.David,1972年曾任尼克松總統(tǒng)的科學(xué)

顧問，1966年入選美國工程院院士）在1984年

說的一段話：

“…對數(shù)學(xué)研究的低水平的資助只能來自對于

數(shù)學(xué)研究帶來的好處的完全不妥的評價，顯然，

很少有人認識到當(dāng)今被如此稱頌的‘高技術(shù)'

本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)」

...thelowlevelsofsupportformathematics

researchcanonlyflowfromatotallyinadequate

preciationofthebenefitsitconfers.

Apparently,toofewpeoplerecognizethatthe

“hightechnology*1thatissocelebratedtodayis

essentiallymathematicaltechnology.

E.E.DavidJr.,NoticesofAmericanMathematicalSociety,

v.31(1984),no.2,p.142.

錢學(xué)森教授1989年在中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)教育與科

研座談會上的講話中說：“但是他(指美國Brown

大學(xué)教授、應(yīng)用數(shù)學(xué)家謝定裕)的題目叫“數(shù)學(xué)

科技”，我想不叫“數(shù)學(xué)科技”，這是數(shù)學(xué)技術(shù),

即怎樣給一個方法，能使科學(xué)的理論通過電子

計算機解答具體的科學(xué)技術(shù)問題.這包括兩個

方面，第一就是要會用電子計算機，會指揮它去

算.第二是電子計算機給出的解答，在熒光屏上

顯示出來，能夠理解它，別讓它給唬住了.我覺

得后一個關(guān)于理解的問題，就是要從宏觀的整

體角度去認識，這也是數(shù)學(xué)問題」

錢學(xué)森，發(fā)展我國的數(shù)學(xué)科學(xué)，數(shù)學(xué)進展,1990,19(2):131-132.

**********************************

21世紀是科學(xué)和工程數(shù)學(xué)化的世紀.

美國科學(xué)基金會數(shù)學(xué)部主任Eisenstein在評述

該基金會把數(shù)學(xué)科學(xué)列為2002-2006該基金會

五大創(chuàng)新項目(其他四個分別為：環(huán)境中的生物

復(fù)雜性，信息技術(shù)研究,納米科學(xué)和工程,以及

21世紀的勞動力)之首時所說的，“該重大創(chuàng)新

項目背后的推動力就是一切科學(xué)和工程領(lǐng)域的

數(shù)學(xué)化(Ma統(tǒng)ema版。加〃),“

“Thedrivingforcebehindtheinitiativeisthe

^mathematization1ofallareasofscienceand

engineering.11

一NSFLaunchesMajorInitiativeinMathematics,

AllynJackson,NoticesofAMS,v.48(2001),no.2,190-192.

Eisenstein說.“還有，數(shù)學(xué)帶給其他科學(xué)的

'附加值'現(xiàn)在是比過去更加看得見了.其他

科學(xué)認識到的這種‘附加值'是該創(chuàng)新項目的

主要推動力量

''Also,the'value-added'thatmathematics

bringstoothersciencesismorevisibletoday

thanithasbeeninthepast.This'value-added'

thatothersciencesperceiveisamajor

driverinthisinitiative.n

**********************************

把對外部世界各種現(xiàn)象或事件的研究化歸

為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模的方法在各種研究方法,

特別是與電子計算機的出現(xiàn)有關(guān)的研究方法中，

占有主導(dǎo)地位.數(shù)學(xué)建模的方法能使人們在解

決復(fù)雜的科學(xué)技術(shù)問題時設(shè)計出在最佳情勢下

可行的新的技術(shù)手段，并且能預(yù)測新的現(xiàn)象.

A.H.THXOHOB,MathematicalModel,^Encyclopaediaof

Mathematics^,KluwerAcademicPublishers,1995,Vol.3,

pp.784-785.《數(shù)學(xué)百科全書》第三卷，p.648.

**********************************

一切科學(xué)和工程技術(shù)人員的教育必須包括

數(shù)學(xué)和計算科學(xué)的更多的內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模和與

之相伴的計算正在成為工程設(shè)計中的關(guān)鍵工具.

科學(xué)家正日益依賴于計算方法，而且在選擇正確

的數(shù)學(xué)和計算方法以及解釋結(jié)果的精度和可靠

性方面必須具有足夠的經(jīng)驗.對工程師和科學(xué)

家的數(shù)學(xué)教育需要變革以反映這一新的現(xiàn)實.

FriedmanA.,J.Glimm,J.Lavery,Themathematicaland

computationalsciencesinemergingmanufacturing

technologiesandmanagementpractices（新興的的制造技術(shù)

和管理實踐中的數(shù)學(xué)和計算科學(xué)）一SIAMReportonIssues

intheMathematicalSciences,SIAM,1992,p.62-63.

Theeducationoftechnicalpersonnelofall

branchesofscienceandengineeringmustinclude

increasedexposuretothemathematicaland

computationalsciences.Mathematicalmodelingand

associatedcomputationsarebeingcriticaltoolsinthe

engineeringdesignprocess.Scientistsrely

increasinglyoncomputationalmethodsandmust

havesufficientexperienceinmathematical

computationalmethodsandreliabilityoftheresults.

Themathematicaleducationofengineersand

scientistsneedstochangetoreflectthisnewreality.

**********************************

鑒于數(shù)學(xué)研究的范圍無限廣闊，這門科學(xué)，即

使是現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也還處于嬰兒時期。如果文明

繼續(xù)進步，在今后兩千年內(nèi)，在人類思想領(lǐng)域

里具有壓倒性的新情況，將是數(shù)學(xué)地理解問題

占統(tǒng)治地位.

“Havingregardtotheimmensityofitssubject-

mattermathematics,evenmodernmathematics,is

ascienceinitsbabyhood.Ifcivilizationcontinuesto

advance,inthenexttwothousandyearsthe

overwhelmingnoveltyinhumanthoughtwillbethe

dominanceofmathematicalunderstanding.11

—AlfredNorthWhitehead(阿豳弗雷德?^思?

1S特黑德，1861,2,15?1947,12,30)1939年12月15日在

哈佛大學(xué)的講演："MathematicsandtheGood"inP.A.

Schilpped.,1951.ThePhilosophyofAlfredNorthWhitehead,

2nd.ed.NewYork,TudorPublishingCompany:666-81.

胡世華，信息時代的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)進展，1988,17(1):12-20.

錢學(xué)森，發(fā)展我國的數(shù)學(xué)科學(xué)，數(shù)學(xué)進展,1990,19(2):133.

**********************************

數(shù)學(xué)等于機會

MathematicsEqualsOpportunity

“我今天給你們的統(tǒng)計資料清楚地表明：“數(shù)學(xué)等

于機會”。當(dāng)我們?yōu)榧磳砼R的世紀作準(zhǔn)備時，

不可能再送給美國父母和學(xué)生別的更關(guān)鍵的信

息了。”

“AsthestatisticsIhaverelatedtoyoutodaymakeclear,

'MathematicsEqualsOpportunity'.Therecouldbenomore

crucialmassagetosendtotheparentsandstudentsof

Americaasweprepareforthecomingcentury.”

—RichardW.Riley(克林頓任總統(tǒng)時的教育部長)，

Thestateofmathematicseducation:Buildingastrong

foundationforthe21stcenturyfaspeechpresentedatthe

invitationoftheAMSCommitteeonSciencePolicyandthe

AMSCommitteeonEducation,

NoticesoftheAMS,v.45(1998),no.4,487-491.

—RichardW.Riley,數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀：為21世紀建立強大基礎(chǔ)，

應(yīng)美國數(shù)學(xué)會(AMS)科學(xué)政策委員會和教育委員會的邀請于1998

年1月8日在美國Baltimore舉行的美國數(shù)學(xué)會和美國數(shù)學(xué)協(xié)會

(MAA)聯(lián)合數(shù)學(xué)會議上發(fā)表的演說,NoticesoftheAMS,v.45(1998),

no.4,487-491.中譯文登在：數(shù)學(xué)譯林一國際數(shù)學(xué)進展，v.17

(1998),no.3,252-256,207.

數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模無處不在、日益重要，作為

數(shù)學(xué)教師我們有義務(wù)盡快讓學(xué)生學(xué)習(xí)初步掌握

數(shù)學(xué)建模的思想和方法，從而更積極主動地學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué).這樣做將使學(xué)生終生受益.這不僅是我

們數(shù)學(xué)教師的神圣使命，也是我們樹立自己是

一個負責(zé)任的、受學(xué)生歡迎的數(shù)學(xué)教師形象的機

會.我們一定要處處、事事、時時為我們的學(xué)生

著想.同時我們也要認真思考：

我們希望學(xué)生真正學(xué)到手的是什么？

什么是“簡單”和“不簡單”，“深”和“淺”,

有“理論深度”和“沒有理論深度”？

我們需要什么樣的教師形象？

為什么要把數(shù)學(xué)建模的思想和方法

融入大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程？

1.社會發(fā)展和科技進步、提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量

和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和提高能

力的需要.盡早(通過一年級的高等數(shù)學(xué)

課程等)讓大學(xué)生了解：良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),

特別是對數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)去解決各種

實際問題的橋梁，了解數(shù)學(xué)建模三要點:

合理假設(shè)、數(shù)學(xué)問題和解釋驗證，對于他

們一生的事業(yè)都有好處的.也是數(shù)學(xué)教

學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量的需要，有利于講

清重要的數(shù)學(xué)概念、方法的來龍去脈，進

一步提高教學(xué)質(zhì)量.當(dāng)然要做到這一點,

應(yīng)該說，途徑不是唯一的，而是“條條大

路通羅馬(AHroadsleadtoRome)”.但

是在適當(dāng)?shù)牡胤?、運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模實

例和合適的教學(xué)方法進行教學(xué)是有可能

給學(xué)生留下深刻的印象，提高他們的學(xué)

習(xí)積極性，從而達到上述目的,我們千萬

不要陷入什么方法好什么方法不好的無

為爭論，我們要做的是通過認真的實踐

來證明這樣的做法能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)

積極性，并培養(yǎng)出許多優(yōu)秀學(xué)生.

2.有助于提高數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)教研室、數(shù)學(xué)

（院）系在學(xué)校和社會上的地位和發(fā)言權(quán).

特別是為青年教師的提高創(chuàng)造條件，特

別是培養(yǎng)青年教師的個人教學(xué)風(fēng)格.但

是，現(xiàn)實的情況是令人擔(dān)憂的.

3.為了進一步提高大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的

質(zhì)量，實現(xiàn)一種良性循環(huán).也有利于將

來組隊參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽.

三.怎樣融入？

2002-2005全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會曾

經(jīng)組織執(zhí)行了由李大潛牽頭的教育部教改立項

“將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)主干課

程教學(xué)中的研究與試驗”，取得了一定的成果和

經(jīng)驗.又經(jīng)過幾年的實踐，我們有可更多的體會

和更加切實可行的做法.

A.融入的幾個原則：

1.實例要簡明易懂結(jié)合日常生活感覺得到的

與工程或現(xiàn)代技術(shù)有關(guān)，或者結(jié)合專業(yè)且

簡明易懂，能引起學(xué)生的興趣；

2.要能夠結(jié)合課程（微積分）的今后可能用到

的主要概念、思想和方法，能提高學(xué)生學(xué)

習(xí)的積極性和主動性；適當(dāng)?shù)墓噍斠彩潜?/p>

要的.

3.不拘形式（不強求統(tǒng)一）、因地制宜（不同學(xué)

校、專業(yè)不同對待）、因材施教（特別是要培

養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生,，可以在習(xí)題（課外作業(yè)、小的

研究課題等）上做文章）、追求實效.在不增

加學(xué)時或至多增加2學(xué)時的前提下八仙過

海、各顯神通.

與時俱進，逐步提高層次.

4.要和教學(xué)研究相結(jié)合，不斷發(fā)現(xiàn)問題，不

斷改進教學(xué).怎樣判定融入是有良好效果

還是效果不大.

5.重點放在一年級第一學(xué)期，因為這時候的

大學(xué)生易于接受教師的教育和引導(dǎo).

結(jié)合容易懂的實際問題入手，諄諄善誘、

由淺入深與適當(dāng)灌輸相結(jié)合，特別強調(diào)加

深理解微積分的重要概念、思想和方法,

通過建模的逐步深入使學(xué)生明白為什么一

定要認真學(xué)好、掌握好數(shù)學(xué)的思想和方法.

尤其對于青年教師來說，這個學(xué)期的教學(xué)

和教學(xué)研究對于自己的成長和教學(xué)風(fēng)格的

確立是極其重要的.

B.具體做法：

動員更多的教師編寫可以融入的教學(xué)單元,

特別是為高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計初步

三門課程編寫可以融入的教學(xué)單元，主要是

提供可以融入各種課程的實際問題的建模教

學(xué)的素材（問題的陳述、建模過程、求解和驗

證；習(xí)題、小的研究課題和考題的建議等），以

供有心做的教師參考和鉆研，從而能夠結(jié)合

學(xué)生情況進行富有成效的教學(xué)，特別是培養(yǎng)

個人的教學(xué)風(fēng)格.

以下我們通過舉例說明，我們將結(jié)合國內(nèi)用

得比較多的兩本教材：

①同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，微積分，上冊，

高等教育出版社,1999;

②王綿森、馬知恩主編，工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ),

高等教育出版社,1998.

我們按照①相應(yīng)的頁碼提出建議.包括為什么

要讓大學(xué)生盡早了解和使用計算器和數(shù)學(xué)軟

件等.對于學(xué)生要因材施教，不一定人人都一

樣要求，要為優(yōu)秀學(xué)生創(chuàng)造更好的學(xué)習(xí)條件

和環(huán)境.

兩個例子

數(shù)學(xué)建模最關(guān)鍵的是：合理假設(shè)，數(shù)學(xué)

問題，解釋驗證

1.復(fù)利和抵押貸款買房問題

復(fù)利

4=4（1+廠）〃

(l+r/

<A）?

n=ln[A/41

ln[l+r]

應(yīng)用實例一位使用工商銀行國際信用卡的張

姓用戶，2004年12月用工商銀行的信用卡，刷卡

消費39771.52元，由于記錯了還款額，他在還款

日期（2005年1月25日）到期之前，分多次共計還

款39771.28元，少還了0.24元（事后才發(fā)現(xiàn)）.但

就是這區(qū)區(qū)0?24元，工商銀行在他1月份的賬單

里記賬兩筆共計853元的利息.張先生從網(wǎng)上查

到賬單后，立即致電工商銀行95588,得到的答

復(fù)是最新的國際信用卡章程已將原來只對逾期

沒有還的欠款部分收取利息改為對消費款全部

從消費發(fā)生日起收取每日萬分之五的利息.

我們先不說張先生是否及時知道新的章程,

這種收費是否合理.這里，我們只問一個問題:

工商銀行按多少天來收的利息？

解.已知A）=39771.52

4=39771.28+853=40624.52,r=0.0005

由（3.1-2）中的in[i+r]，代入計算得

nx42.46天.

在①pp.27-33"第二節(jié)數(shù)列極限的定義”中

強調(diào)等比數(shù)列，特別是在p.31的例3中，加上最

重要的幾何（等比）級數(shù)部分和的求和公式

[C幾

Sn=1+q+q2+g3+…+/1-,q>0

i-q

的內(nèi)容，然后提出下面的問題：

例1.在“文曲星”電子詞典（或類似的電子詞典）

中，打開其目錄，在“計算”目錄下有一項“貸

款計算”，打開后有下列顯示：

貸款金額200,000

貸款年數(shù)20

年利率（％）6.39%=0.0639

（月利率=6.39/12=0.5325%）

如果是上述輸入，會見到如下“計算結(jié)果”

每月應(yīng)付款數(shù)（記為X）1478.22

總還款額354,773.41

總利息154,773.41

問題：用數(shù)學(xué)建模的方法來回答：這是怎么算出

來的.

假設(shè)：月等額還款

提示:借款模型是按月利率，按月計算的。

用符號表示，設(shè)一開始的貸款金額記為

4（=200,000）,

貸款年數(shù)記為N（=240月）,

年利率記為尺=0.0639,

月利率記為r=R/12=0.005325

確定變量以及變量之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型的

建立：這個月（記為第〃個月）尚欠銀行的款數(shù)記

為4,上個月（記為第〃-1個月）結(jié)余欠款記為

AT加上利息記為4T（1+?。?減去這個月的還

款X,還欠L

所以數(shù)學(xué)模型為：這個月的欠款等于上個月欠

款加上利息，再減去這個月的（等額）還款；一開

始的借（欠）款已知；20年必須還清.用數(shù)學(xué)語言

表示，即數(shù)學(xué)模型為：

4=。+廠)-1幾=1,2,3,...,N

<A)已知

、Av二。

N=240,%。=。表示20年=240個月還清貸款.

求解這個數(shù)學(xué)模型只需要用到等比級數(shù)部分和

的求和公式.

解：

4—Ag(l+r)-x

4=A](l+r)—x

=[4(1+r)-x](l+r)-x

=4(l+r)2—x[l+(l+r)]

4-A2(1+「)—x

=14(1+r)2-x[l+(l+r)]}(l+r)-x

=4(l+r)3-x[l+(l+r)+(l+r)2]

容易觀察出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)歸納法證明，對于任

何〃有

4=4(1+/)"_寺+(1+/)+(1+/)2+...+(1+廠廠一

由等比級數(shù)部分和的求和公式(i+丁=y)

y〃—1=(y—1)(1+,+/+...+y〃T),

n>^y>\

于是有

(l+r)rt-l(l+r)n-l

4=4(1+-)〃%-=--4-(--1--+--r-)〃

(l+r)-l

由于4=。，所以

A/(1+/)N

(l+rf_]

驗證“文曲星”電子詞典顯示的結(jié)果是否正確.

不算出數(shù)值，怎么讓人相信？但是，手算是不現(xiàn)

實的，這就涉及到在教學(xué)中要不要(允許不允許)

使用計算器和計算機及相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件這個不

可回避的問題(實際上也是不應(yīng)該回避的問題).

我個人認為，做課外作業(yè)應(yīng)該允許，考

試不允許.

錢學(xué)森教授1989年在中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)教育與科

研座談會上的講話中說：“…今天的實踐要求

教會學(xué)生兩條：一是會用電子計算機，二是能理

解電子計算機給出的答案

錢學(xué)森，發(fā)展我國的數(shù)學(xué)科學(xué)，數(shù)學(xué)進展,1990,19(2):132.

我們一定要積極應(yīng)對，深入研究應(yīng)用圖形計算

器或數(shù)學(xué)軟件能否加深學(xué)生對概念的理解，精

心設(shè)計能夠達到這樣的目的的習(xí)題、思考題和研

究課題，來提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動

性.到底應(yīng)該怎么做，值得認真研究，但這不是

今天在這里要討論的問題.

不過，我們必須及時關(guān)注于2009年5月18

日由WolframResearch(沃爾弗拉姆研究)公司

正式推出(發(fā)行)的一個基于Mathematica數(shù)學(xué)軟

件和ANewKindofScience(一種新科學(xué)，厚達

1280頁，縮寫為NKS)名為Wolfram|Alpha的新

的計算型知識(搜索)引擎(Computational

knowledgeengine)以及它將對科學(xué)研究和教育

產(chǎn)生的影響.

Wolfram|Alpha的作者StephenWolfram

(1959,8,29?，1979年在加州理工學(xué)院(CIT)獲

理論物理學(xué)博士學(xué)位,1988年他推出了強大的計

算機軟件Mathematica),他最近撰文表示：

“(Wolfram|Alpha的)用戶所要做的就是用自然

的語言問問題，而搜索引擎則能準(zhǔn)確進行回答.

我很高興地宣布，通過綜合使用多種啟發(fā)性的算

法(algorithmsandheuristics)和語法發(fā)現(xiàn)

（linguisticdiscovery）,我們很可能取得了一些

重要的理論突破，并能實際上使其運轉(zhuǎn).我們將

最終形成一個網(wǎng)站：通

過這個網(wǎng)站，只要簡單輸入問題，我們就可以接

入到一個巨大的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)是擁有極其龐大

信息量的數(shù)據(jù)庫

關(guān)于它將對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生的影響，例如，可以

看，由JeffreyR.Young寫的發(fā)表在2009年6月

12日ChronicleofHigherEducation（高等教育

記事）上的文章“ACalculatingWebSiteCould

IgniteaNewCampus6MathWar'（計算搜索網(wǎng)

站可能會點燃新一輪的，數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭，）”.

回到原來的問題，等額還款1478.22是怎么算出

來的.用Mathematic。數(shù)學(xué)軟件的輸入和輸出

輸入：

Clear[r,n,Nfx]

x[r,n,4]=4'(1+r)

n

勺(l+r)-l

4=200000;n=N=240;r=0.005325;

N,4]

輸出：1478.22

更多的應(yīng)用可參考口］:《大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔

導(dǎo)教材(五)》第3章，葉其孝主編，湖南教育出

版社，2008.

模型的變形：口］p.33,(3.1-4)-(3.1-9),

4個變量中知道任何3個就可以求出另一個.

4=4(i+〃y—1]GJ.%

=4/(1+，)”

/?

尢一(l+r)-l(3.1-6)

x-A^r

n=

ln(l+r)(3.1-7)

或

i°g[-H

x-A^r

n=

log(l+r)GM)*

H(1+，)〃-1]

r(l+r)n(3.1-8)

為求4=0的L需要求解下面的代數(shù)方程式

4(1+,)〃討—(A)+尤)(1+,)〃+X=0(3.1.9)

例2.根據(jù)報道，喬先生向銀行貸了22萬元，貸

款期限是2003年9月-2013年9月共120期，采

用等額本息還款法，月供2338元.目前，已還16

期，還剩104期，貸款余額為198155元，

喬先生手頭正好有5萬元可用，因此提出申

請?zhí)崆斑€款5萬元.如果提前還款5萬元,得到

批準(zhǔn)，喬先生又想保持貸款期限不變，即再繼續(xù)

105期，那么按照新的利率6.12%他的月還款是

多少？

解：該報道中沒有說月利率，為多少，因此我們

首先要求r.

因為4=220000,n=120,工=2338.解方

程(3.1-9),即解

220000(1+r)120+1-(220000+2338)(1+r)120+2338=0

我們可以利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件來求解.

首先定義(3.1-9)右端的函數(shù)如下

Clear[aO,f,n,r,x]

f[a0_,n_,x_,r_]:=a0(l+r)A(n+l)-(aO+x)(l+r)An+x

也可以單擊“File”菜單，把光標(biāo)移到“Palettes”選

項，在彈出的子菜單中再單擊

“BasicCalculation”項，按屏幕上出現(xiàn)的基本命

令選擇窗口，可以直接輸入以下數(shù)學(xué)公式的形式

f[aO_,n_,x_,r_]:=aO(l+r)n+1-(aO+x)(l+r)n+x

f[aO,n,x,r]

aO(l+r)n+1-(aO+x)(l+r)n+x

然后給已知的aO,n,x賦值，并畫圖,根據(jù)我們

對利息的了解,r的變化范圍為一定大于0,小于

0.2.

a0=220000;n=120;x=2338;

Plot[f[a0,n,x,r],{r,0,0.02},AxesLabel{r,f}]

可見f的零點大約在0.005附近。我們可以再精

細一點畫圖看得更清楚一點,，的變化范圍為

{0,004,0.005},畫圖如下

Plot[f[aO,n,x,r],{r,0.004,0.005},AxesLabe

因此，我們可以用0.0042作為初值，求f的

零N占9\\\

FindRoot[f[a0,n,x,r]==0,{r,0.0042}]

{r一0.00420197)

注意，利用FindRoot語句，初值確定的好壞是

很重要的，所以上述做法的步驟是很有效的.

思考題：能否用Solve[f[aO,n,r,x]==0,r]或

NSolve[f[aO,n,r,x]==0,r]來求r.進行比較,

哪個更好些，或者說它們各自的優(yōu)點是什么？

r工0.00420197,或者r，0.004202,年利率為

0.050424.再由(3.1-4),分別令人=16和0=15

計算之，分別計算

2338

A6=220000(1.004202)16[(1.004202)16-!]

0.004202

和

2338

1515

A16=220000(1.004202)-y^^-[(1.004202)-1]

得到的結(jié)果分別為：196656和198161.如果報道

中的198155沒有錯誤，那么198161非常接近

198155.這就說明報道有誤.實際上，喬先生只

還了15期，還有105期要還.

現(xiàn)在的在=148,155,n=105,利用(3.1-6)

按照新的月利率，=0.0051計算，他的月還款是

1825.86.如果他不還5萬元，繼續(xù)還105期的話,

他的月還款是2442.06.

對Mathematica有興趣的讀者可以做下面的思

考題。

綜上所述，如果我們能應(yīng)用模型(3.1-3)到

(3.1-9)的話，我們可以解決許多相關(guān)的問題.

習(xí)題

1.如果不是等額還款，例如，每月先還利息再

A)

加還N等分的本金獷，數(shù)學(xué)模型將會怎樣？

2.你當(dāng)前的信用卡欠款余額為12,000美元，而

當(dāng)前的利率為19.9%/年.利息是按月計算

的.確定什么樣的月還款p美元才能在

a.2年，假定不會有新的信用卡支付.

b.4年，假定不會有新的信用卡支付.

還清欠款.

現(xiàn)在假定你每月用信用卡支付105美元.

確定什么樣的月還款0美元才能在

a.2年

b.4年

還清欠款.

考試題

某人想貸款買房，他在10年里每月的還款

能力*=3000沒有問題，已知貸款年利率r=6%,

貸款年數(shù)%=10?15年.請通過數(shù)學(xué)建模的方

法回答：如果N=10,請你估算一下他應(yīng)該借

（貸款）多少？（提示：（L005產(chǎn)。=1.8194）

如果N=15,請你估算一下他應(yīng)該借（貸款）

多少？（提示：（1.。05）|8。=2.45409）

答案分別約為270220（估算可以是264000?

270000,10年）,355511（估算可以是36000,15年）,

怎么估算？

用手算做估算是應(yīng)該要求的，因為

M(l+rr-l]_3000x0.8194

"l+/)〃—().005x1.8194

600000x0.8

L8

600000x0.8

264000=600000x0.44<

L8

<600000x0.45=270000

精確借款為270220,月還款為3000元；現(xiàn)在借

270000月還款為2997.55元，少借少還！

對于15年而言，因為2.45409=2.5,

1.5/2.5=0.6,所以0.6x600000=360000.

精確借款為355511,月還款為3000元；現(xiàn)在借

360000,月還款為3037.88元，多借多還！

研究課題

1.甲從一個借貸公司貸款60000美元，年利率

為1.2%,25年還清.假設(shè)是月等額還款（即一

月為一期），問他每月要還多少美元？（答案:

約632美元,總利息為189600美元.）

這時有另一個借貸公司出來說，條件沒有變

化，就可以幫你提前2年還清，只要：1.每半

個月交一次還款=原來還款的一半，并沒

有增加你的負擔(dān)；2.因為每半個月就要給你

開一張收據(jù)，文書工作多了，要求你預(yù)付3

個月的還款.（即632x3=1896美元，而2年

的還款總額為15168美元，1896只是15168

的八分之一.會有顧客認為是合算的!）試問

這另一個借貸公司會賠錢（慈善機構(gòu)!）還是仍

然可以賺錢？

把原來的一期（一個月）拆分為相等的兩期,

從而x替換成x/2,r替換成r/2確實能夠提

前還清嗎？如果是，能提前多少時間還清？

把原來的一期（一個月）拆分為相等的m期,

從而x替換成x/m.r替換成r/m還能提前

還清嗎？m趨于8時將會怎樣？

①pp149-155,洛必大（L'Hospital或

L'H6pital）法貝lj,oo-oo型極限.

2.為什么同樣的借貸利率，總還款（總利息）有

不同呢？

請仔細閱讀下面的1998年12月30日《金

陵晚報》的報道：

“一筆總額為13?5萬元的個人住房組合貸款,

在兩家銀行算出了兩種還款結(jié)果,而差額高達萬

元以上，這讓首次向銀行借款的江蘇某進出口

公司程姓夫婦傷透了腦筋.

據(jù)介紹，小程打算貸8萬元公積金貸款和

5.5萬元商業(yè)性貸款，他分別前往省建行直屬支

行和市建行房地產(chǎn)信貸部咨詢，其結(jié)果是，這

13.5萬元貸款，分15年還清，在利率相同的

情況下省建行每月要求還本付息1175.46元（其

中公積金貸款660.88元，商業(yè)性貸款514.58

元），而市建行每月要求還1H6.415元（其中公

積金貸款634.56元，商業(yè)性貸款481.855元）.

按貸款180個月一算，省建行的貸款比在市建

行貸款要多10628.1元.

但兩家銀行均稱，結(jié)果不一樣純屬正常.

有關(guān)行家向記者解釋說，省建行雖然也是

等額還款，但實行的是先還息后還本原則，用行

話說就是按月結(jié)息，每月還本還息不等，但每月

總額一樣.舉個簡單的例子，若每月等額還款

1,000元，第一個月還本息分別為100元、900元,

而第二個月還本息分別變?yōu)?00元、800元，依

此類推.而市建行實行的是較便于市民理解的

等本、等息、等額還款法.為不讓市民首期還款

時面對巨額利息為難，該行取了一個利息平均

值，平攤到每個月中.上述兩種算法都是人民銀

行許可的.

值得一提的是，小程夫婦的麻煩已引起了央

行的重視，為規(guī)范個人住房貸款計息辦法，央行

重新明確了個人住房貸款的利息計算方法.從

1999年1月1日起，除保留每月等額本息償還法

外，又推出了利隨本清的等本不等息遞減還款

法公式是：

每月還款額=｛（貸款本金+貸款期月數(shù)）+（本

金-已還本金累計額）x月利率｝.

同一筆貸款按這兩種方法計算還款，償還總金

額相同

請回答下面的問題：

1.省建行的“每月等額本息償還法（先還息后還

本原則）”中的每月還款額是怎樣算出來的？

2.央行推出的“利隨本清等本不等息償還法”的

每月還款額是怎樣算出來的？并用市建行的

結(jié)果進行計算.

3.市建行的“等本、等息、等額還款法”是怎樣得

到的？

4.試分析這三種算法的不同之處及利弊.

在養(yǎng)老保險、理財?shù)葐栴}中有許多類似的問題.

在①加291-295”第三節(jié)一階線性微分方程”

插入以下例子

再論抵押貸款一連續(xù)模型(微分方程)模型和離

散模型的關(guān)系

我們還是以房貸為例來說明問題，假設(shè)一

開始的投資(或借款)本金總額記為4,單位時

間的利率記為，％,只不過這時假設(shè)時間是連續(xù)

的，也就是說，要把〃個單位時間后所欠金額記

為4改為，＞0時刻所欠金額AQ).

我們來建立模型，先不考慮等額還款.在時

間區(qū)間口/+△〃上，%+△%時刻所欠金額為

+%時刻所欠金額為4。，因此在區(qū)

間M+M里所欠金額的增加為乂⑺△0

應(yīng)該有

A{t+Ar)-A(r)=rA(r)Az

或

A(r+Ar)-A(O

二4⑺

△t

如果h+M的長度加越來越小，并趨于零時,

即4―。時，就得到下列連續(xù)模型(微分方程

模型)

=M(0t>0

<dt

40)=4

它的解為

4⑺=4/

如果設(shè)單位時間的長度為1,r等于上個單位時

間，即t=k,從而有

oonoon

A(k)=4”=4(e)='(Z])"=4(1+廠+

n=0幾,n=2幾,

如果r比較小，則可以認為有一次近似式

4幻=4(1+廣

或由①PR141?149"第六節(jié)泰勒(Taylor)公式”,

特別是p.142的

r2

于(X)=/(x0)+/(x0)(x-/)+-x0)⑸

4在X。和X之間.

若為=

0,x"—=e，則有

產(chǎn)涉

er=l+r+

2!

如果r比較小，則可以認為有一次近似式

4%)=4(1+廣

現(xiàn)在來考慮等額還款，即單位時間里還固

定的金額x,于是模型變成

A(?+A?)—A(?)—rA(?)A?—xA?

令0-0,就得到

dAQ)...八

=rA(t)-xt>0

<dt

(3.1-11)

,4。)二A)

由

^l-rA(t)=-x

dt

兩邊乘e”,

-re-rtA(t)=-xe-rt

dt

即

rdA⑴一小d(e~rtA(t))

ereA(t)==-xet

dtdt

從0到，積分就得到

x

m⑺_A(0)=_(""T)

r

x

A?)=&e"+—(e

r

=M+'—才)

r

=(4--K+-

rr

rk

當(dāng)”左時，再利用e的一次近似

”六(1+r)k

就得到

XtX

A(Zc)=(4—)(l+r/+-

rr

=4(l+r/--((l+r/-l)

r

若"%AM=0,則連續(xù)模型中相應(yīng)的公式分

別為

xxX

0=4"-+—(1—e〃「)=(4——)en-+-

rrr

X—

(e"l)

x

log[]

x-A^rx(enr)

n=A)=

enr-l

為求A5)=0的r，需要求解下面的代數(shù)方程

式

A^rern-xern+x=0

現(xiàn)在我們以口］中例3的數(shù)據(jù)來計算之，即

A)=220000,n=120,r=0.0042,x=2338.

我們以計算，為例

Clear[aO,n,r,x]

g[aO_,n_,r_,x_]:=aOrExp[nr]-xExp[nr)+x

g[aO,n,r,x]

rnrn

a^re-xe+x

a0=220000;n=120;x=2338;

Plot[g[aO,n,r,x],{r,0,0.01}]

FindRoot[g[aO,n,r,x]==0,{r,0.0042}]

{r一0.00423133}.

r差約為0.00003133.

c—1

22000re120r

e-1

r=0.00423133;

930.8926-Exp[0.5077596]

Exp[0.5077596]-l

得到2338.

其他留作習(xí)題.

所以，在經(jīng)濟、管理類專業(yè)的課程中一定要學(xué)習(xí)

這些連續(xù)模型（微分方程模型）.熟練掌握一階線

性方程對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說也是很重要的.

Banach空間中的抽象微分方程.

總結(jié)性習(xí)題和研究課題：

從各種資料（圖書、雜志甚至網(wǎng)上的有關(guān)文章）中

尋找在一定簡化層次上以

dx7八

——=ax+bt>0

<dt

x(0)=

為數(shù)學(xué)模型的實際問題，其中“，匕為實常數(shù),

可正、可負、可零.

1.分析其簡化假設(shè)，模型的合理性，是否可以

改進。

2.(*)可以有多少種解法？

3.如果“，匕是1的函數(shù)怎么求解？證明其解

為

a(T)drpfa(r)dT

x(t)=+[/?(cr)eda

2.易拉罐問題一一個想法改變了可

口可樂易拉罐的形狀

在①皿.166?176”第九節(jié)函數(shù)的極值與

最大、最小值”中，把“二、最大值與最小值問

題”改為“二、最優(yōu)化問題”，并插入“例？易

拉罐問題”.讓學(xué)生做一點測量.

簡化假設(shè):易拉罐用材的體積與其表面積成正比

簡化模型1

分析和假設(shè)：首先把飲料罐近似看成一個直圓柱

體是有一定合理性的.要求飲料罐內(nèi)體積一定

時，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋

的直徑和從頂蓋到底部的高之比.

實際上，用幾何語言來表述就是：體積給定

的直圓柱體，其表面積最小的尺寸(半徑和高)

為多少？

表面積用S表示，體積用V表示，則有

12

S(r,h)=2TZTh+兀r+兀丫2-27r[r+rh]

V-7ir2h,h=V/7Tr2.

于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：

minS(r,h)

r>0,/i>0

s.t.g(r,h)=0

其中s是目標(biāo)函數(shù),g"")二v—乃/〃=°是

約束條件.V是已知的(即罐內(nèi)體積一定)，即要

在體積一定的條件下，求罐的體積最小的工h.

如果考慮材料厚度的話，并假設(shè)所用材料

與罐的表面積成正比，那么其中心斷面的圖形

如下：

F={AbsoIuteThickness[l],Line[{{-3.2,12.4},{-3.2,0},{3.2,0},{3,2,12.4},{-3.2,12.4},{-

3,12.2},{-3,0.2},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2}}]}

mygrapg=Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},

AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,12.9})

F={AbsoluteThickness[l],Line[{{-3,0.2},{-3,0},{3,0},{3,0.2},{3.2,0.2},{3.2,12.2},{3,

12.2},{3,12.4},{-3,12.4},

{-3,12.2},{-3.2,12.2},{-3.2,0.2},{-3,0.2},{-3,0},{3,0},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2},{-3,0.2}

,{3,0.2}}]}

mygrapg=Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},

AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-l,12.9}|

把h=V/7ir2RAS(r"),得到

S(r)=2萬[廠+r——7]=2"[廠H]

TtrTtr

求駐點(臨界點,criticalpoint)

0==2?(2廠-二)二七(2/--)

7irr7i

又由于

2V

S〃⑺1=2萬(2+嬴兒＞0,6＞。.

所以再次由①勿.141?149”第六節(jié)泰勒(Taylor)

公式“，特別是p.142的

f(x)=/(%)+/(%)。-/)+-%)2(5)

—3廠

知道"=是一個局部極小值點?實際上，

它也是全局最小值點，因為臨界點是唯一的.

最小面積為

5"°)=6卷=6。。2

有沒有直徑等于高的易拉罐嗎？沒有！

簡化模型2

分析和假設(shè)：用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬

度要比其他的材料要硬（厚，因為要使勁拉），假

設(shè)除易拉罐的頂、底蓋外，罐的厚度相同，記作

b,頂、底蓋的厚度相同為ab.想象一下，硬

度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上（前面的）.因此，我

們可以進行如下的數(shù)學(xué)建模.這時必須考慮所

用材料的體積.

F={AbsoIuteThickness[l],Line[{{-3.2,0},{3.2,0},{3,2,12.8},{-3.2,12.8},{-3.2,0},{3.2,

0},{3,0.4},{3,12.4},{-3,12.4},{-3,0.4},{3,0.4}}]}

mygrapg=Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,

PlotRange->{-1,12.9}|

明確變量和參數(shù)：設(shè)飲料罐的半徑為r（因此，

直徑為d=2r）,罐的高為h.罐內(nèi)體積為V.

b為除頂、底蓋外（即側(cè)面體積）的材料的厚度.

其中〃力是自變量，所用材料的體積SV是因

變量，而力和V是固定參數(shù)，。是待定參數(shù).

飲料罐側(cè)面所用材料的體積為

S(r,h)-(?(r+/?)2-7rr2)h

飲料罐頂蓋所用材料的體積為ab九戶

飲料罐底部所用材料的體積為abTTY?

所以,SV和V分別為，

SV(r,h)=jrbQr+b)h+2/ra(r+b)2b

-Ijirhb+17iar2b

+47rrab2+h/rb2+27rab3

2

V(r,/z)=7rrh

因為b?r,所以帶b\b3的項可以忽略

(極其重要的合理假設(shè)或簡化，為什么?).因此

SV(r,/z)xS(r,/z)=2/rrhb+Ijiar^b

記g(r,h)=兀r2h-V.

于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：

minS(r,h)

r>0,h>0

s.t.g(r,/z)=0

其中S是目標(biāo)函數(shù)，g&，")二°是約束條件,V

是已知的(即罐內(nèi)體積一定)，即要在體積一定的

條件下，求罐的體積最小的5人和。使得r,h

和測量結(jié)果吻合.這是一個求條件極值的問題.

模型的求解：一種解法(從約束中解出一個變量，

化約束(條件)極值問題為求一元函數(shù)的無約束

(無條件)極值問題)

從g(r,h)=7ir2h-V=0解出h-V171r2,

代入S,使原問題化為：求d:h使S最小，即,

求r使

S(r,h(r))=b[1-2/iar2]

r

最小.

求臨界點：令其導(dǎo)數(shù)為零得

—二2。[(2。萬廠一乂]=^-(2ajrr3-V)=0.

drrr

解得臨界點為r=^~,因此

h——(})=2aQ—)=2ccr=ad.

7T\VY2"

測量數(shù)據(jù)大致為力?=2,即相當(dāng)于a=2,即頂、底

蓋的厚度是其他材料厚度的2倍.

為驗證這個r確實使S達到極小。計算S

的二階導(dǎo)數(shù)

V

5"=46。"+=]〉0,r>0.

r

所以，這個r確實使S達到局部極小，因為臨

界點只有一個，因此也是全局極小.

習(xí)題(或思考題)：如果不忽略高級無窮小量，

結(jié)果將會怎樣？

SV(r,h)=(乃(/+。)2-;ir2)h+2a/r(r+b)2b

=b[7rh(2r+5)+2an{r+Z?)2]

2V

V(r,/z)=7irh,h~——-

7ir

代入h的表達式,(死算)得到

r2VbV;

SV(r)=b1———+2<z^(r+Z?)~,

2V2bV

SV\r)=b-1+4a〃(r+Z?)

rr

2br

=--V(r+Z?)+2a7i{r+b)r3

rL

2Z?(r+Z?)r

3=0

3-V+la7ir

解得

V

2ajr

同樣的結(jié)果!

在求區(qū)間[aMb>a上分段光滑函數(shù)f(x)的最

大值問題

max/(x)

xe[a,b]

時，有的教材，例如

FrederickR.Adler(DepartmentofMathematics

andDepartmentofBiology,UniversityofUtah)

ModelingtheDynamicsofLife

-CalculusandProbabilityforlifescientists,

Brooks/ColePublishingCompany,1998.(該書2005年出了第

2版)

提出了連續(xù)函數(shù)求最大、最小的如下算法：

p.200,Algorithm3.1(Findingglobalmaxima

andminima）

1.Computethevalueofthefunctionatthe

endpointsandanywherethefunctionisnot

differentiable.計算函數(shù)在端點和不可微點

處的值.

2.Findallcriticalpoints.求全部臨界點.

3.Computethevalueofthefunctionatall

criticalpoints.計算所有臨界點處的值.

4.Thelargestofthenumbersfoundinstep1

and3istheglobalmaximum.Thesmallestof

thenumbersfoundinstep1and3isthe

globalminimum.第1、3步求得的最大（?。┲?/p>

就是該連續(xù)函數(shù)的整體（全局）最大（?。┲?

p.202,Algorithm3.2（Findinglocalmaximaand

minimawiththesecondderivative）

1.Findallcriticalpoints.

2.Computethesignofthesecongderivativeat

allcriticalpoints.

3.Criticalpointswherethesecondderivativeis

positivecorrespondtolocalminima,and

criticalpointswherethesecondderivativeis

negativecorrespondtolocalmaxima.

這就可能引起我們對如下問題的思考:什么

是算法？算法為什么重要？上述算法在實際中

都是可行的嗎？值得向同學(xué)介紹.

算法(algorithm)定義計算過程的一組詳細指令

(從而這個過程也稱為算法(algorithmic)過程),

它開始于(給定的算法的一定數(shù)量的可能輸入中

的)一個任意輸入(input),而且其目的在于得到

一個完全由輸入和指令決定的結(jié)果(result)(或輸

出(output)).

—《數(shù)學(xué)百科全書》，卷1,科學(xué)出版社1994,

pp.119-121.

簡化模型3

易拉罐可以簡化為圓臺加圓柱形罐(黏接長

度短一些，就降低成本了!)我們假設(shè)圓臺部分

是個直圓臺，實際上，它也可能是某個曲線段

(例如，雙曲線的一段)繞中軸線旋轉(zhuǎn)而得的圓

臺.

假設(shè)所用材料與罐內(nèi)的表面積成正比,即，各部

分的材料體積與該部分的面積成正比來近似制

罐材料的體積，見下圖（該圖比較夸張!）

由普通的數(shù)學(xué)手冊可以查得：

直角梯形繞其垂直底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周所得

幾何體稱為圓臺.

對于上為圓臺下為圓柱體的立體.設(shè)圓臺上

底半徑為，，下底半徑為R,高為b,圓柱體部

分的高為人則有

r=iZxihA/TUn+

圓臺的體積二3

圓臺的側(cè)面積二兀(R+ryJb?+(R—r)2

上為圓臺下為圓柱體的立體(簡稱圓臺加圓柱體)

附/*工口—(R?+Rr+f2)+7iR^h

的體積=3'7

實際上，在①加242-257”第三章第八節(jié)定

積分的幾何應(yīng)用舉例”中可以加一個習(xí)題：求圓

臺的體積和側(cè)面積，因為pp250-255“三、平

面曲線的弧長”已經(jīng)有s=f，l+y'2(x)仁

圓臺加圓柱體的表面積=

7ir2+7r(R+r)yjb2+(7?-r)2+2兀Rh+7TR2

底半徑為R,高為H的圓柱體的體積

二TTR2H

用定積分可以計算平面曲線y=y(x)繞x旋轉(zhuǎn)

所得立體的體積和表面積也可以得到上述公式.

底半徑為R,高為H的圓柱體的表面積

=2萬R?+2兀RH

圓柱體的上底往里縮小一點,如果表面積比同體

積的圓柱體小,那么黏結(jié)費用就可能省一點,就

提高了效益！是這樣嗎？算一下！

現(xiàn)在rfR-e,bTB=ke

過點（0,R-幻，的直線方程為

X

y=y(x)=R—e+7

k

所以圓臺的體積為

『兀(R_￡+32dx=*(R_￡+*)3甘

此k3k'

g[R3_(R_￡)3

nksrR2+R(R—￡)+(R—￡)2

3

兀ke(37?2—3H￡+/)

圓臺加圓柱體的體積=

率(3R2—3Rg+占)+兀R?h

由圓臺加圓柱體的體積=圓柱體體積

率(3斤—3即+占)+兀R?h=7iR2H

解得

kF

h=H——S(3R2—3R￡+/)

3R2