第四講場(chǎng)論初步

第四講場(chǎng)論初步第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日2.場(chǎng)論初步第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日等值面、方向?qū)?shù)與梯度梯度：是矢量，方向?yàn)殡娢蛔兓疃傅姆较?，即最大方向?qū)?shù)的方向，大小變化最大方向的變化率，即最大方向?qū)?shù)第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日梯度grad=的表達(dá)式第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日標(biāo)量場(chǎng)梯度的物理意義矢量總之：位函數(shù)的梯度是一矢量，其方向?yàn)槲蛔兓疃傅姆较?，大小為位變化最大方向上的變化率。第五頁，共二十九頁?022年，8月28日充分描述了場(chǎng)空間變化特征標(biāo)量場(chǎng)的梯度充分描述了標(biāo)量場(chǎng)在空間變化的特征:

場(chǎng)中任一點(diǎn)（x,y,z）沿任一方向的變化率（即方向?qū)?shù)）是不一樣的。最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）的方向就是梯度的方向，最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）就是梯度的大小。在任一方向l0

的投影（·l0）就是該方向的變化率（即該方向的方向?qū)?shù)）。因此梯度是描述標(biāo)量場(chǎng)隨空間變化特性非常好的一個(gè)物理量。經(jīng)過梯度運(yùn)算，可由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)得到一個(gè)矢量場(chǎng)第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場(chǎng)的通量通量的定義：場(chǎng)矢量A沿有向曲面S的曲面積分。第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場(chǎng)通量的物理意義如定義An為矢量A在面元法線n方向的投影，則A·ds=Ands；若把A理解為流體的流速，則Ands就表示穿過ds的流量，這就是叫通量的原因。對(duì)于閉曲面S，取其外側(cè)為正，則表示A從S流出的通量表示？>0時(shí)，<0時(shí)，=0時(shí)，表示有凈流量流出，存在流體源表示有凈流量流入，存在流體負(fù)源表示沒有凈流量流出，無凈流體源第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日散度divA=·A取一立方體單元，體積為V＝xyz,考慮x方向分量第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日散度divA第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日散度定理第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日拉普拉斯算符2場(chǎng)量梯度的散度拉氏算符2·第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場(chǎng)A沿有向閉合曲線l的環(huán)量矢量場(chǎng)A在閉合線上的線積分定義為A沿l的環(huán)量第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA環(huán)量面密度A沿正l方向的環(huán)量與面積S在M點(diǎn)處保持以n為法線方向條件下，以任意方式推向M點(diǎn)時(shí)，其極限為：這稱為矢量場(chǎng)A在M點(diǎn)處沿n方向的環(huán)量面密度，它是一個(gè)與方向有關(guān)的量。第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的定義與標(biāo)量場(chǎng)中梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系類似，梯度在某一方向上的投影就是該方向的方向?qū)?shù)；當(dāng)n方向與CurlA方向一致時(shí)，得到最大環(huán)量在密度。第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的計(jì)算CBAyz0Dlyz矢量場(chǎng)旋度在一個(gè)面積元上的計(jì)算第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的計(jì)算(1)當(dāng)矩形ABCD0時(shí)，即y,z0,這時(shí)Ay，Az近似為常數(shù)，則：因此第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的計(jì)算(2)同理：第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日斯托克斯定理有限面積S分解成面元Sn（0），由旋度定義，則有：左邊為：右邊為：相鄰面元交界線上的線積分相互抵消第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場(chǎng)的分類第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場(chǎng)的分類(1)第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日亥姆霍茲定理一個(gè)矢量場(chǎng)的性質(zhì)由激發(fā)場(chǎng)的源來確定源有兩類：散度源（通量源）旋度源（渦旋源）Q:若已知一個(gè)矢量場(chǎng)的散度或旋度，能否唯一確定該矢量場(chǎng)？A:能！這就是亥姆霍茲定理如果在體積V內(nèi)的矢量場(chǎng)A的散度和旋度已知，在V的邊界S上A的值也已知，則在V內(nèi)任一點(diǎn)A的值能唯一確定。（證明略去）據(jù)此定理，任一矢量場(chǎng)A能分解為一個(gè)無旋場(chǎng)和一個(gè)無源場(chǎng)之和。第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日產(chǎn)生場(chǎng)的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？產(chǎn)生場(chǎng)的源(r,t)、J(r,t)或其對(duì)應(yīng)復(fù)量(r)、J(r)的表示 體電荷密度 v(r) C/m3

面電荷密度 s(r) C/m2

線電荷密度 l(r) C/m

點(diǎn)電荷 Q C

體電流密度 Jv(r)=v·v A/m2

面電流密度 Js(r)=s·v A/m

線電流密度 Jl(r)=l·v A

半導(dǎo)體中 Jc=ve

v=v

eE=eE（電子導(dǎo)電）

Jc=vh

v=v

hE=hE（空穴導(dǎo)電）BYBY:第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量運(yùn)算的幾個(gè)恒等關(guān)系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定義，可推導(dǎo)出以下矢量運(yùn)算恒等關(guān)系：第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題1-9證明：直角坐標(biāo)系下(A)(·A)-2A解：第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題1-10第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題1-10(1)第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日小結(jié)、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)要點(diǎn)算符既是矢量，又有微分運(yùn)算功能。作用于一標(biāo)量場(chǎng)可得到一矢量場(chǎng)。作用于一矢量場(chǎng)A，如進(jìn)行點(diǎn)積運(yùn)算得到一標(biāo)量場(chǎng)·A，如果進(jìn)行一矢積運(yùn)算可得到一矢量A。標(biāo)量場(chǎng)的梯度grad是一矢量，其模為最大方向?qū)?shù)，方向?yàn)閳?chǎng)最大變化率方向

grad=矢量場(chǎng)A的散度divA反映矢量場(chǎng)的通量體密度，是一標(biāo)量。divA=·A，矢量場(chǎng)A的旋度CurlA反映矢量場(chǎng)的環(huán)量面密