電源物理數(shù)學(xué)方法課程

數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)本章小結(jié)復(fù)數(shù)數(shù)的擴張（完善化）自然數(shù)減法不封閉→整數(shù)除法不封閉→有理數(shù)不完備√2→實數(shù)方程可解性→復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示z=x+iyx=Real(z),y=Imagine(z)三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|,φ=Arg(z)指數(shù)表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ復(fù)數(shù)幾何表示關(guān)系x=rcosφy=rsinφr=√(x2+y2)φ=Arctan(y/x)特點無序性復(fù)數(shù)無大小矢量性復(fù)數(shù)有方向復(fù)數(shù)運算加減法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]冪和開方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)復(fù)共軛z=x+iy→

z*=x–iyz=rexp(iφ)→

z*=rexp(-iφ)復(fù)變函數(shù)概念定義函數(shù)：從一個數(shù)域(定義域）到另一個數(shù)域（值域）的映射實變函數(shù)：f:x→y復(fù)變函數(shù)：f:z→w舉例f(n)=fn=(1+i)n,n∈Nf(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z)復(fù)變函數(shù)更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=√(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=∑

anznw=∑

ansin(nωz)w=∏(1-z2/n22)w=∫exp(-z2)dz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)分析與比較定義域和值域相同點：都是數(shù)集不同點：實數(shù)集是一維的，可以在(直)線上表示；復(fù)數(shù)集是二維的，必須在(平)面上表示。典型例子：|x|<2是連通的，1<|x|是不連通的；|z|<2是單連通的，1<|z|是復(fù)連通的。復(fù)變函數(shù)映射相同點在形式上：y=f(x),w=f(z)不同點在變量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：實變函數(shù)可以用兩個數(shù)軸組成的平面上的曲線表示；復(fù)變函數(shù)不能用一個圖形完全表示。聯(lián)系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用兩個曲面分別表示復(fù)變函數(shù)的實部與虛部。復(fù)變函數(shù)結(jié)構(gòu)相同點：復(fù)雜函數(shù)都可以分解為簡單的基本函數(shù)組成。不同點：基本實變函數(shù)xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本復(fù)變函數(shù)zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i復(fù)變函數(shù)基本函數(shù)二次函數(shù)定義w=z2分析u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2u=x2-y2,v=2xy性質(zhì)對稱性無周期性無界性單值性復(fù)變函數(shù)三次函數(shù)定義w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x3

–3xy2,v=3x2y-y3

性質(zhì)對稱性無周期性無界性單值性復(fù)變函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)

=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性質(zhì)不對稱性周期性exp(z+2i)=exp(z)無界性單值性復(fù)變函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×

exp(iφ)]

=lnr+iφ

u=lnr,v=φ性質(zhì)對稱性非周期性無界性多值性：|φ|復(fù)變函數(shù)三角函數(shù)定義w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)

=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性質(zhì)對稱性周期性無界性單值性復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本概念實變函數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)條件分析C-R條件ux=vy

vx=-uy充要條件偏導(dǎo)數(shù)ux，vy

，vx，uy連續(xù)滿足C-R條件意義可導(dǎo)函數(shù)的虛部與實部不是獨立的，而是相互緊密聯(lián)系的。復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典型情況初等函數(shù)在定義域內(nèi)都可導(dǎo)；函數(shù)Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的計算法則：復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則與實變函數(shù)完全相同；例子：

(sin2z)’=2sinzcosz[exp(z2)]’=2zexp(z2)(z3)”=6z復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義微商表示f’(z)=dw/dz模：|f’(z)|=|dw|/|dz|幅角：Arg[f’(z)]=Arg(dw)-Arg(dz)解析函數(shù)定義點解析函數(shù)f(z)在點z0及其鄰域上處處可導(dǎo)區(qū)域解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B上每一點都解析性質(zhì)調(diào)和性解析函數(shù)的實部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，即△u=uxx+uyy=0,△v=vxx+vyy=0正交性解析函數(shù)的實部與虛部梯度正交，即uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)=uxvx+uyvy=0或曲線u(x,y)=C1,v(x,y)=C2

相互垂直。解析函數(shù)應(yīng)用例1：已知平面電場的電勢為u=x2-y2，求電力線方程。分析：等勢面與電力線相互正交，對應(yīng)的函數(shù)組成一個解析函數(shù)的實部與虛部，滿足C-R條件。解：設(shè)電力線為v(x,y)=C,由C-R條件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：電力線方程的一般形式為f(2xy)=C解析函數(shù)例2：已知平面電場的等勢線為x2+y2=C，求電勢u(x,y)。分析：等勢線方程的左邊不一定恰好是電勢表達式，電勢必須有調(diào)和性，可看成某個解析函數(shù)的實部。解：設(shè)電勢為u=f(x2+y2)ux=2xf’,uxx=2f’+4x2f”uy=2yf’,uyy=2f’+4y2f”uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0令t=x2+y2,g=f’(t)g+tg’=0g=-lnt+Cf=解析函數(shù)例3：已知平面溫度場的溫度分布為u=x2-y2，求熱流量函數(shù)。分析：熱流的方向與等溫線相互正交，對應(yīng)的函數(shù)組成一個解析函數(shù)的實部與虛部，滿足C-R條件。解：設(shè)熱流量函數(shù)為v(x,y)=C,由C-R條件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy