協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在.則稱此為隨機變量X與Y的協(xié)方差.記為Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.

離散型

連續(xù)型現(xiàn)在是1頁\一共有31頁\編輯于星期六

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機變量討論隨機變量(X,Y)的協(xié)方差.解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3現(xiàn)在是2頁\一共有31頁\編輯于星期六解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3現(xiàn)在是3頁\一共有31頁\編輯于星期六

例2

設(shè)隨機變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求Cov(X,Y).

解由已知條件于是現(xiàn)在是4頁\一共有31頁\編輯于星期六第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義2.協(xié)方差的計算公式現(xiàn)在是5頁\一共有31頁\編輯于星期六

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機變量討論隨機變量(X,Y)的協(xié)方差.解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3現(xiàn)在是6頁\一共有31頁\編輯于星期六第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0現(xiàn)在是7頁\一共有31頁\編輯于星期六第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；現(xiàn)在是8頁\一共有31頁\編輯于星期六第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);現(xiàn)在是9頁\一共有31頁\編輯于星期六現(xiàn)在是10頁\一共有31頁\編輯于星期六第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);(6)現(xiàn)在是11頁\一共有31頁\編輯于星期六

對任意的實數(shù)t，有又所以因此即特別現(xiàn)在是12頁\一共有31頁\編輯于星期六

設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在，D(X)>0，D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).記作XY.二、相關(guān)系數(shù)第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣

1.相關(guān)系數(shù)定義

2.相關(guān)系數(shù)性質(zhì)現(xiàn)在是13頁\一共有31頁\編輯于星期六

可以證明上式表明：均方誤差是|XY|的嚴格單調(diào)遞減函數(shù)，即當|XY|較大時，e較小，說明X,Y線性聯(lián)系緊密，特別|XY|=1時，X,Y之間以概率1存在線性關(guān)系.從而XY表征了X,Y之間線性關(guān)系的緊密程度.當|XY|較大時,X,Y線性關(guān)系程度較好；當|XY|較小時，X,Y線性關(guān)系程度較差.

3.隨機變量的相關(guān)性

設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)XY的存在,如果XY=0，則稱X與Y不相關(guān),否則,稱X與Y相關(guān)；如果XY>0，則稱X,Y正相關(guān)；如果XY

<0，則稱X,Y負相關(guān).現(xiàn)在是14頁\一共有31頁\編輯于星期六

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機變量討論隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù).解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3現(xiàn)在是15頁\一共有31頁\編輯于星期六解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3現(xiàn)在是16頁\一共有31頁\編輯于星期六

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機變量討論隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù).解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3現(xiàn)在是17頁\一共有31頁\編輯于星期六

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

現(xiàn)在是18頁\一共有31頁\編輯于星期六

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)現(xiàn)在是19頁\一共有31頁\編輯于星期六密度函數(shù)數(shù)學期望

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

標準正態(tài)分布的密度函數(shù)標準正態(tài)分布的方差

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)現(xiàn)在是20頁\一共有31頁\編輯于星期六

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)說明：如果(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨立的充要條件是

現(xiàn)在是21頁\一共有31頁\編輯于星期六第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣三、矩與協(xié)方差矩陣

定義1設(shè)X和Y是隨機變量，若存在,則稱它為X的k階原點矩.簡稱k階矩；

若存在,則稱它為X的k階中心矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.現(xiàn)在是22頁\一共有31頁\編輯于星期六

定義2設(shè)n維隨機變量的二階混合中心矩都存在,則矩陣為n維隨機變量的協(xié)方差矩陣.現(xiàn)在是23頁\一共有31頁\編輯于星期六

例5

設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的協(xié)方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

現(xiàn)在是24頁\一共有31頁\編輯于星期六現(xiàn)在是25頁\一共有31頁\編輯于星期六現(xiàn)在是26頁\一共有31頁\編輯于星期六

例5

設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的協(xié)方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

現(xiàn)在是27頁\一共有31頁\編輯于星期六

自然將二維正態(tài)分布的定義推廣到n維正態(tài)隨機變量的情形.n維正態(tài)隨機變量定義為現(xiàn)在是28頁\一共有31頁\編輯于星期六n維正態(tài)隨機變量的重要性質(zhì)(1)n維正態(tài)隨機變量的每一個分量Xi(i=1,2,,n)都是正態(tài)隨機變量;反之,若X1，X2，，Xn都是正態(tài)隨機變量,且相互獨立,則是n維正態(tài)隨機變量．(2)n隨機變量

服從n維正態(tài)分布的充要條件是

都任意線性組合服從一維正態(tài)分布(不全為零）.(3)若