2023屆福建省上杭縣一中數(shù)學(xué)高一下期末達標(biāo)檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若不等式的解集為，則（）A． B．C． D．2．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是A．若與共面，則與共面B．若與是異面直線，則與是異面直線C．若==，則D．若==，則=4．設(shè)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．3 B． C．1 D．5．直線在軸上的截距為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．36．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C． D．37．當(dāng)點到直線的距離最大時，的值為（）A． B．0 C． D．18．如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成，在矩形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．9．若一架飛機向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為，目標(biāo)未受損的概率為，則目標(biāo)受損但未被擊毀的概率為（）A． B． C． D．10．已知是球O的球面上四點，面ABC,，則該球的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_________.12．設(shè)，其中，則的值為________.13．三棱錐P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表面積為_____．14．?dāng)?shù)列的前項和為，，，則________．15．把函數(shù)的圖像上各點向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)擴大到原來的4倍，則所得的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為________16．已知，且，則的取值范圍是____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面向量（1）若，求；（2）若，求與夾角的余弦值.18．正四面體是側(cè)棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.19．東莞市攝影協(xié)會準(zhǔn)備在2019年10月舉辦主題為“慶祖國70華誕——我們都是追夢人”攝影圖片展.通過平常人的鏡頭記錄國強民富的幸福生活，向祖國母親的生日獻禮，攝影協(xié)會收到了來自社會各界的大量作品，打算從眾多照片中選取100張照片展出，其參賽者年齡集中在之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，做出頻率分布直方圖如圖：（1）求頻率分布直方圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，求這100位攝影者年齡的樣本平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）為了展示不同年齡作者眼中的祖國形象，攝影協(xié)會按照分層抽樣的方法，計劃從這100件照片中抽出20個最佳作品，并邀請相應(yīng)作者參加“講述照片背后的故事”座談會.①在答題卡上的統(tǒng)計表中填出每組相應(yīng)抽取的人數(shù)：年齡人數(shù)②若從年齡在的作者中選出2人把這些圖片和故事整理成冊，求這2人至少有一人的年齡在的概率.20．已知圓C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l的方程為y＝x＋m，求當(dāng)m為何值時，(1)直線平分圓；(2)直線與圓相切．21．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．求證：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，利用韋達定理列方程組，解方程組求得的值.【詳解】根據(jù)一元二次不等式的解法可知，是方程的兩個根，根據(jù)韋達定理有，解得，故選D.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解集與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

設(shè)球心為，的中心為，求出與，利用勾股定理求出外接球的半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】設(shè)球心為，的中心為，則，，球的半徑，所以球的表面積為.故選：C【點睛】本題考查多面體外接球問題，球的表面積公式，屬于中檔題.3、D【解析】

由空間四點共面的判斷可是A,B正確，；C,D畫出圖形，可以判定AD與BC不一定相等，證明BC與AD一定垂直．【詳解】對于選項A，若與共面，則與共面，正確；對于選項B，若與是異面直線，則四點不共面，則與是異面直線，正確；如圖，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，則AD與BC不一定相等，∴D錯誤；對于C,當(dāng)四點共面時顯然成立，當(dāng)四點不共面時，取BC的中點M，連接AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正確；【點睛】本題通過命題真假的判定，考查了空間中的直線共面與異面以及垂直問題，是綜合題．4、C【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合圖形找出最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如陰影部分所示；平移直線，由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，最大．，解得，即，所以的最大值為1．故答案為選C【點睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，著重考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

令,求出值則是截距?！驹斀狻恐本€方程化為斜截式為：，時，，所以，在軸上的截距為－3?！军c睛】軸上的截距：即令,求出值；同理軸上的截距：即令,求出值6、C【解析】

采用參變分離法對不等式變形，然后求解變形后的函數(shù)的值域，根據(jù)參數(shù)與新函數(shù)的關(guān)系求解參數(shù)最值.【詳解】因為不等式對一切恒成立，所以對一切，，即恒成立．令．易知在內(nèi)為增函數(shù)．所以當(dāng)時，，所以的最大值是．故選C．【點睛】常見的求解參數(shù)范圍的方法：（1）分類討論法（從臨界值、特殊值出發(fā)）；（2）參變分離法（考慮新函數(shù)與參數(shù)的關(guān)系）.7、C【解析】直線過定點Q(2,1),所以點到直線的距離最大時PQ垂直直線,即,選C.8、A【解析】，所以，故選A。9、D【解析】

由已知條件利用對立事件概率計算公式直接求解．【詳解】由于一架飛機向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為，目標(biāo)未受損的概率為；所以目標(biāo)受損的概率為：；目標(biāo)受損分為擊毀和未被擊毀，它們是對立事件；所以目標(biāo)受損的概率目標(biāo)受損被擊毀的概率目標(biāo)受損未被擊毀的概率；故目標(biāo)受損但未被擊毀的概率目標(biāo)受損的概率目標(biāo)受損被擊毀的概率，即目標(biāo)受損但未被擊毀的概率；故答案選D【點睛】本題考查概率的求法，注意對立事件概率計算公式的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

根據(jù)面，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長得到一個長方體，且長方體的各頂點都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的直徑，從而得到答案。【詳解】面，三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱，，為棱長得到一個長方體，且長方體的各頂點都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的直徑，即則該球的半徑為故答案選D【點睛】本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長得到一個長方體，三棱錐的外接球，即為該長方體的外接球，利用長方體外接球的直徑為長對角線的長，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由在區(qū)間上具有單調(diào)性，且知，函數(shù)的對稱中心為，由知函數(shù)的對稱軸為直線，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點：函數(shù)的對稱性、周期性，屬于中檔題.12、【解析】

由兩角差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，即可求出的值．【詳解】，所以，因為，故．【點睛】本題主要考查兩角差的正弦公式的逆用以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．13、【解析】

求出的外接圓半徑，的外接圓半徑，求出外接球的半徑，即可求出該三棱錐的外接球的表面積．【詳解】由題意，設(shè)的外心為，的外心為，則的外接圓半徑，在中，因為，由余弦定理可得，所以，所以的外接圓半徑，在等邊中，由，所以，所以，設(shè)球心為，球的半徑為，則，又由面，面，則，所以該三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的求解，其中解答中熟練應(yīng)用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．14、18【解析】

利用，化簡得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.15、，【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，進而求得函數(shù)的對稱中心，得到答案.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖像上各點向右平移個單位，可得，再把圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄傻?，把函?shù)縱坐標(biāo)擴大到原來的4倍，可得，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對稱中心的求解，其中解答中熟練三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用正弦函數(shù)的定義域求得值域，即的范圍，再根據(jù)反余弦函數(shù)的定義可求得的取值范圍.【詳解】因為且，所以，則根據(jù)反余弦函數(shù)的定義可得，則的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義域和值域，考查了反余弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由題可得，解出，，進而得出答案．（2）由題可得，，再由計算得出答案，【詳解】因為，所以，即解得所以（2）若，則所以，，，所以【點睛】本題主要考查的向量的模以及數(shù)量積，屬于簡單題．18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據(jù)正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結(jié)果.【詳解】解：（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，如圖，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線EG與AC所成角的大小為.【點睛】本題考查線面平行的證明，以及異面直線所成的角，通過直線平行找到異面直線所成角的平面角是關(guān)鍵，本題難度不大.19、（1），平均數(shù)為，中位數(shù)為（2）①見解析②【解析】

（1）由頻率分布直方圖各個小矩形的面積之和為1可得，用區(qū)間中點值代替可計算均值，中位數(shù)把頻率分布直方圖中小矩形面積等分．（2）①分層抽樣，是按比例抽取人數(shù)；②年齡在有2人，在有4人，設(shè)在的是，，在的是，可用列舉法列舉出選2人的所有可能，然后可計算出概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖各個小矩形的面積之和為1，得在頻率分布直方圖中，這100位參賽者年齡的樣本平均數(shù)為：設(shè)中位數(shù)為，由，解得.（2）①每組應(yīng)各抽取人數(shù)如下表：年齡人數(shù)12485②根據(jù)分層抽樣的原理，年齡在有2人，在有4人，設(shè)在的是，，在的是，列舉選出2人的所有可能如下：，共15種情況.設(shè)“這2人至少有一人的年齡在區(qū)間”為事件，則包含：共9種情況則【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查樣本數(shù)據(jù)特征、古典概型，屬于基礎(chǔ)題型．20、（1）m＝0；（2）m＝±2．【解析】試題分析：（1）直線平分圓，即直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程可得m值（2）根據(jù)圓心到直線距離等于半徑列方程，解得m值試題解析：解：(1)∵直線平分圓，所以圓心在直線y＝x＋m上，即有m＝0.(2)∵直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，∴d＝＝2，m＝±2.即m＝±2時，直線l與圓相切．點睛：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過