第8章立體幾何-1空間幾何體及其表面積和體積理科

：：第八 立體幾第1 空間幾何體及其表面積和體1（201414）面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)(V棱數(shù)(E5696668猜想一般凸多面體中，F(xiàn),V,E所滿(mǎn)足的等式 1.解析FV分別為11，12，14E分別為9，1012，容易觀察并猜想FVE2題型851（2013（）.

2.(2013重慶理5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 關(guān)合教 ：：關(guān)關(guān)33

4正（主）視4

88324俯3243.（20138）A1B1C1ABCD，E，F(xiàn)的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE的體積為V，三棱柱AB

ABCV，則V1:V2

11 4（2013 A． 3

3

.（2014山東理13）PABCDE分別PBPC的中點(diǎn)，記三棱錐VV

2：：關(guān)關(guān)5解析如圖S

S1

1距離為h，則S2Sh2h1

1Sh，V1Sh，所以V1

1

31 32

S2 EDPED B評(píng)注本題考查三棱錐的體積求法以及等體積轉(zhuǎn)化法在求空間幾何體體積中的應(yīng)用.本題的.（201413）要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià) 6解析設(shè)底面的邊長(zhǎng)分別為xmym，總造價(jià)為T(mén)元，則Vxy14xy4T4202x （且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)）故該容器的最低總造價(jià)是160元.（2014218）（12分如圖所示，四PABCD中，底面ABCD為矩形PA平面ABCDEPB//AEC3設(shè)二面角DAEC為60，AP1，AD ，求三棱錐EACD的體積3：：關(guān)關(guān).（2016理19）將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱 1如圖所示，AC長(zhǎng)為2， 長(zhǎng)為，其中B與C在平面AAOO的同側(cè) 1O求三棱錐CO1A1B1的體O求異面直線B1CAA1所成角的大小C8.解析（1）連結(jié)OBA1B1

，所以△O

3，所以

1OO

3

CO1

（2）設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B，連結(jié)BB1，則BB∥，所以 為直B1CAA1所成角（或補(bǔ)角BB1AA11，連結(jié)BCBO,OCABA1B13AC

BC

，故

，因此△BOCBCBO1，故tanBBC ，所以BBC ，故直線BC與AA所 角大小為45BBPA1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍PDOAB6mPO1DO正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6mPO19解析（1）PO2m，則OO8m111VPA111

13

162 3：：關(guān)關(guān)1VABCDABCD1

OO 111111

VABCDABC

312m3，故倉(cāng)庫(kù)的容積為312m33611136111

(m)，倉(cāng)庫(kù)的容積為Vx36則OO14x(m)A36

2

33111VxVPA111

13

13x236x20x6，V'x

0x6x023時(shí)，V'x0，Vx單調(diào)遞增x236時(shí)，V'x0Vx單調(diào)遞減故當(dāng)x

時(shí)，V

10.（2016浙江理14）如圖所示，在△ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿(mǎn)足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值 PCD 110

解析在△ABC中，因?yàn)锳BBC2ABC

BADBCA30由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos12，所以AC23

22222223ADx，則0x23DC3

x.在△ABD中，由余弦定理BD2AB22ADABcosAx2222x2cos

x2 .x2x223x

.在△PBD中PDADxPBBA2.由余弦定理可PD2cosBPD 所以BPD30過(guò)點(diǎn)P作直線BD的垂線，垂足為O.POd，則

1BDd2即 x223x4d1x2sin

，解得d

x223xx223x ：：關(guān)關(guān)S1CDBCsin2

.PO與平面ABC成角為，則點(diǎn)P到平面ABC的距離hdsin.故四面體PBCD的體V13

h316x(216x(22當(dāng)π時(shí)等號(hào)成立，所以我們?nèi)ˇ? 3x2x223x333|x 333

，因?yàn)?剟

，所以1剟

2.0剟313V6

x33t21233

x

t21,故x

.t2t2Vt1

因?yàn)?剟

2所以Vt函數(shù)V(t在12上單調(diào)遞減故VtV114116 3 x?3

33時(shí)，有x x33

，故x

t2t2331 33V6

t212 33t33EDED14t214 6

t 由上述可知，函數(shù)V(t在(12]單調(diào)遞減，1 V(t)V(1)6112 1PBCD的體積的最大值為2：：關(guān)關(guān)11（20176）如圖所示，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O均相切．記圓柱OO的體積為V，球O的體積為V，則V1的值 1

OO11.解析設(shè)球Or，由題意Vr22r，V4r3

33

12（201718，則這個(gè)球的體積為 解析設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，則6a218a23.以2R

，V4πR34π279π3a 3a13.（20171卷理科16）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 EAEA BD解析由題意，聯(lián)結(jié)ODBCG，如圖所示，則ODBCOG

3BC6OGBC的長(zhǎng)度成正比.設(shè)OGxBC23xDG5xDG2DG22510xx2

，S△

23x3x133x22則V1

h

2525

.fx25x410x5x0,5△

2325x4325x4fx100x350x4，令fx0，即x42x30x2，當(dāng)fx0，：：關(guān)關(guān)2x5fx在02上單調(diào)遞增，在25上單調(diào)遞減. 2fxf280，則V

3 所以體積的最大值為415cm3題型86旋轉(zhuǎn)體的表面積、體積及球面距1.（2013浙江理12）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等 cm2232正視

側(cè)視33俯視 1212141214：：3.（2013遼寧理10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上AB3AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為 32

2

們的側(cè)面積相等，且S19，則V1的值 4.解析設(shè)圓柱甲的底面半徑為r1，高為h1，圓柱乙的底面半徑為r2h2. 得11 ，所以r13.又因?yàn)? ，即2πrh=2πrh，所以h1=r1=2S42S4

甲 乙

1 2

V1S1h1S1h1923 S2 2評(píng)注考查立體幾何中側(cè)面積、體 25.（2014陜西理5）已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為

C.2π D.4π25.解析如圖為四棱柱AC1.根據(jù)題意得AC 所以對(duì)角面ACC1A為正方形所以外2球直徑2RAC2，所以R1，所以V4π，故選 6.（2014理8《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在省江陵縣張家山出土，這是我該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)計(jì)算其體積V的近 V

1L2h它際上是將圓錐體 中的圓周率π近似取為3.那么近 V

2L2h相當(dāng)于將圓錐 ：： 中的π近似取為 7

8

1

L

解析圓錐的體積V

πr2h

π

h

，由題意得12π ，π近似取 7.（2014大綱理8）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2， A． 4解析R，由題意可得4R2表面積為4πR281π.4

22R2R94.20151理6《九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著書(shū)中有如下問(wèn)題:“ A．14 B．22 C．36 D．66解析設(shè)圓錐底面半徑為r，則123r8，所以r16，所以米堆的體積16

33 3

5

9

1.6222斛.故選99.(20157)ABCDABCADBCBC2AD2AB22將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 A． D． 解析ABCDAD關(guān)合教 ：：V 122112125．故選圓 圓 10.（2015江蘇9）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的 10.解析原來(lái)的總體積為V1524228196，設(shè)新的半徑為r3

28r2

r2故變化后體積V' 37從而r 7

4

，計(jì)算 A． 4

2

D．4解析1212123r

，則圓柱體的體積Vπr2h .故選 題型87 2理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ A. B. D.解析根據(jù)題意，可得圖如圖所示，當(dāng)點(diǎn)CAOB關(guān)合教 ：：OAB三棱錐OABC的體積最大，則可設(shè)球OROAB此時(shí)VOABCVCAOB11R2R1R336，故R63 則球O