2018版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)241二次函數(shù)圖像學(xué)案北師大版

二次函數(shù)的圖像1．理解y＝x2與y＝ax2(a≠0)，y＝ax2與y＝(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的圖像之間的關(guān)系．(要點)2．掌握a，h，k對二次函數(shù)圖像的影響．(難點、易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像間的關(guān)系閱讀教材P41～P42第2自然段結(jié)束相關(guān)內(nèi)容，達成以下問題．二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像可由y＝x2的圖像各點的縱坐標(biāo)變成本來的a倍獲得．此中a決定了圖像的張口方向和在同向來角坐標(biāo)系中的張口大?。韵露魏瘮?shù)圖像張口，按從小到大的次序擺列為________．1212122①f(x)＝4x；②f(x)＝2x；③f(x)＝－3x；④f(x)＝－3x.【分析】y＝ax2(a≠0)的圖像在同向來角坐標(biāo)系中|a|越大，張口就越?。敬鸢浮竣堍冖邰俳滩恼?函數(shù)y＝ax2(a≠0)與函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的圖像閱讀教材P42第3自然段～P44的相關(guān)內(nèi)容，達成以下問題．h>0向左平移h個單位k>0，向上平移k個單位1．y＝ax2――――――――→y＝a(x＋h)2――――――――→y＝a(x＋h)2<0，向右平移||個單位k<0，向下平移|k|個單位hhk.2．將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過配方化為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，而后經(jīng)過函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像左右、上下平移獲得函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像．3．在二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖像的張口大小及方向．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二次函數(shù)y＝3x2的張口比y＝x2的張口要大．()(2)要獲得y＝－(x－2)2的圖像，需要將y＝－x2向左平移1個單位．()(3)要獲得y＝2(x＋1)2的圖像，需將y＝2(x＋1)2－1的圖像向上平移1個單位．( )【答案】(1)×(2)×(3)√[小組合作型]二次函數(shù)圖像間的變換在同一坐標(biāo)系中作出以下函數(shù)的圖像．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并剖析怎樣把y＝x2的圖像變換成y＝2x2－4x的圖像.【導(dǎo)學(xué)號：04100027】【出色點撥】對每個函數(shù)列表、描點、連線作出相應(yīng)的圖像，而后利用圖像剖析y＝x2與y＝2x2－4x的關(guān)系．【試試解答】列表：x－3－2－10123y＝x29410149y＝x2－272－1－2－127y＝2x2－4x301660－206描點、連線即得相應(yīng)函數(shù)的圖像，以下圖．由圖像可知由y＝x2到y(tǒng)＝2x2－4x的變化過程以下．法一：先把y＝x2的圖像向右平移1個單位長度獲得y＝(x－1)2的圖像，而后把y＝(x－1)2的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成本來的2倍，獲得y＝2(x－1)2的圖像，最后把y＝2(x－1)2的圖像向下平移2個單位長度即可獲得y＝2x2－4x的圖像．法二：先把y＝x2的圖像向下平移1個單位長度獲得y＝x2－1的圖像，而后再把y＝x2－1的圖像向右平移1個單位長度獲得y＝(x－1)2－1的圖像，最后把y＝(x－1)2－1的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成本來的2倍，即可獲得y＝2(x－1)2－2，即y＝22－4x的圖像．x隨意拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可轉(zhuǎn)變成y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的圖像經(jīng)過適合的平移獲得，詳細(xì)平移方法以下圖．即上述平移規(guī)律“h值，正、負(fù)，左、右移”，亦即“加時左移，減時右移”；“正、負(fù)，上、下移”，即“加時上移，減時下移”．

k值[再練一題]1．畫二次函數(shù)y＝12－6＋21的圖像，并說明它是怎樣經(jīng)過y＝12平移獲得的．2xx2x1212【解】∵y＝2x－6x＋21＝2(x－6)＋3，∴拋物線的極點坐標(biāo)為(6,3)，對稱軸為x＝6.令x＝0，求得y＝21，它與y軸交點為(0,21)，此交點距極點太遠(yuǎn)，繪圖時利用不上．12令y＝0，x－6x＋21＝0，∵＜0，方程無實數(shù)解，∴拋物線與x軸沒有交點．所以，畫此函數(shù)圖像，應(yīng)利用函數(shù)的對稱性列表，在極點的雙側(cè)適合地選用兩對對稱點，而后描點、繪圖即可．利用二次函數(shù)的對稱性列表：x45678y53.533.55描點、連線即得函數(shù)y＝1x2－6x＋21的圖像，以下圖．把y＝x2的圖像向右平移221126個單位長度，向上平移3個單位長度，即可獲得y＝2x－6x＋21的圖像．求二次函數(shù)的分析式依據(jù)以下條件，求二次函數(shù)y＝f(x)的分析式．圖像過點(2,0)，(4,0)，(0,3)；圖像極點為(1,2)而且過點(0,4)；過點(1,1)，(0,2)，(3,5)．【出色點撥】【試試解答】(1)設(shè)二次函數(shù)分析式為y＝a(x－2)·(x－4)．整理得y＝ax2－6＋8，axa3∴8a＝3，∴a＝8.3∴分析式為y＝8(x－2)(x－4)．(2)設(shè)二次函數(shù)分析式為y＝(－1)2＋2.ax整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，a＋2＝4，∴a＝2，∴分析式為y＝2(x－1)2＋2.(3)設(shè)函數(shù)分析式為y＝ax2＋bx＋c，a＋b＋c＝1，a＝1，由題設(shè)知c＝2，?b＝－2，9a＋3b＋c＝5c＝2，∴分析式為y＝x2－2x＋2.求二次函數(shù)分析式的方法，應(yīng)依據(jù)已知條件的特色，采納分析式的形式，利用待定系數(shù)法求解若已知條件是圖像上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋ca，，為常數(shù)，a的形式若已知二次函數(shù)圖像的極點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與bc最大小值，則設(shè)所求二次函數(shù)為極點式y(tǒng)＝ax－h(huán)2＋k此中極點為h，k，a為常數(shù)，a若已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為x1，，x2，，則設(shè)所求二次函數(shù)為兩根式y(tǒng)＝ax－x1x－x2a為常數(shù)，且a[再練一題]2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值以下表：x－3－2－10123y60－4－6－6－40求該函數(shù)的分析式．【解】法一：由表可知該函數(shù)與x軸有兩個交點(－2,0)，(3,0)，故該函數(shù)可設(shè)為y＝a(x＋2)(x－3)，又函數(shù)過點(0，－6)，故－6a＝－6，a＝1，所以該函數(shù)的分析式為y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6.法二：因為該函數(shù)過點(0，－6)，故y＝ax2＋bx－6，又過點(－1，－4)，(1，－6)，a－b－6＝－4，①故a＋b－6＝－6，②由①②可得a＝1，b＝－1，故該函數(shù)的分析式為y＝x2－x－6.[研究共研型]二次函數(shù)圖像的應(yīng)用研究1你能對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方，并說出它的張口方向、極點坐標(biāo)、對稱軸、單一區(qū)間、最大值和最小值嗎？2b2－2【提示】y＝ax＋bx＋c＝ax＋2a4acb.當(dāng)a＞0時，函數(shù)的圖像張口向上，頂＋4a點坐標(biāo)為－b4ac－b2，對稱軸為直線x＝－b；f(x)在－∞，－b上是減少的，在，4a2a2a2abb4－b2－2a，＋∞上是增添的；當(dāng)x＝－2a時，函數(shù)獲得最小值4a，無最大值．當(dāng)a＜0時，函數(shù)的圖像張口向下，極點坐標(biāo)為－b4ac－b2b；f(x)在2a，4a，對稱軸為直線x＝－2ab上是增添的，在－bb時，函數(shù)獲得最大值－∞，－，＋∞上是減少的；當(dāng)x＝－2a2a2a4ac－b2，無最小值．4a研究2將函數(shù)y＝－3x2－6x＋1配方，確立其對稱軸、極點坐標(biāo)，求出它的單一區(qū)間及最大值或最小值，并畫出它的圖像．【提示】y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4.因為x2的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以函數(shù)圖像張口向下；極點坐標(biāo)為(－1,4)；對稱軸為直線x＋1＝0(或x＝－1)；函數(shù)在區(qū)間(－∞，－1]上是增添的，在區(qū)間[－1，＋∞)上是減少的；函數(shù)有最大值，沒有最小值，函數(shù)的最大值是4.采納描點法繪圖，選極點A(－1，4)，與x軸的交點B223＋3，3－3，0和C－，033與y軸的交點D(0,1)，再任取點E(－2,1)，過這5個點畫出圖像，如圖．已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6.求此函數(shù)圖像的張口方向、對稱軸、極點坐標(biāo)，并畫出函數(shù)圖像；求此函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，并求出以此三點為極點的三角形面積；x為什么值時，y＞0，y＝0，y＜0?【出色點撥】(1)已知二次函數(shù)，經(jīng)過配方可求得對稱軸及極點坐標(biāo)，再由函數(shù)的對稱性列表描點可畫出圖像；(2)函數(shù)圖像與x軸、y軸訂交的條件分別是y＝0，x＝0，可求對應(yīng)的變量值，進一步求出三角形的面積；(3)察看圖像可獲得圖像在x軸上方(即y＞0)時x的取值范圍，y＝0與y＜0時亦可得．【試試解答】(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵＝2＞0，a∴函數(shù)圖像張口向上，對稱軸是直線x＝1，極點坐標(biāo)是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描點并繪圖，得函數(shù)y＝2x2－4x－6的圖像，以下圖．(2)由圖像得，函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)為A(－1,0)，B(3，0)，與y軸的交點坐標(biāo)為C(0，－6)．1

1S△ABC＝2|

AB|·|OC|＝2×4×6＝12.(3)由函數(shù)圖像知，當(dāng)

x＜－1

或

x＞3時，y＞0；當(dāng)

x＝－1

或

x＝3

時，y＝0；當(dāng)－1＜x＜3時，y＜0.察看圖像主假如掌握其實質(zhì)特色：

張口方向決定

a的符號，在y軸上的交點決定

c的符號值，對稱軸的地點決定

的符號，此外還要注意與

x

軸的交點、函數(shù)的單一性等，進而解決其余問題[再練一題]3．求函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的極點坐標(biāo)，對稱軸以及函數(shù)的單一區(qū)間．【解】∵＝－x2＋2＋3＝－(－1)2＋4，∴極點坐標(biāo)為(1,4)，對稱軸為x＝1，單一增yxx區(qū)間為(－∞，1]，單一減區(qū)間為[1，＋∞).1.以下對于二次函數(shù)y＝－x2＋x＋1的張口方向和極點的說法，正確的選項是( )A．張口向下，極點(1,1)B．張口向上，極點(1,1)5C．張口向上，極點－2，45D．張口向下，極點2，4【分析】12515函數(shù)可化為y＝－x－＋，故拋物線張口向下，極點，.2424【答案】D把函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移2個單位，向上平移1個單位，獲得函數(shù)的分析式為________．【分析】函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移2個單位獲得y＝2(x＋2)2，向上平移1個單位獲得y＝2(x＋2)2＋1.【答案】y＝2(x＋2)2＋1已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖2-4-1所示，則此函數(shù)的分析式為__________.【導(dǎo)學(xué)號：04100028】圖2-4-1【分析】由圖像設(shè)f()＝ax2＋3(≠0)．xa3