2023年中考數(shù)學(xué)專題《四邊形壓軸綜合問題》必刷真題考點(diǎn)分類專練含答案解析

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）專題33四邊形壓軸綜合問題一、解答題1．（2022·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角△DCG的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(1)【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問題．請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問題．(2)【實(shí)踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個(gè)問題．(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP．知道正方形的邊長時(shí)，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB=4時(shí)，請你求出△ADP周長的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)45°，理由見解析(3)4+45【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)F，連接EF，利用同角的余角相等說明∠PEC＝∠BAE，再根據(jù)ASA證明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，則△FAE≌△CEP（SAS），再說明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于O，連接AG，則△DCG是等腰直角三角形，可知點(diǎn)D與G關(guān)于CP對稱，則AP+DP的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG，進(jìn)而得出答案．(1)解：AE＝EP，理由如下：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，∵F、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；(2)解：在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；(3)解：作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于O，連接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點(diǎn)D與G關(guān)于CP對稱，∴AP+DP的最小值為AG的長，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝45∴△ADP周長的最小值為AD+AG＝4+45【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)BD=63(2)①四邊形ABEF的面積為73【解析】【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=33（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33?12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF=312x?332+2734，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O(1)解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°=6×32=∴BD=2BO=63(2)解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=63菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=12∵S菱形∴MN=33設(shè)BE=x，則EN=12∴EM=MN-EN=33∵S菱形ABCD=AD?MN=6×33∴S△ABD=12S菱形ABCD=9∵BE=3DF，∴DF=BE3∴S△DEF=12DF?EM=12?記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=93-（?312∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即0<x<63①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=23BO=2此時(shí)s=3122∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為73②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=33∵s=3∴當(dāng)x=33，即BE=33時(shí)，∵BE=3DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+3CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+3CH=3+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）平行四邊形ABCD，若P為BC中點(diǎn)，AP交BD于點(diǎn)E，連接CE．(1)若AE=CE，①證明ABCD為菱形；②若AB=5，AE=3，求BD的長．(2)以A為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F，且CE=2AE．若F在直線CE上，求【答案】(1)①見解析；②6(2)10【解析】【分析】（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；②先證點(diǎn)E是△ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得OB=3x=32，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點(diǎn)E是△ABC的重心，又F在直線CE上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=12AB，根據(jù)重心性質(zhì)得GE=12CE＝22AE，CG=CE+GE=322AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,則AG=22AE,所以AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2(1)①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形ABCD，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形ABCD，∴四邊形ABCD是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵P為BC中點(diǎn)，∴AP是△ABC的中線，∴點(diǎn)E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=2,∴OB=3x=32，∵平行四邊形ABCD，∴BD=2OB=62；(2)解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點(diǎn)E是△ABC的重心，又F在直線CE上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=12AB，GE=12∵CE=2AE，∴GE=22AE，CG=CE+GE=32在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE∴AG=22AE∴AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5∴BC=5AE，∴ABBC【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動有利于我們在圖形運(yùn)動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實(shí)踐活動帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請解決下列問題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則GHCE=(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．GHCE=(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為．【答案】(1)GH=1(2)GH(3)GH(4)3【解析】【分析】（1）先證明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=12（2）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=12（3）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，用含m、n的代數(shù)式表達(dá)出AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=12（4）過M作MH⊥AB于H，根據(jù)折疊性質(zhì)得∠C=∠MPN，根據(jù)角平分線證明出∠C=∠PMH，設(shè)CM=PM=x，HM=y，根據(jù)三角函數(shù)定義找到x、y之間的關(guān)系，再利用△AHM∽△ABC，得到HMBC(1)解：GH=1∵AB=BC，四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠CBE=90°，∵E、F為BC，AB中點(diǎn)，∴BE=BF，∴△ABF≌△CBE，∴AF=CE，∵H為DF中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，∴GH=12∴GH=1(2)解：GHCE連接AF，如圖所示，由題意知，BF=12AB=1，BE=12∴ABBC由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=2:3，∵G為AD中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)，∴GH=12∴GHCE故答案為：13(3)解：GHCE連接AF，如圖所示，由題意知，BF=12AB=m2，BE=1∴ABBC由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=m：n，∵G為AD中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)，∴GH=12∴GHCE故答案為：m2n(4)解：過M作MH⊥AB于H，如圖所示，由折疊知，CM=PM，∠C=∠MPN，∵PM平分∠APN，∴∠APM=∠MPN，∴∠C=∠APM，∵AB=2，BC=3，∴AC=22設(shè)CM=PM=x，HM=y，由sin∠C=sin∠APM即213=yx∵HM∥BC，∴△AHM∽△ABC，∴HMBC即y3=13∴13?x解得：x=313故答案為：313【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)定義等知識點(diǎn)，找到相似三角形是解題關(guān)鍵．5．（2022·吉林長春·中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD=2AB．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想【問題解決】(1)小亮對上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可知，∠BAF=12∠BAD=45°∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2請你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)∠DAG的度數(shù)為________度，F(xiàn)GAF(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段AF上，且AP=12AB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②，設(shè)AB=a，則FQ+PQ【答案】(1)見解析(2)22.5°，2(3)5【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;證明Δ（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG對稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過點(diǎn)P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出(1)證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可知，∠BAF=12∠BAD=45°∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2由折疊得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折疊得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=∴∠EAF=由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=∠AFG=∠ADG=又∠AFB=∴∠GFC=∴∠FGC=∴GC=FC.設(shè)AB=x,則BF=x,AF=∴FC=BC?BF=∴GF=∴GF(3)如圖，連接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分線，即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對稱，連接PD交AG于點(diǎn)Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長；過點(diǎn)P作PR⊥AD交AD于點(diǎn)R，∵∠DAF=∠BAF=∴∠APR=∴AR=PR又A∴AR=PR=∴DR=AD?AR=在RtΔDPR∴DP=AR∴PQ+FQ的最小值為5【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·吉林長春·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=BD=13，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD?DB以每秒13個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t(1)點(diǎn)D到邊AB的距離為__________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；(3)連結(jié)A'D，當(dāng)線段A'D最短時(shí)，求△DPA'的面積；(4)當(dāng)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)3(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，DP=13?13t；當(dāng)1＜(3)3(4)23或【解析】【分析】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；（3）過點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段A'D最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得DE=3?3t,PE=2?2t，從而得到A'E=DE?A'D=2?3t（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)A'位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)A'（A″）位于CM的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD(1)解：如圖，連接DM，∵AB=4，AD=BD=13，點(diǎn)M為邊AB∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴DM=A即點(diǎn)D到邊AB的距離為3；故答案為：3(2)解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，DP=13當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，PD=13綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，DP=13?13t；當(dāng)1＜(3)解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A'，∴A′M=AM=2，∴點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長為半徑的圓，