2022年重慶璧山實驗中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2022年重慶璧山實驗中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，則函數(shù)f（x）=（a2﹣2）x+b為增函數(shù)的概率是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：首先求出所以事件個數(shù)就是集合元素個數(shù)5，然后求出滿足使函數(shù)為增函數(shù)的元素個數(shù)為3，利用公式可得．解答： 解：從集合{﹣2，0，1，3，4}中任選一個數(shù)有5種選法，使函數(shù)f（x）=（a2﹣2）x+b為增函數(shù)的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以滿足此條件的a有﹣2，3，4共有3個，由古典概型公式得函數(shù)f（x）=（a2﹣2）x+b為增函數(shù)的概率是；故選：B．點評：本題考查了古典概型的概率求法；關鍵是明確所有事件的個數(shù)以及滿足條件的事件公式，利用公式解答．2.某商場在節(jié)日期間舉行促銷活動，規(guī)定：（1）若所購商品標價不超過200元，則不給予優(yōu)惠；（2）若所購商品標價超過200元但不超過500元，則超過200元的部分給予9折優(yōu)惠；（3）若所購商品標價超過500元，其500元內（含500元）的部分按第（2）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予8折優(yōu)惠．某人來該商場購買一件家用電器共節(jié)省330元，則該件家電在商場標價為（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2200元參考答案：C考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：由購買一件家用電器共節(jié)省330元可知，該家電的標價應超過200元，進一步分析應超過500元，根據(jù)兩段價格的優(yōu)惠和等于330元列式即可求得該家電在商場的標價．解答：解：由題意知，若該家電大于200元但不超過500元，優(yōu)惠的錢數(shù)為300﹣300×0.9=30元，因為該家電優(yōu)惠330元，所以該家電一定超過500元，設該家電在商場的標價為x元，則優(yōu)惠錢數(shù)為（300﹣300×0.9）+（x﹣500）×（1﹣0.8）=330．解得：x=2000．所以，若某人來該商場購買一件家用電器共節(jié)省330元，則該件家電在商場標價為2000元．故選C．點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應用，解答的關鍵是明確如何計算優(yōu)惠數(shù)額，每一段的優(yōu)惠數(shù)等于標價數(shù)減去實際支付數(shù)，屬中檔題．3.設變量x,y滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為(A)10

(B)8

(C)7

(D)2參考答案：B4.已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，，，則的最大值為()A．1

B．2

C．n

D．2參考答案：A略5.設x，y滿足約束條件，則下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進行判斷即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：則C（2，3），B（2，5），則x≥3，y≥4不成立，作出直線x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由圖象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故選：C．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．6.已知二次函數(shù)，則函數(shù)圖像可能是參考答案：C略7.設集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，則（?RA）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞） B．[﹣1，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】求出y=sinx的值域確定出A，找出R中不屬于A的部分求出A的補集，求出y=lgx的定義域確定出B，找出A補集與B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函數(shù)y=sinx，x∈R，得到y(tǒng)∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴?RA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函數(shù)y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），則（?RA）∩B=（1，+∞）．故選C8.下列說法正確的個數(shù)為（

）①函數(shù)的一個對稱中心為；②在中，，，是的中點，則；③在中，是的充要條件；④定義，已知，則的最大值為.A．1

B．2

C.

3

D．4參考答案：D9.設集合P={x|}，m=30.5，則下列關系中正確的是（）A．m?P B．m?P C．m∈P D．m?P參考答案：B【考點】1C：集合關系中的參數(shù)取值問題；12：元素與集合關系的判斷．【分析】解出集合P中元素的取值范圍，判斷m的值的范圍，確定m與P的關系，從而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m?P，故選B．10.函數(shù)的圖象是（

）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.12．已知拋物線的準線與圓相切，則

．參考答案：命題意圖：本題考查拋物線與圓的性質，簡單題．12.在邊長為6的等邊三角形ABC中，．則_____?參考答案：24【分析】以為一組基底，用這組基底表示,最后用數(shù)量積公式求得24.【詳解】【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算、平面向量基本定理、向量的加法幾何意義，本題易錯的地方是誤把看成的夾角.13.設，則的值為______________________參考答案：-2

略14.若函數(shù)的圖象在處的切線方程是，則

.參考答案：15.在中，，則參考答案：16.向量=（3，4）與向量=（1，0）的夾角大小為．參考答案：arccos【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由已知向量的坐標結合數(shù)量積求夾角公式得答案．【解答】解：∵向量=（3，4）與向量=（1，0），∴cos＜＞=．∴＜＞=arccos．故答案為：arccos．17.已知空間4個球,它們的半徑分別為2,2,3,3,每個球都與其他三個球外切,另有一個小球與這4個球都外切,則這個小球的半徑為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為當年產量不足80千件時，（萬元）；當年產量不小于80千件時（萬元），每件商品售價為萬元，通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完。 （1）寫出年利潤L（萬元）關于年產量x（千件）的函數(shù)解析式； （2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？參考答案：略19.已知函數(shù)的圖象過點，點關于直線的對稱點在的圖象上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）令，求的最小值及取得最小值時的值．參考答案：解：（1）點關于直線的對稱點Q的坐標為.由得解得，，故函數(shù)解析式為．（2）（），∵，當且僅當即時，“＝”成立，而函數(shù)在上單調遞增，則，故當時，函數(shù)取得最小值1．略20.（本小題共13分）

如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大??；（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

參考答案：本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴與平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，

設，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵，∴.∴與平面所成的角的大小.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，是PC的中點．（1）求證：平面PAC⊥平面MBD；（2）若，三棱錐P-ABD的體積為，求四棱錐P-ABCD的側面積．參考答案：(1)見證明；(2)【分析】（1）由平面可得，由底面是菱形可得，從而得平面，進而可得結論；（2）設菱形的邊長為，在中，利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，由棱錐的體積公式可得，求出各側面的面積即可得結果.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，又∵底面是菱形，∴，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）設菱形邊長為，∵，∴，在中，，∴，又∵平面，，，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∵，∴.又∵平面，∴，∴四棱維的側面積等于【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理以及棱錐的側面積，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理.22.如圖，棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，若存在，指出點Q的位置，若不存在，說明理由．參考答案：考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關系與距離．分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BD⊥AC，BD⊥PA，由此能證明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．（III）設，由CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，利用向量法能求出線段PD上存在一點Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，且．解答： 解：（Ⅰ）證明：在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD為正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系，則B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴，，設平面PCD的法向量，則，取y=1，得，高平面PBD的法向量，則，取