2023年湖南省衡陽縣第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)的值是（）A．4 B．6 C．16 D．362．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°3．如圖，在中，面，，是的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．84．函數(shù)的最小正周期為π，若其圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱5．已知中，，，的對邊分別是，，，且，，，則邊上的中線的長為()A． B．C．或 D．或6．已知向量，，則（）A．-1 B．-2 C．1 D．07．已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則面積的最大值為（）A．13 B．3 C． D．8．已知圓C與直線和直線都相切，且圓心C在直線上，則圓C的方程是（）A． B．C． D．9．若角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．已知是單位向量，.若向量滿足（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________．12．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則________．13．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．14．甲、乙兩人要到某地參加活動，他們都隨機(jī)從火車、汽車、飛機(jī)三種交通工具中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為_________.15．函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.16．若是方程的解，其中，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知矩形中，，，M是以為直徑的半圓周上的任意一點(diǎn)（與C，D均不重合），且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求與所成的角18．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面積.19．某地統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？20．在中，，且的邊a，b，c所對的角分別為A，B，C.（1）求的值；（2）若，試求周長的最大值.21．做一個(gè)體積為，高為2m的長方體容器，問底面的長和寬分別為多少時(shí)，所用的材料表面積最少？并求出其最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

兩圓外切時(shí)，有三條公切線．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系．兩圓的公切線條數(shù)：兩圓外離時(shí)，有4條公切線，兩圓外切時(shí)，有3條公切線，兩圓相交時(shí)，有2條公切線，兩圓內(nèi)切時(shí)，有1條公切線，兩圓內(nèi)含時(shí)，無無公切線．2、A【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，依次證明線面平行和面面平行，根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì)，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項(xiàng)說法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項(xiàng)說法正確；同理可證：平面，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項(xiàng)說法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項(xiàng)說法正確.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握3、C【解析】試題分析：因?yàn)槊?，所以，則三角形為直角三角形，因?yàn)椋?，所以三角形是直角三角形，易證，所以面，即，則三角形為直角三角形，即共有7個(gè)直角三角形；故選C．考點(diǎn)：空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．4、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據(jù)平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個(gè)單位后得到，由得到的函數(shù)是奇函數(shù)可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時(shí)可得C正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì).平移變換時(shí)注意平移方向和對解析式的影響，性質(zhì)求解一般利用整體換元意識來處理.5、C【解析】

由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中線，在中，由余弦定理即可計(jì)算AB邊上中線的長．【詳解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或1．如圖，CD為AB邊上的中線，則，在中，由余弦定理，可得：，或，解得AB邊上的中線或．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到答案.【詳解】向量，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于簡單題.7、C【解析】

先求出直線方程，然后計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)面積的最大時(shí)，以及高最大的條件，可得結(jié)果.【詳解】由，利用直線的截距式所以直線方程為：即由圓，即所以圓心為，半徑為則圓心到直線的距離為要使面積的最大，則圓上的點(diǎn)到最大距離為所以面積的最大值為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線的幾何關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離，屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】

設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可【詳解】∵圓心在直線上，∴可設(shè)圓心為，設(shè)所求圓的方程為，則由題意，解得∴所求圓的方程為．選B【點(diǎn)睛】直線與圓的問題絕大多數(shù)都是轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解9、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合正弦的二倍角公式計(jì)算即可【詳解】由題意，∴，，．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．10、A【解析】

因?yàn)椋?，做出圖形可知，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反且時(shí)，取到最大值；最大值為；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同且時(shí)，取到最小值；最小值為.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意可得=≥2=2，由不等式的性質(zhì)變形可得．【詳解】∵正實(shí)數(shù)a，b滿足，∴=≥2=2，∴ab≥2當(dāng)且僅當(dāng)=即a=且b=2時(shí)取等號．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．12、【解析】

利用等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，求出a1，即可求出a1．【詳解】∵等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案為-2.．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.．13、15【解析】分析：運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出的值.詳解：數(shù)列為等比數(shù)列，故答案為15.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生對基本概念的掌握能力與計(jì)算能力.14、【解析】

利用古典概型的概率求解.【詳解】甲、乙兩人選擇交通工具總的選擇有種，他們選擇相同交通工具有3種情況，所以他們選擇相同交通工具的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，要用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】考點(diǎn)：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡、性質(zhì)，考查運(yùn)算能力.16、或【解析】

將代入方程，化簡結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得：，即所以或又所以或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）證明，得到平面，得到答案.（2）過點(diǎn)M作于點(diǎn)E，當(dāng)M為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積最大，作于F，連接，與所成的角即與所成的角，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）為直徑，，已知平面平面，.平面，所以，又，平面，又平面，∴平面平面.（2）過點(diǎn)M作于點(diǎn)E，∵平面平面，平面，即為四棱錐的高，又底面面積為定值.所以當(dāng)M為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積最大.作于F，連接，，與所成的角即與所成的角.在直角中，，，所以.，故與所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直，體積的最值，異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由二倍角公式得，求得則角可求；（2），得，由正弦定理得，再結(jié)合余弦定理得則面積可求【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋?，由正弦定理得所以，由余弦定理，，所?所以.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由頻率分布直方圖計(jì)算可得月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；(2)分別計(jì)算小長方形的面積值，利用中位數(shù)的特點(diǎn)即可確定中位數(shù)的值；(3)首先確定10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)，然后結(jié)合分層抽樣的特點(diǎn)可得應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】（1）居民月收入在[3000,3500]內(nèi)的頻率為（2）因?yàn)椋?，，，所以樣本?shù)據(jù)的中位數(shù)為.（3）居民月收入在[2500,3000]內(nèi)的頻率為，所以這10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)為.從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人，則應(yīng)從月收入在[2500,3000]內(nèi)的居民中抽取(人).【點(diǎn)睛】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.20、（1）（2）【解析】

（1）利用三角公式化簡得到答案.（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.【詳解】（1）原式（2），時(shí)等號成立.周長的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，周長的最大值，意在考查學(xué)生解決問題的能力.21、長和寬均為4m時(shí)，最小值為64【解析】

利用體積求得ab=16，只需表示出表面積，結(jié)合高為2