2005數(shù)一真題、答案及解析

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2x

微分方程xy2yxlnx滿足y(1)1的解為 9設(shè)函數(shù)ux,yz)

x2y2z 6

18，單位向量n

3x2yR2x2y設(shè)是由錐面z 與半球面z 圍成的空間區(qū)域，3x2yR2x2y設(shè)1,2,33A(1,2,3)，B(123,12243,13293)如果A1，那么B ,,P{Y2} .n1xn1x 恰有兩個不可導(dǎo)點

f(x)在(,)恰有一個不可導(dǎo)點 F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù) x設(shè)函數(shù)uxy(xy(xyxy(t)dt,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，x

y2

y

第-1-頁共17頁可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z) 設(shè)12是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(1210 20 (C)10 (D)20 An（n2）A12B,A*B*A,B的伴交換A*的第1列與第2列得B* (B)交換A*的第1行與第2行得B* 交換A*的第1列與第2列得B* (D)交換A*的第1行與第2行得B* 設(shè)二維

已知隨 {X0}與{XY1}相互獨立， a=0.2,a=0.4, a=0.3,a=0.1,[]則nX~N nS2~2 (n1)X~t(n

(n1)X1~F(1,n Xi三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（15（Dxyx2y2D重積分xy[1x2y2D（16（

2,x0y0}，[1x2y2表示不超過1x2y2的最大整數(shù).第-2-頁共17頁求冪級數(shù)n

n1(1 n(2n（17（Cy=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線l1與l2C在點(0,0)與(3,2)的切線，其交點為(2,4).f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分3x2xf0（18（.（I）存在0,1),f(1（II）存在兩個不同的點,0,1)f(f(（19（

(y)dx2xydy2x2y4

(y)dx2xydy02x2y求函數(shù)(y)的表達式（20（f(xxx)(1a)x21a)x22x22(1a)xx a

1f(x1x2x3=0的解（21（

已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零矩陣B 6（k為常數(shù)且AB=O, 3 k（22（設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度 f(x,y)1,0x1,0y 第-3-頁共17頁（II）Z2XYfZ（23（設(shè)X1X2,Xn(n2)為來自總體N(0,1)XYiXiX,i1,2,,（II）Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1Yn第-4-頁共17頁2005年考研數(shù)學(xué)一解.y

x2x

y1x1 【分析】本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程進行計算即可【詳解】因為a=limf(x) x

1 x2x2 blimf(x)ax 1 x2(2x 于是所求斜漸近線方程為y x xy2yxlnxy(11y1xlnx1 【分析】直接套用一階線性微分方程yP(x)yQ(x)的通 yePx)dx[Qx)ePx)dxdxC]，y2ylnx1x1 y

2

lnx

2xdxC]

x2[

2lnxdx2y(1)

=1xlnx1xC1 x xlnx 9設(shè)函數(shù)ux,yz)

33x2y2z 6

18，單位向量n

3【分析u(x,y,z)沿單位向量ncos,coscos}3uucosucosu 【詳解

第-5-頁共17頁13=1 1 11 1333 33x2yR2x2y設(shè)是由錐面z 與半球面z 圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，則xdydzx2yR2x2y 【分析】本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐【詳解】xdydzydzdxzdxdy =3R2d4sindd2(1

2)R3 設(shè)1,2,33A(1,2,3)，B(123,12243,13293)如果A1，那么B 【詳解】由題設(shè)，有B(123,12243,132931=(1,2,3

3 1

BA

3129,,P{Y2} 【詳解】P{Y2}P{X1}P{Y2X1}P{X2}P{Y2X+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X第-6-頁共17頁=1(0111)13 n1xn1xf(x)

f(x)在(,) 恰有一個不可導(dǎo)點 恰有兩個不可導(dǎo)點 [ 【分析】先求出f(x)的表達式，再討論其可導(dǎo)情形【詳解】x1f(xx1f(x)

1n1n1xn1x1f(xlimx3

x

1)n

xx3

xf(x)

x3

1xx

F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù) A【詳解F(x)xf(t)dtCF(x)0當F(x)為偶函數(shù)時F(x)F(x)F(x1)F(x)

ff(x)fx)xf(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則0f(t)dt為偶函數(shù)，從而xxF(x)0f(t)dtC為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項方法二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、 令f(x)=x,則取F(x)=1x2,排除(D);故應(yīng)選2x設(shè)函數(shù)uxy(xy(xyxy(t)dt,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，x

y2

y

第-7-頁共17頁 【分析】先分別求出x2y2xy，再比較答案即可【詳解】因為u(xy(xyxy(xyu(xy)(xy)(xy)(xy)于 (xy)(xy)(xy)(xy)，

(xy)(xy)(xy)(xy) (xy)(xy)(xy)(xy)y2u

y2，應(yīng)選xyzlnyexz1，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) 【分析】本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=xyzlnyexz1,Fz,Fx,Fy，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù)且

【詳解F(x,y,zxyzlnyexz1,Fyexzz，F(xiàn)xz，F(xiàn)lnyexzx .).設(shè)12是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(12)10 20 (C)10 (D)20 第-8-頁共17頁 k11k2A(12)0，k11k211k2220，由于1,2線性無關(guān)，于是有k1k21

(k1k21)1k2220 k22線性無關(guān)，則必然有20(,否則，1A(12)11線性相關(guān))，故應(yīng)選 10方法二：由于[1,A(12)][1,1122][1,2 0 21可見1A(12)線性無關(guān)的充要條件是

20.故應(yīng)選2An（n2）A12B,A*B*A,B的伴交換A*的第1列與第2列得B* (B)交換A*的第1行與第2行得B*交換A*的第1列與第2列得B*.(D)交換A*的第1行與第2行得B*. E12AB于是B*(E12A)*A*E A* E121A*E，

B*,可見應(yīng)選設(shè)二維

已知隨 {X0}與{XY1}相互獨立， a=0.2,a=0.4, a=0.3,a=0.1,[B]第-9-頁共17頁a,b的取值【詳解】由題設(shè)， 又{X0}與{XY1}相互獨立，于是P{X0,XY1}P{X0}P{XY1} a=(0.4a)(ab) 由此可解得a=0.4,b=0.1,故應(yīng)選則nX~N nS2~2(n1)X~t(n

(n1)X1~F(1,n Xinn1n1n

X0 X nSnSnS

(n1)S~t(n，~t(n

(n1)S2~2(n

，不能斷定(B)是正選項因為X2~2(1

X2~2(n1)，且X2~2(1) X2~2(n1)相互獨立，于n

X (n1)X 1~F(1,n

故應(yīng)選n

三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（15（Dxyx2y2D重積分xy[1x2y2D

2,x0y0}，[1x2y2表示不超過1x2y2的最大整數(shù).【詳解 令D1{(x,y)0x2y21,x0,y第-10-頁共17頁D2{(x,y)1x2y2 2,x0,y則xy[1x2y2dxdyxydxdy2 2sincosdr3dr22sincosd r =137 （16（求冪級數(shù)n

n1(1 n(2n.【詳解】因為lim(n1)(2n1)1 n(2n (n1)(2n S(x)2n(2n ,x S(x)S(x)

(1)n1x2n1,x(1,1)2n1(1)n1x2n2 ,x(1,1).1由 S(0)0,S(0)所 S(x)

xS(t)dt 01

dtarctanS(x)xS(t)dtxarctantdtxarctanx1ln(1x2

2,x

1從 f(x)2S(x)12xarctanxln(1x2)

,x1

(（17（Cy=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線l1與l2C在點(0,0)與(3,2)第-11-頁共17頁的切線，其交點為(2,4).f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分3x2xf0 f(0)2; f(3)2,f(3) 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f( 33f(x)(2x =3(2x1)df(x)(2x1)f0=162[f(3)f(0)]

323f （18（.（I）存在0,1),f(1（II）存在兩個不同的點,0,1)f(f(【詳解（I）F(xfx1xF(x)在[0，1]上連續(xù)F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在0,1),F(0f(1.（II）在[0,]和[,1]上對f(x)分別應(yīng)用日中值定理，知存在兩個不同的點(0,),(,1)f(f(f(0)f(f(1)f( 1于 f()f()f()1f()1

（19（

1 1

(y)dx

2x2y

(y)dx2xydy02x2y求函數(shù)(y)的表達式第-12-頁共17頁 利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而（II）中求(y)的表達式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可YC YC (y)dx2xydy (y)dx2xydy (y)dx2xydy0 2x2y

2x

y l

2x

y 2設(shè)P( ,Q

2x2 2x2曲線積分(y)dx2xydyx0時，總有QP 2x2 2y(2x2y4) 4x2y2 (2x2y4 (2x2y4 (y)(2x2y4)4(y) . (2x2y4 (2x2y4 (y)y4(y)y2y.由③得yy2c，將y代入④得2y54cy32y5所以c0，從而y（20（f(xxx)(1a)x21a)x22x22(1a)xx a

1f(x1x2x3=0的解 【分析（I）根據(jù)二次型的秩2，可知對應(yīng)矩陣的行列0，從而可a的值；（II）是常規(guī)問題，（III）利用第二步的結(jié)果，通過標第-13-頁共17頁PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 【詳解（I）A1

11

0 1

1

A10

10

002（II）這里A

，可求出其特征值為 2,0 0

解(2EAx0，得特征向量為：11,20 1 解(0EAx0，得特征向量為：30 由于1,2已經(jīng)正交，直接將1,23單位化，得110,312120令Q1 3，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標準形f(x,x,x)=2y22y2 f(xxx2y22y20y0,y0,yk（k為任意常數(shù)

c從而所求解為：x=Qy= 0kc，其中c為任意常數(shù) 3 （21（

已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零矩陣B

36（k為常數(shù)且AB=O, k,第-14-頁共17頁)（1）k9,r(B)=2,r(A1,r(A1,r(A)=1.Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2,矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=01 3 xk12k26k1k2為任意常數(shù) k (2)k=9r(B)=1,從而1rA133若r(A)=1,則Ax=0ax1bx2cx30a0b c a a xk11k20k1k2為任意常數(shù)01 01