指數(shù)分布的例子

指數(shù)分布的例子什么是指數(shù)分布

指數(shù)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量的連續(xù)型概率分布的一種，它主要應(yīng)用在隨機(jī)事件之間發(fā)生的時(shí)間間隔的概率問題。前面講述的泊松分布是描述某一區(qū)間內(nèi)發(fā)生隨機(jī)事件次數(shù)的概率分布，而指數(shù)分布是描述兩次隨機(jī)事件發(fā)生時(shí)間間隔的概率分布。

指數(shù)分布解決的是事件的時(shí)間間隔的概率問題。我們?nèi)ゲ蛷d吃飯時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到排隊(duì)取號(hào)等待用餐的問題，“前面還有多少桌呢？”、“我們還要等多長時(shí)間呢？”。其實(shí)這里就隱藏著指數(shù)分布問題：每桌客人用餐的間隔時(shí)間有多長。這個(gè)問題直接影響了顧客排隊(duì)等候的時(shí)間。除此之外，以下常見的情況也屬于指數(shù)分布的問題：

嬰兒出生的時(shí)間間隔

來電的時(shí)間間隔

奶粉銷售的時(shí)間間隔

網(wǎng)站訪問的時(shí)間間隔

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)如下：

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)

其中，x是給定的時(shí)間；λ為單位時(shí)間事件發(fā)生的次數(shù)；e＝2.71828。

指數(shù)分布概率密度曲線如下圖：

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)具有以下特征：

隨機(jī)變量X的取值范圍是從0到無窮；

極大值在x＝0處，即f(x)＝λ；

函數(shù)為右偏，且隨著x的增大，曲線穩(wěn)步遞減；

隨機(jī)變量的期望值和方差為μ＝1/λ，σ2＝1/λ2。

指數(shù)分布求概率

指數(shù)分布求概率的計(jì)算公式如下：

指數(shù)分布求概率

例子：某冰箱生產(chǎn)廠的冰箱平均10年出現(xiàn)大的故障，且故障發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布，求：

（1）該冰箱使用15年后還沒有出現(xiàn)大故障的比例；

（2）如果廠家想提供大故障免費(fèi)維修的質(zhì)量擔(dān)保，但不能超過全部產(chǎn)量的20%，試確定提供擔(dān)保的年數(shù)。

解：

（1）設(shè)X為冰箱出現(xiàn)大故障的時(shí)間。已知μ＝10年，則λ＝1/μ＝0.1，于是，

則15年后，沒有出現(xiàn)大故障的冰箱約占22.3%。

（2）問題要求比例不超過20%，這是求X的右側(cè)概率面積，現(xiàn)在根據(jù)公式確定適當(dāng)?shù)腦值。

從表中可以看到：擔(dān)保2年時(shí)，出現(xiàn)大故障的比例是18.1%，不超過20%。擔(dān)保3年時(shí)，出現(xiàn)大故障的比例為25.9%，已經(jīng)超過20%。所以，廠家應(yīng)以2年為擔(dān)保期。在概率理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，指數(shù)分布（也稱為負(fù)指數(shù)分布）是描述泊松過程中的事件之間的時(shí)間的概率分布，即事件以恒定平均速率連續(xù)且獨(dú)立地發(fā)生的過程。這是伽馬分布的一個(gè)特殊情況。它是幾何分布的連續(xù)模擬，它具有無記憶的關(guān)鍵性質(zhì)。除了用于分析泊松過程外，還可以在其他各種環(huán)境中找到。指數(shù)分布與分布指數(shù)族的分類不同，后者是包含指數(shù)分布作為其成員之一的大類概率分布，也包括正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，伽馬分布，泊松分布等等。指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特征是無記憶性（MemorylessProperty，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布，當(dāng)s,t>0時(shí)有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時(shí)，它總共使用至少s+t小時(shí)的條件概率，與從開始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等。在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，指數(shù)分布（Exponentialdistribution）是一種連續(xù)概率分布。指數(shù)分布可以用來表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場的時(shí)間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時(shí)間間隔等等。許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況，產(chǎn)品的失效是偶然失效時(shí)，其壽命服從指數(shù)分布。指數(shù)分布可以看作當(dāng)威布爾分布中的形狀系數(shù)等于1的特殊分布，指數(shù)分布的失效率是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)，所以分布函數(shù)簡單。在電子元器件的可靠性研究中，通常用于描述對(duì)發(fā)生的缺陷數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的測量結(jié)果。這種分布表現(xiàn)為均值越小，分布偏斜的越厲害。指數(shù)分布應(yīng)用廣泛，在日本的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和美國軍用標(biāo)準(zhǔn)中，半導(dǎo)體器件的抽驗(yàn)方案都是采用指數(shù)分布。此外，指數(shù)分布還用來描述大型復(fù)雜系統(tǒng)（如計(jì)算機(jī)）的平均故障間隔時(shí)間MTBF的失效分布。但是，由于指數(shù)分布具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機(jī)械可靠性研究中的應(yīng)用，所謂缺乏“記憶”，是指某種產(chǎn)品或零件經(jīng)過一段時(shí)間t0的工作后,仍然如同新的產(chǎn)品一樣,不影響以后的工作壽命值，或者說，經(jīng)過一段時(shí)間t0的工作之后，該產(chǎn)品的壽命分布與原來還未工作時(shí)的壽命分布相同，顯然，指數(shù)分布的這種特性，與機(jī)械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實(shí)際情況是完全矛盾的，它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過程。所以，指數(shù)分布不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布形式。指數(shù)分布雖然不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布規(guī)律，但是，它可以近似地作為高可靠性的復(fù)雜部件、機(jī)器或系統(tǒng)的失