河北省安平縣安平中學2023年數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等比數(shù)列中，，，則（）A． B．C． D．2．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；133．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足，則的最大值是（）A．1 B． C． D．4．已知，其中，則（）A． B． C． D．5．對于一個給定的數(shù)列，定義：若，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分數(shù)列；若，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分數(shù)列．若數(shù)列的二階差分數(shù)列的所有項都等于，且，則（）A．2018 B．1009 C．1000 D．5006．如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．7．在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，成等差數(shù)列，，則的周長的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．4 B．5 C．9 D．109．已知，則下列4個角中與角終邊相同的是（）A． B． C． D．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則等于()A．1 B．2 C． D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．觀察下列等式：（1）；（2）；（3）；（4），……請你根據(jù)給定等式的共同特征，并接著寫出一個具有這個共同特征的等式（要求與已知等式不重復），這個等式可以是__________________.（答案不唯一）12．平面⊥平面,,，，直線，則直線與的位置關(guān)系是___．13．用數(shù)學歸納法證明不等式“（且）”的過程中，第一步：當時，不等式左邊應(yīng)等于__________。14．給出下列四個命題：①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對任意的實數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號）15．若實數(shù)滿足，則取值范圍是____________。16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐P～ABCD中，底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．（1）求證：EF∥平面PCD；（2）設(shè)G為AB中點，求證：平面EFG⊥平面PCD．18．已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.19．如圖，漁船甲位于島嶼的南偏西方向的處，且與島嶼相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．（1）求漁船甲的速度；（2）求的值．20．已知為等差數(shù)列，且，．求的通項公式；若等比數(shù)列滿足，，求的前n項和公式．21．已知函數(shù)當時,求函數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的定義知與同號，再利用等比中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.由等比中項的性質(zhì)可得，因此，，故選：B.【點睛】本題考查等比中項性質(zhì)的應(yīng)用，同時也要利用等比數(shù)列的定義判斷出項的符號，考查運算求解能力，屬于中等題.2、D【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與中位數(shù)的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點的橫坐標為數(shù)據(jù)的眾數(shù)，所以中間一個矩形最該，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標，第一個矩形的面積為，第二個矩形的面積為，故將第二個矩形分成即可，所以中位數(shù)是，故選D.點睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對應(yīng)的概率，且各個小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.3、D【解析】由圖象性質(zhì)可知，，解得，故選D。4、D【解析】

先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再根據(jù)二倍角正切公式得結(jié)果.【詳解】因為，且，所以，因為，所以，因此，從而，，選D.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)題目給出的定義，分析出其數(shù)列的特點為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求解.【詳解】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項為，則，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．選C.【點睛】本題考查新定義數(shù)列和等差數(shù)列，屬于難度題.6、C【解析】

以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個半球，利用球面的表面積公式及圓的表面積公式即可求得．【詳解】由已知可得：以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個半球，其中半球的半徑為1，故半球的表面積為：故答案為：C【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的概念，以及球的表面積的計算，其中解答中熟記旋轉(zhuǎn)體的定義，以及球的表面積公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

依題意求出，由正弦定理可得，再根據(jù)角的范圍，可求出的范圍，即可求得的周長的取值范圍．【詳解】依題可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周長的取值范圍為．故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的值域求法的應(yīng)用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學運算能力，屬于中檔題．8、C【解析】由，得，則，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選C.9、C【解析】

先寫出與角終邊相同的角的集合，再給k取值得解.【詳解】由題得與角終邊相同的集合為,當k=6時，.所以與角終邊相同的角為.故選C【點睛】本題主要考查終邊相同的角的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.10、D【解析】

直接利用正弦定理得到，帶入化簡得到答案.【詳解】正弦定理：即：故選D【點睛】本題考查了正弦定理，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

觀察式子特點可知，分子上兩余弦的角的和是，分母上兩個正弦的角的和是，據(jù)此規(guī)律即可寫出式子【詳解】觀察式子規(guī)律可總結(jié)出一般規(guī)律：，可賦值，得故答案為：【點睛】本題考查歸納推理能力，能找出余角關(guān)系和補角關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】

利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，又直線，利用線面垂直性質(zhì)定理得.【詳解】在長方體中，設(shè)平面為平面，平面為平面，直線為直線，由于，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，因為，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得.【點睛】空間中點、線、面的位置關(guān)系問題，一般是利用線面平行或垂直的判定定理或性質(zhì)定理進行求解.13、【解析】

用數(shù)學歸納法證明不等式（且），第一步，即時，分母從3到6，列出式子，得到答案.【詳解】用數(shù)學歸納法證明不等式（且），第一步，時，左邊式子中每項的分母從3開始增大至6，所以應(yīng)是.即為答案.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法的基本步驟，屬于簡單題.14、②③④【解析】

①利用反例證明命題錯誤；②先判斷為其中一條對稱軸；③通過恒等變換化成；④對兩個解析式進行變形，得到定義域和對應(yīng)關(guān)系均一樣.【詳解】對①，當，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯；對②，當時，，所以為的一條對稱軸，當取，取時，顯然兩個數(shù)關(guān)于直線對稱，所以，即成立，故②對；對③，，，故③對；對④，因為，，兩個函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對.綜上所述，故填：②③④.【點睛】本題對三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、周期性等知識進行綜合考查，求解過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15、；【解析】

利用三角換元，設(shè)，；利用輔助角公式將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域求得結(jié)果.【詳解】可設(shè)，，本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用三角換元法求解取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問題.16、【解析】

取半正多面體的截面正八邊形，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，考查了空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）通過證明，證得平面，由此證得平面，從而證得平面平面.【詳解】（1）證明：取PC的中點H，連接FH則FH∥BC，F(xiàn)H，又ED∥BC，ED，∴ED∥FH，ED＝FH，∴四邊形EFHD為平行四邊形，∴EF∥DH，又DH?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD；（2）證明：∵PE⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥AP（三垂線定理），又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，又∵GF∥AP，∴GF⊥平面PCD，∴平面EFG⊥平面PCD．【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】

（1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，利用正弦函數(shù)的周期性可求最小正周期.

（2）通過，求得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最值.【詳解】解答：解：（1）由已知，有

，

所以的最小正周期；

（2），當，即時，取最大值，且最大值為；當，即時，取最小值，且最小值為.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）14海里/小時；（2）.【解析】

（1）,∴∴,∴V甲海里/小時；（2）在中，由正弦定理得∴∴.點評：主要是考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首項與公差，則的通項公式可求；求出，進一步得到公比，再由等比數(shù)列的前n項和公式求解．【詳解】為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由已知可得，解得，．；由，，等比數(shù)列的公比，的前n項和公式．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等比數(shù)列的前n項和，是中