《概率論》試卷答案

2011-2012學(xué)年第1學(xué)期考試類(lèi)型：(閉卷)考試學(xué)號(hào)姓名.華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷(A2011-2012學(xué)年第1學(xué)期考試類(lèi)型：(閉卷)考試學(xué)號(hào)姓名.考試科目： 概率論考試時(shí)間：120分鐘—年級(jí)專(zhuān)業(yè) 題號(hào)二三總分得分評(píng)閱人一、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)得分^1、一位運(yùn)動(dòng)員投籃四次，已知四次中至少投中一次的概率為0.9984，則該運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為 0.8 .2、若事件AB,C相互獨(dú)立，且P(2)=0.25,P(B)=0.5,P(C)=0.4，，則P(2BC);0.775.0,

0.4,

0.8,

1,x<—10,

0.4,

0.8,

1,3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=<—1"x<1，則I3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=<1<x<3 ——x>34、袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球.今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個(gè)人取到黃球的概率是 0.4 .5、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1,則參數(shù)X=1.6、若隨機(jī)變量匕在[0,5]上服從均勻分布，則方程X2+匕X+1=0有實(shí)根的概率為_(kāi)3/5___.7、已知P(B)=0.5,P(2\B)=0.3,貝|P(AB)=0.2.8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=《3x2 ,0<x<28，則E3/40,其他得分(A)若A,B相容，(B)若A,B獨(dú)立，(C)若A,B對(duì)立，(D)若得分(A)若A,B相容，(B)若A,B獨(dú)立，(C)若A,B對(duì)立，(D)若A,B對(duì)立，則A,B獨(dú)立2、下列函數(shù)可以作為某隨機(jī)變量的密度函數(shù)的為：((A)sinx,xg[0,兀][0,其他(B)f(x)=歸e0,

0,x>0(0>0)(C)(x-|L)2-2o2(D)f(x)JJIxl<2二、選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1、對(duì)于事件A,B，不正確的命題是(D)[0,0,[0,3、設(shè)隨機(jī)變量XN(口,。2),則隨著o的增大，概率P(IX-從Ko)(C)(B)單調(diào)減少(D)(B)單調(diào)減少(D)增減不定(C)保持不變4、已知P(X=k)=c-1空,(k=1,2,)為隨機(jī)變量X的概率分布列，其中九＞0為k!常數(shù)，則c=(D).(A)常數(shù)，則c=(D).(A)e-x(B)e九e，一1ex-15、已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=《Qx<0x3,0<x<1，貝uE(X)=(A)1,x>1J13x3dx

0(C)J13x2dx

0J1x4dx+，xdx01(D)卜sx4dx0得分三、解答題(本大題共6小題，共61分)1、測(cè)量某一目標(biāo)的距離，測(cè)量誤差X(cm)服從正態(tài)分布N(50,1002),求：(1)測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過(guò)150cm的概率；(5分)(2)測(cè)得的距離不少于真實(shí)距離的概率.(5分)(已知①(0.5)=0.6915；①(1)=0.8412；①(2)=0.9772)解：(1)由題設(shè)可得：P{|X|<150}=P{-150<X<150}=①(1500050)-①(-110~50)5分=①(1)+①(2)-1=0.8412+0.9772-5分=0.8184(2)由題設(shè)可得：P{X>0}=1-P{X<0}=1-①(-麗)=①(0.5)=0.6915.…5分2、已知玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率分別為0.8、0.1、0.1.一顧客欲購(gòu)一箱玻璃杯，在購(gòu)買(mǎi)時(shí)，售貨員隨意取一箱，顧客開(kāi)箱隨機(jī)地察看四只，若無(wú)殘次品，則買(mǎi)下該箱玻璃杯，否則退回.求：(1)顧客買(mǎi)下該箱的概率a？(2)在顧客買(mǎi)下一箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率P？(10分)解：設(shè)B={顧客買(mǎi)下該箱玻璃杯}，A、A、A分別表示該箱中含有0、1、2件012TOC\o"1-5"\h\z殘次品，則由題可知 1分P(A)=0.8;P(A)=0.1,P(A)=0.1.012C4 C4 4 C4 12P(BIA0)=-^=1;P(BIA)=^^=5;P(BIA0)=^^二7. 4分20 20 20由全概率公式有7分a=P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)7分4 12 448=0.8義1+0.1x-+0.1*一二——六0.94.5 19 475由貝葉斯公式有P(A)P(A)P(BIA)

0 0—P(B)0.80.94=0.85.10分3、設(shè)隨機(jī)變量3、設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求Y=X2的概率密度函數(shù)f(y).(10分)Y1 X2解：XN(0,1),p(x)= e2,-8<x<8.Y的分布函數(shù)為3分3分f(y)=P(Y<y)=P(X2<y)Y

5分7分9分當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)(y)=P(Y<y)=0，從而f(y5分7分9分當(dāng)y>0時(shí)，尸丫(y)=P(X2<y)=口一6<X<萬(wàn)｝=P(X：y)-P(X<-x:y)=中葭；y)-中(-,；;y).從而f(y)=F'(y)=①'(Jy)-①'(-、亍)=叭6)-1=-叭ry)^1=YY 2t；y々y=21y[%，7H3-仃)]=&e-y.所以10分4、設(shè)一只昆蟲(chóng)所生的蟲(chóng)卵數(shù)X服從參數(shù)為九的泊松分布，而每個(gè)蟲(chóng)卵發(fā)育為幼蟲(chóng)的概率為p，且各個(gè)蟲(chóng)卵是否發(fā)育為幼蟲(chóng)相互獨(dú)立，試求一只昆蟲(chóng)所生的幼蟲(chóng)數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差.（6分）解：由題可知九ne-1P(X=n)=——--,n=0,1,2,

n!P(Y=kIX=n)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,,n.……1分

n ?…由全概率公式，得???P(Y=k)=￡P(guān)(X=n)P(Y=kIX=n). 2 分n=0因?yàn)楫?dāng)n<k時(shí)，P(X=n)P(Y=kIX=n)=0,所以圖圖1 圖2P(Y=k)=￡P(guān)(X=n)P(Y=kIP(Y=k)=￡P(guān)(X=n)P(Y=kIX=n)n=kExne-入n!r、一 pk(1——p)n—kn!k!(n-k)!n=k_(九p)ke-X￡[九(1-p)]n-kk!’_(九p)ke-1(n-k)!n=ke入（i-p）k!=竺二,k=0,1,2,k!即，一只昆蟲(chóng)所生的幼蟲(chóng)數(shù)Y服從參數(shù)為Xp的泊松分布，故???E(Y)=Xp,D(Y)=Xp 6 分5、設(shè)X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為%>0,y>0,

其它.求：（1）常數(shù)A；（2分）⑵分布函數(shù)F（%,y）；（3分）⑶P{X<Y}；(5分)（4）判斷X與Y是否獨(dú)立.（5分）解(1)由1=bd%Jf(%,y)dy=卜d%JAe-(%+2y)dyTOC\o"1-5"\h\z-% -% 0 0=Af+%e-%d%卜%e-2ydy=A.

0 0 2得A=2 ⑵F(%,y)=J%d%Jyf(%,y)dy-% -%2J%e-%d%Jye-2ydy,%>0,y>0,=< 0 0^ 0, 其它.(1-e-%)(1-e-2y),%>0,y>0,=< .0, 其它?

(3)如圖1所示，G={(x,y)10<x<y}，故P{X<Y}=P{(X,Y)eG}=Uf(x,y)dxdyG二八dy卜2e-xe-2ydx」g2e-2y(1-e-y)dy10分Jg2e-2ydy」g2e-3yd10分0 0_1_2_1—1— .33(4)X與Y的邊沿密度分別為卜2e-(x+2y)dy,x>0_e-x, x>000,x<00，x<0J+g2e-(x+2y)dx,y>0—《2e-2y,y>000,y<0【0,y<0f(y)Jf(x，y)dx二Y-f(x)=，f(x，y)dy二X-g15分顯然,f(x,丁x )fY(y)成立，故-藝X表示15分-藝X表示1500個(gè)數(shù)相加,所得到誤差總和,則EX—0,DX—竺吵—125,i 12i—1根據(jù)中心極限定理，X/<125近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 3分(1)P[X|>15}-1-P{-15<X<15}x2-2①[-41=]—2(1-0.9099)—0.1802. 5分6、計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，設(shè)所有舍入誤差相互獨(dú)立且在(-0.5,0.5)上服從均勻分布，問(wèn):(1)將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少？(5分)⑵最多可有幾個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90?(5分)(已知①(芷)—0.9099,①(1.645)—0.95)^5解：假設(shè)X表示每i次計(jì)算時(shí),所得到的誤差，則iX?U(-0.5,0.5),i—1,