7-4 幾何法求空間角（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.4幾何法求空間角（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一線線角【例1】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，E，G分別為，的中點(diǎn)，則直線，CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，易知，則∠ECF（或其補(bǔ)角）為直線與CE所成角．不妨設(shè)，則，，，由余弦定理得，即直線與CE所成角的余弦值為．故選：C．【一隅三反】1．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接，，，，由正方體的性質(zhì)可知且，所以為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成的角的平面角為，又，則，，則，所以，故選：C．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的圓錐中，底面直徑為，母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PB的中點(diǎn)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)底面圓心為O，連接PO，OC，取PO的中點(diǎn)E，連接DE，CE，則，且，所以為AB與CD所成的角（或其補(bǔ)角）.由題意知，，所以，所以.由題意知，，，AB，平面POB，所以平面POB.又平面POC，所以平面平面POB，又平面平面，平面POB且，所以平面POC，因?yàn)槠矫鍼OC，所以.又，所以，所以.故選:B.3．（2022·黑龍江）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作的中點(diǎn)，連接，作的中點(diǎn)，連接、,即為異面直線AM與CN所成的角，由已知條件得，則,,由余弦定理得,在△中，有余弦定理可知,即,解得，故選：D.考點(diǎn)二線面角【例2-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，為側(cè)棱中點(diǎn)，則直線與底面所成角的正弦值為（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【解析】作底面與于，連接.因?yàn)檎睦忮F底面邊長(zhǎng)為2，故，又側(cè)棱長(zhǎng)為4，故.又為側(cè)棱中點(diǎn)，故到底面的距離為.又,由余弦定理有,故直線與底面所成角的正弦值為故選：D【例2-2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐，由，，，易知：，，由平面，平面，則，，所以，，故，所以，若到面的距離為h，又，則，可得，綜上，與平面所成角，則，即.故選：A【一隅三反】1．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝AB，E是BP的中點(diǎn)．(1)求證：EC∥平面APD；(2)求BP與平面ABCD所成角的正切值；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)如圖，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，故，所以四邊形是平行四邊形，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?2)取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫嬗冢云矫?，故是在平面?nèi)的投影.所以是與平面所成角.因?yàn)樗倪呅沃校?，所以四邊形是直角梯形，又，設(shè)，則，在中，易得，所以，，又因?yàn)?，所以是等腰直角三角形?所以，故在中，2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，平面ABCD，，M為PC的中點(diǎn).(1)求證：平面PAD；(2)設(shè)點(diǎn)N在平面PAD內(nèi)，且平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】(1)取PD的中點(diǎn)E，連接EM，AE，則且，而，，則，又，所以，，從而四邊形ABME是平行四邊形，故.因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD.(2)當(dāng)N為AE的中點(diǎn)時(shí)，面PBD，理由如下：（法一）面ABCD，面ABCD，，又，，平面PAD，所以面PAD，而面PAD，則，又，E是PD的中點(diǎn)，即，而，面ABME，所以面ABME，在面ABME中作交AE于點(diǎn)N，所以，又，面PBD，所以面PBD，易知：，而，，，即，而，N為AE的中點(diǎn)時(shí)，面PBD.作于G，則面，是BN與平面ABCD所成角，因?yàn)?，，，則.即直線BN與平面AD所成角的正弦值為.（法二）易得AP，AB，AD兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).設(shè)，則，，.因?yàn)槠矫鍼BD，故，可得.，又平面的法向量為，設(shè)BN與平面ABCD所成角為，則.即直線BN與平面ABCD所成角的正弦值為.3．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知三棱臺(tái)中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在上，，，，M，N分別為、的中點(diǎn)．(1)證明：直線平面；(2)若，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)證明：連接，因?yàn)?，分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，故直線平面.(2)由（1）知，只需要求直線與平面所成角的大小，過(guò)作交于，連，，所以，所以四點(diǎn)、、、共面，因?yàn)樵谌馀_(tái)中，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在上，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋移矫?，所以平面，即平面，在直角三角形中，，，所以，，在直角三角形中，，則，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，同樣可證平面，且，，所以，所以到平面的距離等于，故即為所求，在中，，故，即直線與平面所成角的大小為，從而直線與平面所成角的大小.考點(diǎn)三二面角【例3-1】（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）四面體中，，則二面角的平面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，如圖，則是二面角的平面角，設(shè)，則，在和中，由余弦定理，，所以，故選：C【例3-2】．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】(1)連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.(2)過(guò)點(diǎn)作，連接，與，分別交于點(diǎn)，點(diǎn).因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以，是平面與平面的交線.由是等邊三角形，是的重心，知點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn).平面，平面，所以，又，平面，，則平面，所以平面，又平面，于是，，為平面與平面所成二面角的平面角.由等邊三角形的邊長(zhǎng)為，可得，，，，，在中，由余弦定理，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.【一隅三反】1．（2022·廣東廣州·三模）如圖，在三棱錐中，平面平面平面.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】(1)作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，又平面，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，又平面，，則平面；(2)作于，作于，連接，由（1）知平面，平面，則，又面，，則面，又面，則，則即為二面角的平面角.又平面，則，不妨設(shè)，則，，又由（1）知平面，平面，則，則，平面，平面，則，則，，則，則，即二面角為.2．（2022·湖南）如圖，在三棱錐中，.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）∵，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面⊥平面．取的中點(diǎn)，連接，則，由（1）知平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面.所以.作，垂足為點(diǎn)，連接，因?yàn)?平面.所以平面.又平面則，則為二面角的平面角．設(shè)，則．由題意得，中，，∴二面角的平面角的正弦值為.3．（2022·江蘇·如皋市第一中學(xué)）已知矩形，E，F(xiàn)分別是線段中點(diǎn)，底面．(1)若棱上一點(diǎn)G滿足，求證：面；(2)若，求二面角的正切值．【答案】(1