正弦定理教案全

培養(yǎng)孩子良好為習慣1.1.1

正弦定理教學要求：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問.教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng).教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個.教學過程：一復(fù)引：在意三角形行中有大邊對大角，小邊對小的邊角關(guān)系？是否可以把邊、角關(guān)系準確量化？在

ABC

中，角A、、的正弦對邊分別是

a,b,c

，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？結(jié)論★：。二講新：探一在直角三角形中，你能發(fā)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？直角三角形中的正弦定理：=

ab=cc

abC=1即=.Asin探二能否推廣到斜三角形？（研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當是銳角三角形時，設(shè)邊

上高，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CDA則ab.AsinBC

aA

a.同，（思考如何作高？），而Asin探三你能用其他方法證明嗎？1．證一積）在任意斜ABC當

C

a11S=sinacBA.2

bA

Oc

D

B兩邊同除以即得：

=.sinsin2．證明二接圓法）如圖所示，A＝D，頁腳內(nèi)容

aaCDR，Asin

培養(yǎng)孩子良好為習慣同理

bc=2R，＝.BsinC3．證明三量法）過A作位向量j垂于AC，AC+CB=AB邊乘以單位向j得..正定：一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

cC

=2R[理解理1公的變形：(1)2sinA,bRsin,c2sin(2)A

ac,sinB,2R22R(3)a:b:csinA:sin:sin正定理的基本作用為：

(4)

abab,,BsinCsinB①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a

bsinAB

；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如A一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角.利正弦定理解三角形使經(jīng)用:

。①

B

②

sin(Asincos(A③

12

sin三教學題例已知中，c10,A45

0

,

0

,求a,和B.分析已知條件→討論如何利用邊角關(guān)系→示范格式→小結(jié)：已知兩角一邊解：A

0

,

0B180

0

)

0由

ac得sin

a

sinC0

0

2頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣由

sinB

得

c10bsinC

0

20sin

0

6評述此問題結(jié)果為唯一解學較易掌握，如果已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內(nèi)角和°出第三角，再利用正弦定.例ABC中6,45,a2,求和,解：

asinAsinAsinCa

64532200或20當C0時，75b

sinB

67560

0

，當C

0

B6時，B0b600

0

3b300或bB,練習：P4——1.2題

例3,60

,cAC解：∵

ccsinB60sinBCb

,B

0

CC為銳角

0

,

0∴ab2【變式】

A,B四、小結(jié)：五、課作業(yè)1

在△ABC中，

ack,則k為(2A)sinsinBsinCA2R

BR

C4R

D

12

(為△外接圓半徑)頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣2

在

中，已知角

B，

433

，則角的值是A.

15

D.75或

15

3在△中,若A3060::c

:3:24、在中若

76,

，則

。5在△中，6,角形ABC的面積為5、在

ABC

中，已知

3,2,

，解三角形。六、心反思1.1.1正弦定理學案學目：①發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及其證明方法；②會用正弦定理解決三角形中的簡單問題。預(yù)自正定理的數(shù)學表達式一地把角的三個角A,B,C和它們的對邊

叫做三角形的元已三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做3．利用正弦定理可以解決兩類三角形的問題(1)頁腳內(nèi)容

.

00培養(yǎng)孩子良好為習慣00(2)問引：1、在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)是否可以把邊、角關(guān)系準確量化？2、在

ABC

中，角AB、的正弦對邊分別是

a,b,c

，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？結(jié)論★：。二合探：1、探一在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？2、探二能否推廣到斜三角形？（研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）3、探三你能用其他方法證明嗎？4、正弦定理的變形：5、正弦定理的應(yīng)用（能解決哪類問題三題解例已知中，c10,A45C,和頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣例ABC中6,45

,a2,求和BC例3,60

,cAC【變式ABC中，aA135,b3,求B思：過上面的問題，你對使用正弦定理有什么想法？四課練：修5課P4T1、五課作：1

在△ABC中，

ack,則k為()sinsinBsinCA2R

BR

C4R

1DR(為△外接圓半徑)22△中，sinA=sin+sin2C，則△為()A直角三角形

B等腰直角三角形

C等邊三角形

D腰三角形3在ABC中已知角B45

，c2,

433

，則角的值是A.

15

B.

75

105

75

或

15

4、在ABC中若5、在ABC中已知a

76,3,2,

，則，解三角形。

。頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣六心反．12解三形的進一討論教目掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時兩解或一解或無解等情形角形各種類型的判定方法。教重在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法。教過Ⅰ課導(dǎo)[創(chuàng)設(shè)景思考：在中已知a

cm

，b

，

0

，解三角形。（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時某條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。Ⅱ講新[探索究探一在中已知aA

，討論三角形解的情況分析：先由s

A

可進一步求出B；則C

0

，從而

c

aCsin1．當A為鈍角或直角時，必須a才有且只有一解；否則無解。2．當A為銳角時，如果a

≥

，那么只有一解；如a

，那么可以分下面三種情況來討論：（）sinA，有兩解；（）（）

bb

sinsin

AA

，則只有一解；，則無解。頁腳內(nèi)容

0培養(yǎng)孩子良好為習慣0（以上解答過程詳見課本第10頁評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為角且

sin

時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。探二你畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三題解例1根下列條件，斷解三角形的情況(1)a＝，b＝28，＝°無(2)a，＝20，＝°一解(3)＝，＝，＝°一解(4)b＝，a＝20，＝30°；兩解[隨堂習1]（）中已知a，b

，，試斷此三角形的解的情況。（）中若a

，c

，，則符合題意的b的值有_____個。（）中a

xcm

，b

，，果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案有解0）22）例2.中已知

c,cosAcoscosC

判斷ABC的形狀．頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣解令

sinA

由弦定理得

asin

，

bsinB

，

csin

代已知條件，得

sinAsinB

，即

tanBC

．又A

，B

，

(0,

)

，所以

，從而

為正三角形．說判三角形的形特征入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？（）類題用正弦定理（或?qū)W習的余弦定理）進行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運，揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．[隨堂習2]△ABC中

sin

2Asin2

，則△ABC為（

）A.直三角形C.等邊三角形

B.等直角三角形等腰三角形已知滿條件a

，判斷的型。答案：是腰或直角三角形Ⅳ課小（）已知三形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（）角形各類型的判定方法；Ⅴ課作根下列條件，判斷解三角形的情況(1)、b1645(a12c120

(3)、,16

()、,

2

在ABC

中，a=b=1060°，則A－

2

B

223

C－

D

3已a,b,c分是的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊a=,b=,A+C=2B,則sinC=.頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣根條件解三角形：（1）cA45

,C

,求邊,.(2)30B求邊.()163,A30求和邊c(4)30

,解這三角形。（）b4020解個三角(6)c1，

，

，求a。六得思1.1.2

解三角形進一步討論案【習標掌已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論；三形各種形狀的判斷方法；【習難】已知三角形的兩邊及其中邊的對角時對解個數(shù)的討論三角形各種形狀頁腳內(nèi)容

培養(yǎng)孩子良好為習慣的判斷方法。一情問：我們在解三角形時可以會出現(xiàn)一些我們預(yù)想不到的結(jié)果，現(xiàn)在請大家思考下面問題：在

ABC

中，已知

a22cmcm133

，解三角形。二探研：探一在ABC中已知aA

，討論三角形解的情況結(jié)：探二你畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三題解例1根下列條件，斷解三角形的情況(1)a＝，b＝28，＝°無(2)a，＝20，＝°一解(3)＝，＝，＝°一解(4)b＝，a＝20，＝30°；兩解頁腳內(nèi)容

00[變式習1]（）中已知a

，b

培養(yǎng)孩子良好為習慣，，判斷此三角形的解的情況。（）中若a

，c

，

0

，則符合題意的b的值有_____個。（）中a

xcm

，b

，

，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。例2.

中已

c,cosAcoscosC

判斷

的形狀．[變式習2]△ABC中

sin

2Asin2

，則△ABC為（）A.直三角形C.等邊三角形

B.等直角三角形等腰三角形已知滿條件a

，判斷的型。四.嘗試結(jié)五課作根下列條件，判斷解三角形的情況、a14,A、12c15A120、8,,A、c20B頁腳內(nèi)容

62培養(yǎng)孩子良好為習慣622在

中，a=b