三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)練習(xí)題

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)練習(xí)題三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)練習(xí)題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象A組1.下列函數(shù)圖象相同的是()A.y=sinx與y=sin(x+π)B.y=cosx與y=sinQUOTE蟺2-x蟺C.y=sinx與y=sin(-x)D.y=-sin(2π+x)與y=sinx解析:由誘導(dǎo)公式易知y=sinQUOTE蟺2-x蟺2-x=cosx,答案:B2.y=1+sinx,x∈[0,2π]的圖象與直線y=2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:作出y=1+sinx在[0,2π]上的圖象,可知只有一個(gè)交點(diǎn).答案:B解析:由sinQUOTE蟺2-x蟺2-x≥-QUOTE1212,得cosx≥-QUOTE1212畫出y=cosx,x∈[0,2π],y=-QUOTE1212的圖象,如圖所示.∵cosQUOTE2蟺32蟺3=cosQUOTE4蟺34蟺3=-QUOTE1212,∴當(dāng)x∈[0,2π]時(shí),由cosx≥-QUOTE1212,可得x∈QUOTE.答案:C6.函數(shù)y=2sinx與函數(shù)y=x圖象的交點(diǎn)有個(gè).

解析:在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2sinx與y=x的圖象可見有3個(gè)交點(diǎn).答案:37.利用余弦曲線,寫出滿足cosx>0,x∈[0,2π]的x的區(qū)間是.

解析:畫出y=cosx,x∈[0,2π]上的圖象如圖所示.cosx>0的區(qū)間為QUOTE答案:QUOTE8.下列函數(shù)的圖象:①y=sinx-1;②y=|sinx|;③y=-cosx;④y=QUOTEcos2xcos2x;⑤y=QUOTE1-cos2x1-cos2x.其中與函數(shù)解析:y=sinx-1的圖象是將y=sinx的圖象向下平移1個(gè)單位,沒改變形狀,y=-cosx的圖象是作了對(duì)稱變換,沒改變形狀,與y=sinx的圖象形狀相同,∴①③完全相同.而②y=|sinx|的圖象,④y=QUOTEcos2xcos2x=|cosx|的圖象和⑤y=QUOTE1-cos2x1-cos2x=|答案:①③9.若函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形,求這個(gè)封閉圖形的面積.解:觀察圖可知:圖形S1與S2,S3與S4是兩個(gè)對(duì)稱圖形,有S1=S2,S3=S4,因此函數(shù)y=2cosx的圖象與直線y=2所圍成的圖形面積可以轉(zhuǎn)化為求矩形OABC的面積.因?yàn)閨OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封閉圖形的面積為4π.10.作出函數(shù)y=-sinx,x∈[-π,π]的簡圖,并回答下列問題.(1)觀察函數(shù)圖象,寫出滿足下列條件的x的區(qū)間:①y>0;②y<0.(2)直線y=QUOTE1212與函數(shù)y=-sinx,x∈[-π,π]的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)?解:列表:x-π-QUOTE0πsinx0-1010-sinx010-10描點(diǎn)作圖:(1)根據(jù)圖象可知,①當(dāng)y>0時(shí),x∈(-π,0);②當(dāng)y<0時(shí),x∈(0,π).(2)在簡圖上作出直線y=QUOTE1212,由圖可知有兩個(gè)交點(diǎn).B組1.函數(shù)f(x)=QUOTExx-cosx在[0,+∞)內(nèi)()A.沒有零點(diǎn) B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D.有無窮多個(gè)零點(diǎn)解析:數(shù)形結(jié)合法,令f(x)=QUOTExx-cosx=0,則QUOTExx=cosx.設(shè)函數(shù)y=QUOTExx和y=cosx,它們?cè)赱0,+∞)上的圖象如圖所示,顯然兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)有且只有一個(gè),所以函數(shù)f(x)=QUOTExx-cosx在[0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).答案:B2.已知f(x)=sinQUOTE,g(x)=cosQUOTEx-蟺2x-蟺2,則f(x)的圖象()A.與g(x)的圖象相同B.與g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.向左平移QUOTE個(gè)單位,得g(x)的圖象D.向右平移QUOTE個(gè)單位,得g(x)的圖象解析:∵f(x)=sinQUOTE=cosx,g(x)=cosQUOTEx-蟺2x-蟺2=sinx,∴f(x)的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位,得g(x)的圖象.由y=sinx和y=cosx的圖象知,A,B,C都錯(cuò),D正確.答案:D3.在(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE解析:如圖所示(陰影部分)時(shí)滿足sinx>cosx.答案:C4.在[0,2π]內(nèi),不等式sinx<-QUOTE3232的解集是.

解析:畫出y=sinx,x∈[0,2π]的草圖如下:因?yàn)閟inQUOTE,所以sinQUOTE=-QUOTE3232,sinQUOTE=-QUOTE3232.即在[0,2π]內(nèi),滿足sinx=-QUOTE3232的是x=QUOTE4蟺34蟺3或x=QUOTE5蟺35蟺3.可知不等式sinx<-QUOTE3232的解集是QUOTE4蟺3,5蟺34蟺3,5蟺3.答案:QUOTE4蟺3,5蟺5.(2016·河南南陽一中期末)函數(shù)y=QUOTEsinx+12-cosxsin解析:由題意,得QUOTE∴QUOTE∴2kπ+QUOTE≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函數(shù)y=QUOTEsinx+12-cosxsinx+12-cosx的定義域?yàn)镼UOTE,k∈Z答案:QUOTE,k∈Z6利用正弦曲線,寫出函數(shù)y=2sinxQUOTE的值域是.

解析:y=2sinx的部分圖象如圖.當(dāng)x=QUOTE時(shí),ymax=2,當(dāng)x=QUOTE時(shí),ymin=1,故y∈[1,2].答案:[1,2]7.畫出正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)的簡圖,并根據(jù)圖象寫出:(1)y≥QUOTE1212時(shí)x的集合;(2)-QUOTE1212≤y≤QUOTE3232時(shí)x的集合.解:(1)畫出y=sinx的圖象,如圖,直線y=QUOTE1212在[0,2π]上與正弦曲線交于QUOTE兩點(diǎn),在[0,2π]區(qū)間內(nèi),y≥QUOTE1212時(shí)x的集合為QUOTE.當(dāng)x∈R時(shí),若y≥QUOTE1212,則x的集合為QUOTE.(2)過QUOTE0,-12,0,320,-12,0,32兩點(diǎn)分別作x軸的平行線,從圖象可看出它們分別與正弦曲線交于點(diǎn)QUOTE(k∈Z),QUOTE11蟺6+2k蟺,-1211蟺6+2k蟺,-12(k∈Z)和點(diǎn)QUOTE蟺3+2k蟺,32蟺3+2k蟺,32(k∈Z),QUOTE(k∈Z),那么曲線上夾在對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合即為所求,故當(dāng)-QUOTE8.作出函數(shù)y=2+sinx,x∈[0,2π]的簡圖,并回答下列問題:(1)觀察函數(shù)圖象,寫出y的取值范圍;(2)若函數(shù)圖象與y=QUOTE1-a21-a2在x∈[0,π]上有兩個(gè)交點(diǎn),求解:列表:x0π2πsinx010-102+sinx23212描點(diǎn)、連線,如圖.(1)由圖知,y∈[1,3].(2)由圖知,當(dāng)2≤QUOTE1-a21-a2<3時(shí),函數(shù)圖象與y=QUOTE1-a21-a2在[0,π]上有兩個(gè)交點(diǎn),即-故a的取值范圍是(-5,-3].正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)A組1.函數(shù)f(x)=-2sinQUOTE蟺x+蟺3蟺x+蟺A.6 B.2π C.π D.2解析:T=QUOTE=2.答案:D2.下列函數(shù)中,周期為QUOTE的是()A.y=sinQUOTEx2x2 B.y=sin2xC.y=cosQUOTEx4x4 D.y=cos(-4x)解析:對(duì)D,y=cos(-4x)=cos4x,∴T=QUOTE,故選D.答案:D3.(2016·四川遂寧射洪中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x)=sinQUOTE,x∈R,則f(x)是()A.最小正周期為π的奇函數(shù)B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為QUOTE的奇函數(shù)D.最小正周期為QUOTE的偶函數(shù)解析:因?yàn)閒(x)=sinQUOTE=-cos2x,所以f(-x)=-cos2(-x)=-cos2x=f(x),所以f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù).答案:B4.已知函數(shù)f(x)=sinQUOTE,g(x)=sinQUOTE的最小正周期分別為T1,T2,則sin(T1+T2)=()A.-QUOTE3232 B.-QUOTE1212 C.QUOTE1212 D.QUOTE3232解析:由已知T1=QUOTE,T2=QUOTE2蟺32蟺3,∴sin(T1+T2)=sinQUOTE=sinQUOTE=-sinQUOTE=-QUOTE1212.答案:B5.(2016·浙江金華一中月考)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽且最小正周期為2π的函數(shù),且有f(x)=QUOTE則fQUOTE=()A.QUOTE2222 B.-QUOTE2222C.0 D.1解析:因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽且最小正周期為2π的函數(shù),所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE3蟺43蟺4.又因?yàn)?≤QUOTE3蟺43蟺4≤π,所以fQUOTE=fQUOTE3蟺43蟺4=sinQUOTE3蟺4=223蟺4答案:A6.函數(shù)y=4sin(2x+π)的圖象關(guān)于對(duì)稱.

解析:y=4sin(2x+π)=-4sin2x,易證函數(shù)為奇函數(shù),所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.答案:原點(diǎn)7.函數(shù)y=sinQUOTE(ω>0)的最小正周期為QUOTE2323π,則ω=.

解析:∵y=sinQUOTE的最小正周期為T=QUOTE,∴QUOTE,∴ω=3.答案:38.若f(x)(x∈R)為奇函數(shù),且f(x+2)=f(x),則f(4)=.

解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期為T=2.∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)為奇函數(shù),∴f(0)=0.∴f(4)=0.答案:09.判斷函數(shù)f(x)=cos(2π-x)-x3sinQUOTE1212x的奇偶性.解:因?yàn)閒(x)=cos(2π-x)-x3sinQUOTE1212x=cosx-x3sinQUOTE1212x的定義域?yàn)镽,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sinQUOTE1212(-x)=cosx-x3sinQUOTE1212x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).10.若函數(shù)f(x)是以QUOTE為周期的偶函數(shù),且fQUOTE蟺3蟺3=1,求fQUOTE的值.解:∵f(x)的周期為QUOTE,且為偶函數(shù),∴fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE蟺6蟺6.而fQUOTE蟺6蟺6=fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE蟺3蟺3=1,∴fQUOTE=1.B組1.下列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分,其中不是周期函數(shù)的是()解析:顯然D中函數(shù)圖象不是經(jīng)過相同單位長度圖象重復(fù)出現(xiàn).而A,C中每經(jīng)過一個(gè)單位長度,圖象重復(fù)出現(xiàn).B中圖象每經(jīng)過2個(gè)單位,圖象重復(fù)出現(xiàn).所以A,B,C中函數(shù)是周期函數(shù),D中函數(shù)不是周期函數(shù).答案:D2.函數(shù)y=cosQUOTEk4x+蟺3k4x+蟺3(k>0)的最小正周期不大于A.10 B.11 C.12 D.13解析:∵T=QUOTE≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整數(shù)k的最小值為13.答案:D3.將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移QUOTE個(gè)單位,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,則下列說法正確的是()A.y=f(x)是奇函數(shù)B.y=f(x)的周期為πC.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對(duì)稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)QUOTE對(duì)稱解析:y=sinx的圖象向左平移QUOTE個(gè)單位,得y=f(x)=sinQUOTE=cosx的圖象,所以f(x)是偶函數(shù),A不正確;f(x)的周期為2π,B不正確;f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ(k∈Z)對(duì)稱,C不正確;f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)QUOTE(k∈Z)對(duì)稱,當(dāng)k=-1時(shí),點(diǎn)為QUOTE,故D正確.綜上可知選D.答案:D4.若函數(shù)f(x)是以π為周期的奇函數(shù),且當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)=cosx,則fQUOTE=()A.QUOTE1212 B.QUOTE3232 C.-QUOTE1212 D.-QUOTE3232解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE蟺3蟺3.又f(x)是奇函數(shù),∴fQUOTE蟺3蟺3=-fQUOTE=-cosQUOTE=-QUOTE1212.答案:C5.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈[3,4]時(shí),f(x)=x-2,則有下面三個(gè)式子:①fQUOTEsin12sin12<fQUOTEcos12cos12;②fQUOTEsin蟺3sin蟺3<fQUOTEcos蟺3cos蟺3;③f(sin1)<f(cos1).其中一定成立的是.解析:當(dāng)0≤x≤1時(shí),3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,∴f(x)在[0,1]上是減函數(shù).∵1>sinQUOTE>cosQUOTE>0,1>sin1>cos1>0,1>cosQUOTE1212>sinQUOTE1212>0,∴fQUOTEsin蟺3sin蟺3<fQUOTEcos蟺3cos蟺3,f(sin1)<f(cos1),fQUOTEsin12sin12>fQUOTEcos12cos12.答案:②③6.已知函數(shù)y=QUOTE1212sinx+QUOTE1212|sinx|.(1)畫出這個(gè)函數(shù)的簡圖;(2)這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎?如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=QUOTE1212sinx+QUOTE1212|sinx|=QUOTE函數(shù)圖象如圖所示.(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù),其圖象每隔2π重復(fù)一次,故函數(shù)的最小正周期是2π.7.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)=sinx.(1)求當(dāng)x∈[-π,0]時(shí),f(x)的解析式;(2)畫出函數(shù)f(x)在[-π,π]上的簡圖;(3)求當(dāng)f(x)≥QUOTE1212時(shí)x的取值范圍.解:(1)∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x).∵當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)=sinx,∴當(dāng)x∈QUOTE-蟺2,0-蟺2,0時(shí),f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又當(dāng)x∈QUOTE時(shí),x+π∈QUOTE,f(x)的周期為π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx.∴當(dāng)x∈[-π,0]時(shí),f(x)=-sinx.(2)如圖.(3)∵在[0,π]內(nèi),當(dāng)f(x)=QUOTE1212時(shí),x=QUOTE,∴在[0,π]內(nèi),f(x)≥QUOTE1212時(shí),x∈QUOTE.又f(x)的周期為π,∴當(dāng)f(x)≥QUOTE1212時(shí),x∈QUOTE,k∈Z.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)A組1.函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE3蟺2,2蟺3蟺2,解析:畫出y=|sinx|的圖象即可求解.故選C.答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cosQUOTE(-π≤x≤π)的值域?yàn)?)A.QUOTE-12,12-12,12 B.[-1,1]C.QUOTE-12,1-1解析:因?yàn)?π≤x≤π,所以-QUOTE.所以-QUOTE1212≤cosQUOTE≤1,y=cosQUOTE(-π≤x≤π)的值域?yàn)镼UOTE-12,1-12,1.答案:C3.函數(shù)f(x)=3sinQUOTE在下列區(qū)間內(nèi)遞減的是()A.QUOTE B.[-π,0] C.QUOTE D.QUOTE解析:令2kπ+QUOTE≤x+QUOTE≤2kπ+QUOTE3蟺23蟺2,k∈Z可得2kπ+QUOTE≤x≤2kπ+QUOTE4蟺34蟺3,k∈Z,∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為QUOTE,k∈Z.從而可判斷QUOTE,∴在x∈QUOTE時(shí),f(x)單調(diào)遞減.答案:D4.函數(shù)f(x)=2sinQUOTE蠅x-蟺6蠅x-蟺6(ω>0)的最小正周期為4π,當(dāng)f(x)取得最小值時(shí),x的取值集合為A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE解析:∵T=QUOTE=4π,∴ω=QUOTE1212.∴f(x)=2sinQUOTE.由QUOTE1212x-QUOTE=2kπ-QUOTE(k∈Z),得x=4kπ-QUOTE2蟺32蟺3(k∈Z).答案:A5.已知函數(shù)f(x)=sinQUOTEx-蟺2x-蟺2,x∈R,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上是增函數(shù)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析:f(x)=sinQUOTE-蟺2-x-蟺2-x=-sinQUOTE蟺2-x蟺∴周期T=2π,∴選項(xiàng)A正確;f(x)在QUOTE上是增函數(shù),∴選項(xiàng)B正確;定義域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cosx=f(x),∴f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.答案:D6.函數(shù)y=sin|x|+sinx的值域是.

解析:∵y=sin|x|+sinx=QUOTE∴-2≤y≤2.答案:[-2,2]7.函數(shù)y=cosx在區(qū)間[-π,a]上為增函數(shù),則a的取值范圍是.

解析:∵y=cosx在[-π,0]上為增函數(shù),又在[-π,a]上遞增,∴[-π,a]?[-π,0].∴a≤0.又∵a>-π,∴-π<a≤0.答案:(-π,0]8.若函數(shù)f(x)=sinωx(0<ω<2)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減,則ω=.

解析:由題意知函數(shù)f(x)在x=QUOTE處取得最大值,∴QUOTE=2kπ+QUOTE,ω=6k+QUOTE3232,k∈Z.又0<ω<2,∴ω=QUOTE3232.答案:QUOTE32329.已知函數(shù)f(x)=sinQUOTE(x∈R,ω>0)的最小正周期為π.(1)求f(x)在QUOTE上的值域,并求出取最小值時(shí)的x值;(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解:由已知得QUOTE2蟺2蠅2蟺2蠅=π,ω=1,∴f(x)=sinQUOTE.(1)當(dāng)x∈QUOTE時(shí),QUOTE≤2x+QUOTE.∴-QUOTE2222≤sinQUOTE≤1.∴f(x)值域?yàn)镼UOTE-22,1-22,1.當(dāng)2x+QUOTE時(shí),f(x)取最小值-QUOTE2222,∴x=QUOTE時(shí),f(x)取最小值.(2)令2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),得kπ-QUOTE3蟺83蟺8≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z).∴f(x)的遞增區(qū)間為QUOTE(k∈Z).10.已知函數(shù)f(x)=2asinQUOTE+a+b的定義域是QUOTE,值域是[-5,1],求a,b的值.解:∵0≤x≤QUOTE,∴QUOTE≤2x+QUOTE.∴-QUOTE1212≤sinQUOTE≤1.∴a>0時(shí),QUOTEb=-5,3a+b=1,b=a<0時(shí),QUOTEb=1,3a+b=-5,b=1因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.B組1.若0<α<β<QUOTE,a=QUOTE22sinQUOTE,b=QUOTE22sinQUOTE,則 ()A.a<b B.a>bC.ab<1 D.ab>QUOTE22解析:∵0<α<β<QUOTE,∴QUOTE<α+QUOTE<β+QUOTE.而正弦函數(shù)y=sinx在x∈QUOTE上是增函數(shù),∴sinQUOTE<sinQUOTE.∴QUOTE22sinQUOTEsinQUOTE,即a<b.答案:A2.若a為常數(shù),且a>1,0≤x≤2π,則函數(shù)y=sin2x+2asinx的最大值為()A.2a+1 B.2a-1C.-2a-1 D.a2解析:令sinx=t,則-1≤t≤1,原函數(shù)變形為y=t2+2at=(t+a)2-a2.∵a>1,∴當(dāng)t=1時(shí),ymax=12+2a×1=2a+1,故選A.答案:A3.函數(shù)y=cosQUOTE蟺4-2x蟺4-2A.QUOTE,k∈ZB.QUOTE,k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE2k蟺-3蟺8,2k解析:函數(shù)y=cosQUOTE蟺4-2x蟺4-2x=cosQUOTE,令2kπ-π≤2x-QUOTE≤2kπ,k∈Z,得kπ-QUOTE3蟺83蟺8≤x≤kπ+QUOTE,k∈Z,故單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.答案:B4.函數(shù)y=2sinQUOTE蟺3-x蟺3-x-cosQUOTE蟺6+x蟺6+x(x∈解析:∵QUOTE,∴y=2sinQUOTE-cosQUOTE=2cosQUOTE-cosQUOTE=cosQUOTE.∴ymin=-1.答案:-15.若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,則當(dāng)ω取最大值時(shí),函數(shù)f(x)=sinωx的周期是.

解析:令2kπ-QUOTE≤ωx≤2kπ+QUOTE可得QUOTE≤x≤QUOTE,∴k=0時(shí),f(x)在QUOTE上遞增.又∵f(x)在QUOTE上遞增,∴QUOTE解得0<ω≤QUOTE3232.∴ω的最大值為QUOTE3232.∴周期T=QUOTE.答案:QUOTE4蟺34蟺6.對(duì)于函數(shù)f(x)=QUOTEsinx,sinx鈮osx,①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù);②當(dāng)且僅當(dāng)x=π+kπ(k∈Z)時(shí),該函數(shù)取得最小值-1;③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=QUOTE5蟺45蟺4+2kπ(k∈Z)對(duì)稱④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ<x<QUOTE+2kπ(k∈Z)時(shí),0<f(x)≤QUOTE2222.其中正確命題的序號(hào)是.

解析:畫出f(x)在一個(gè)周期[0,2π]上的圖象.由圖象知,函數(shù)f(x)的最小正周期為2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=QUOTE3蟺23蟺2+2kπ(k∈Z)時(shí),該函數(shù)都取得最小值,為-1,故①②錯(cuò)誤由圖象知,函數(shù)圖象關(guān)于直線x=QUOTE5蟺45蟺4+2kπ(k∈Z)對(duì)稱,在2kπ<x<QUOTE+2kπ(k∈Z)時(shí),0<f(x)≤QUOTE2222,故③④正確.答案:③④7.已知函數(shù)y=sinQUOTE蟺3-2x蟺(1)求函數(shù)的周期;(2)求函數(shù)在[-π,0]上的單調(diào)遞減區(qū)間.解:y=sinQUOTE蟺3-2x蟺3-2x可化為y=-sinQUOTE.(1)周期T=QUOTE=π.(2)令2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE5蟺125蟺12,k∈Z,所以x∈R時(shí),y=sinQUOTE蟺3-2x蟺3-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE,k∈Z.從而x∈[-π,0]時(shí),y=sinQUOTE蟺3-2x蟺3-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE.8.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)QUOTE其中ω>0,|φ|<QUOTE,若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為QUOTE,且直線x=QUOTE是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求ω的值;(2)求y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)若x∈QUOTE,求y=f(x)的值域.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為QUOTE,所以函數(shù)的周期T=π,所以ω=QUOTE=2.(2)因?yàn)橹本€x=QUOTE是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,所以2×QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k∈Z,φ=kπ+QUOTE,k∈Z.又|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE.所以函數(shù)的解析式是y=sinQUOTE.令2x+QUOTE,k∈Z,解得x∈QUOTE,k∈Z.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.(3)因?yàn)閤∈QUOTE,所以2x+QUOTE.所以sinQUOTE,即函數(shù)的值域?yàn)镼UOTE-12,1-正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象A組1.當(dāng)x∈QUOTE時(shí),函數(shù)y=tan|x|的圖象()A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.沒有對(duì)稱軸解析:∵x∈QUOTE,f(-x)=tan|-x|=tan|x|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),即y=tan|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.答案:B2.(2016·河北衡水二中月考)函數(shù)f(x)=tanQUOTE蟺4-x蟺4-x的單調(diào)遞減區(qū)間為A.QUOTE,k∈ZB.QUOTE,k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Z解析:因?yàn)閒(x)=tanQUOTE蟺4-x蟺4-x=-tanQUOTEx-蟺4所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間就是函數(shù)y=tanQUOTEx-蟺4x-蟺故kπ-QUOTE≤x-QUOTE≤kπ+QUOTE,k∈Z,kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE3蟺43蟺4,k∈Z.所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是QUOTE,k∈Z.答案:B3.函數(shù)f(x)=tanax(a>0)的圖象的相鄰兩支截直線y=QUOTE所得線段長為2,則a的值為()A.QUOTE B.QUOTE1212 C.π D.1解析:由已知得f(x)的周期為2,∴QUOTE=2.∴a=QUOTE.答案:A4.函數(shù)f(x)=QUOTEtanx2-cosxtanx2A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解析:f(x)的定義域?yàn)镼UOTE,∴f(-x)=QUOTEtan(-x)2-cos(-x)=∴f(x)是奇函數(shù).答案:A5.下列圖形分別是①y=|tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈QUOTE內(nèi)的大致圖象,那么由a到d對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是()A.①②③④ B.①③④②C.③②④① D.①②④③解析:y=tan(-x)=-tanx在QUOTE上是減函數(shù),只有圖象d符合,即d對(duì)應(yīng)③.答案:D6.已知函數(shù)y=3tanQUOTE的最小正周期是QUOTE,則ω=.

解析:由題意知,T=QUOTE,∴ω=±2.答案:±27.函數(shù)y=3tanQUOTE的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.

解析:由x+QUOTE,k∈Z,得x=QUOTE,k∈Z,即對(duì)稱中心坐標(biāo)是QUOTE(k∈Z).答案:QUOTE(k∈Z)8.滿足tanQUOTE≥-QUOTE33的x的集合是.

解析:把x+QUOTE看作一個(gè)整體,利用正切函數(shù)的圖象可得kπ-QUOTE≤x+QUOTE<kπ+QUOTE,k∈Z,解得kπ-QUOTE2蟺32蟺3≤x<kπ+QUOTE,k∈Z.故滿足tanQUOTE≥-QUOTE33的x的集合是QUOTE.答案:QUOTE9.求函數(shù)y=tanQUOTE的定義域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性.解:由4x-QUOTE≠kπ+QUOTE,得x≠Q(mào)UOTE,∴所求定義域?yàn)镼UOTE,值域?yàn)镽,周期T=QUOTE.又fQUOTE3蟺163蟺16沒有意義fQUOTE=tanQUOTE=0,∴f(x)是非奇非偶函數(shù).令-QUOTE+kπ<4x-QUOTE+kπ,k∈Z,解得QUOTE<x<QUOTE,k∈Z.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是QUOTE(k∈Z),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.10.已知函數(shù)f(x)=2tanQUOTE(ω>0),y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于2π,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解:由題意知,函數(shù)f(x)的周期為2π,則QUOTE=2π,由于ω>0,故ω=QUOTE1212.所以f(x)=2tanQUOTE12x+蟺4再由kπ-QUOTEx+QUOTE<kπ+QUOTE,k∈Z,得2kπ-QUOTE3蟺23蟺2<x<2kπ+QUOTE,k∈Z,即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.11.求函數(shù)y=-tan2x+4tanx+1,x∈QUOTE的值域.解:∵-QUOTE≤x≤QUOTE,∴-1≤tanx≤1.令tanx=t,則t∈[-1,1].∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.∴當(dāng)t=-1,即x=-QUOTE時(shí),ymin=-4,當(dāng)t=1,即x=QUOTE時(shí),ymax=4.故所求函數(shù)的值域?yàn)閇-4,4].B組1.函數(shù)y=QUOTEtan2xtanxtan2xtanx的定義域?yàn)锳.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE解析:由題意知QUOTE即QUOTE得QUOTE故x≠Q(mào)UOTE(k∈Z).答案:A2.函數(shù)f(x)=tanQUOTE蠅x-蟺4蠅x-蟺4與函數(shù)g(x)=sinQUOTE蟺4-2x蟺4-2xA.±1 B.1 C.±2 D.2解析:∵函數(shù)g(x)的周期為QUOTE2蟺22蟺2=π∴QUOTE=π,∴ω=±1.答案:A3.設(shè)a=loQUOTEg12g12tan70°,b=loQUOTEg12g12sin25°,c=QUOTE,則有()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.a<c<b解析:∵tan70°>tan45°=1,∴a=loQUOTEg12g12tan70°<0又∵0<sin25°<sin30°=QUOTE1212,∴b=loQUOTEg12g12sin25°>loQUOTEg1212g1而c=QUOTE∈(0,1),∴b>c>a.答案:D4.已知函數(shù)y=tanωx在QUOTE內(nèi)是減函數(shù),則ω的取值范圍為.

解析:由題意可知ω<0,又QUOTE.故-1≤ω<0.答案:-1≤ω<05.已知y=2tan(ωx+φ)QUOTE的部分圖象如圖所示,則ω=,φ=.

解析:由題圖可知,當(dāng)x=QUOTE時(shí),y=2,即2tanQUOTE=2,tanQUOTE=1,即QUOTEω+φ=kπ+QUOTE(k∈Z). ①又直線x=QUOTE3蟺83蟺8為它的一條漸近線∴QUOTE3蟺83蟺8ω+φ=kπ+QUOTE(k∈Z), ②而ω>0,|φ|<QUOTE,由①②可得QUOTE答案:2-QUOTE6.方程QUOTE12x12x-tanx=0在x∈QUOTE內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為.

解析:分別畫出y=QUOTE12x12x與y=tanx在x∈QUOTE內(nèi)的圖象,如圖.易知y=QUOTE12x12x與y=tanx在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),原方程有2個(gè)根答案:27.函數(shù)f(x)=tan(3x+φ)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是QUOTE蟺4,0蟺4,0,其中0<φ<QUOTE,試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:由于函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心為QUOTEk蟺2,0k蟺2,0,則QUOTE3蟺43蟺4+φ=QUOTE,即φ=QUOTE.由于0<φ<QUOTE,所以當(dāng)k=2時(shí),φ=QUOTE.故函數(shù)解析式為f(x)=tanQUOTE.由于正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間QUOTE(k∈Z)上為增函數(shù),則令kπ-QUOTE<3x+QUOTE<kπ+QUOTE,解得QUOTE<x<QUOTE,k∈Z,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.沒有單調(diào)減區(qū)間.8.設(shè)函數(shù)f(x)=tanQUOTE.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間;(2)求不等式-1≤f(x)≤QUOTE33的解集;(3)作出函數(shù)y=f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.解:(1)由QUOTE+kπ(k∈Z),得x≠Q(mào)UOTE5蟺35蟺3+2kπ,∴f(x)的定義域是QUOTE.∵ω=QUOTE1212,∴周期T=QUOTE=2π.由-QUOTE+kπ<QUOTEx2-蟺3<蟺2x2-蟺3<蟺2+k得-QUOTE+2kπ<x<QUOTE5蟺35蟺3+2kπ(k∈Z).∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是QUOTE(k∈Z).(2)由-1≤tanQUOTE,得-QUOTE+kπ≤QUOTE+kπ(k∈Z),解得QUOTE+2kπ≤x≤QUOTE4蟺34蟺3+2kπ(k∈Z).∴不等式-1≤f(x)≤QUOTE33的解集是QUOTE.(3)令QUOTEx2-蟺3x2-蟺3=0,則x=QUOTE2蟺令QUOTE,則x=QUOTE5蟺35蟺3.令QUOTEx2-蟺3x2-蟺3=-QUOTE,則x=-QUOTE.∴函數(shù)y=tanQUOTE的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是QUOTE2蟺3,02蟺3,0,在這個(gè)交點(diǎn)左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是x=-QUOTE,x=QUOTE5蟺35蟺3.從而得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間QUOTE內(nèi)的簡圖(如圖所示).函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象A組1.把函數(shù)y=cosx的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腝UOTE1212倍,然后將圖象沿x軸負(fù)方向平移QUOTE個(gè)單位長度,得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為()A.y=sin2x B.y=-sin2xC.y=cosQUOTE D.y=cosQUOTE12x+蟺412x+解析:y=cosx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腝UOTE1212倍(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=cos2x的圖象;再把y=cos2x的圖象沿x軸負(fù)方向平移QUOTE個(gè)單位長度,就得到y(tǒng)=cos2QUOTE=cosQUOTE的圖象.即y=-sin2x的圖象.答案:B2.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),列表如下:ωx+φ0π2πxy020-20則有()A.A=0,ω=QUOTE,φ=0 B.A=2,ω=3,φ=QUOTEC.A=2,ω=3,φ=-QUOTE D.A=1,ω=2,φ=-QUOTE解析:由表格得A=2,QUOTE,∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.當(dāng)x=QUOTE時(shí),3x+φ=QUOTE+φ=0,∴φ=-QUOTE.答案:C3.將函數(shù)f(x)=sinωx(其中ω>0)的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位長度,所得圖象經(jīng)過點(diǎn)QUOTE3蟺4,03蟺4,0,則ω的最小值是()A.QUOTE1313 B.1 C.QUOTE5353 D.2解析:把f(x)=sinωx的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位長度得y=sinQUOTE的圖象.又所得圖象過點(diǎn)QUOTE3蟺4,03∴sinQUOTE=0.∴sinQUOTE=0,∴QUOTE=kπ(k∈Z).∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值為2.答案:D4.把函數(shù)y=sinQUOTE的圖象向左平移QUOTE個(gè)單位,再把所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍,橫坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)為()A.最大值為QUOTE1212的偶函數(shù)B.周期為π的偶函數(shù)C.周期為2π,且最大值為2的函數(shù)D.最大值為2的奇函數(shù)解析:y=sinQUOTEy=sinQUOTE=sin2xy=2sin2x,即g(x)=2sin2x,故g(x)的最大值為2,周期T=π,g(x)為奇函數(shù),故選D.答案:D5.(2016·四川成都石室中學(xué)期中)為了得到函數(shù)y=3cos2x的圖象,只需把函數(shù)y=3sinQUOTE的圖象上所有的點(diǎn)()A.向右平移QUOTE個(gè)單位長度B.向右平移QUOTE個(gè)單位長度C.向左平移QUOTE個(gè)單位長度D.向左平移QUOTE個(gè)單位長度解析:函數(shù)y=3cos2x=3sinQUOTE=3sinQUOTE,把函數(shù)y=3sinQUOTE的圖象上所有的點(diǎn)向左平移QUOTE個(gè)單位長度,可得函數(shù)y=3cos2x的圖象.答案:D6.把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都縮短到原來的QUOTE1313倍,得到的圖象.

解析:將y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的QUOTE1313倍得y=sin3x的圖象,縱坐標(biāo)再縮短為原來的QUOTE1313倍得到y(tǒng)=QUOTE1313sin3x的圖象.答案:y=QUOTE1313sin3x7.已知函數(shù)f(x)=sinQUOTE(ω>0)的最小正周期為π,為了得到g(x)=sinQUOTE12x+蟺412x+蟺4的圖象,只需將y=f(x)的圖象上解析:∵f(x)的最小正周期為π,∴QUOTE=π.∴ω=2.∴f(x)=sinQUOTE.又g(x)=sinQUOTE12x+蟺412x+蟺4=sinQUOTE∴只需將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到g(x)=sinQUOTE12x+蟺41答案:所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變8.設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位長度后,所得的圖象與原圖象重合,則ω的最小值等于.

解析:將f(x)的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位長度得g(x)=fQUOTEx-蟺3x-蟺3=cosQUOTE=cosQUOTE的圖象,則-QUOTEω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴當(dāng)k=-1時(shí),ω有最小值6.答案:69.將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再向左平移QUOTE個(gè)單位所得的曲線是y=QUOTE1212sinx的圖象,試求y=f(x)的解析式.解:將y=QUOTE1212sinx的圖象向右平移QUOTE個(gè)單位得y=QUOTE1212sinQUOTEx-蟺2x-蟺2的圖象,化簡得y=-QUOTE1212cosx.再將y=-QUOTE1212cosx的圖象上的橫坐標(biāo)縮短為原來的QUOTE1212倍(縱坐標(biāo)不變)得y=-QUOTE1212cos2x的圖象,所以f(x)=-QUOTE1212cos2x.10.(2016·湖北武漢十一中期末)已知函數(shù)f(x)=3sinQUOTE,x∈R.(1)用五點(diǎn)法作出y=f(x)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖;(2)請(qǐng)說明函數(shù)y=f(x)的圖象可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.解:(1)列表:2x+QUOTE0π2πx-QUOTE11f(x)030-30簡圖如下:(2)將函數(shù)y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)=3sinx的圖象,再將得到的圖象向左平移QUOTE個(gè)單位長度得到y(tǒng)=3sinQUOTE的圖象,最后將得到的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腝UOTE1212得到y(tǒng)=3sinQUOTE的圖象.B組1.給出幾種變換:(1)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變;(2)橫坐標(biāo)縮小到原來的QUOTE1212倍,縱坐標(biāo)不變;(3)向左平移QUOTE個(gè)單位長度;(4)向右平移QUOTE個(gè)單位長度;(5)向左平移QUOTE個(gè)單位長度;(6)向右平移QUOTE個(gè)單位長度.則由函數(shù)y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sinQUOTE的圖象,可以實(shí)施的方案是()A.(1)→(3) B.(2)→(3)C.(2)→(4) D.(2)→(5)解析:由y=sinx的圖象到y(tǒng)=sinQUOTE的圖象可以先平移變換再伸縮變換,即(3)→(2);也可以先伸縮變換再平移變換,即(2)→(5).答案:D2.(2016·河北唐山一中期末)把函數(shù)y=sin(4x+φ)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移QUOTE個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的一個(gè)可能值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE解析:函數(shù)y=sin(4x+φ)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)可得函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象,再將圖