三角函數(shù)講義(適用于高三第一輪復習)

三角函數(shù)講義(適用于高三第一輪復習)PAGE4三角函數(shù)1．同角三角函數(shù)的基本關系式：2．誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）3．兩角和與差的公式4．倍角公式5．降冪公式6．幅角公式，其中8．補充公式，知識點睛對稱軸；對稱中心對稱軸；對稱中心說明：表格中的都是屬于，在選擇“代表”的區(qū)間或點時，先盡量選擇離坐標原點近的，再盡量選擇正的。正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：定義域為，值域為最小正周期是，在上單調(diào)增沒有對稱軸，對稱中心為，奇函數(shù)二．正弦型函數(shù)的圖象方法一：先平移變換后伸縮變換平移變換：將圖象向左或向右平移個單位，得到的圖象；伸縮變換：縱坐標不變，將圖象上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍，得到的圖象，此時函數(shù)周期為；振幅變換：橫坐標不變，將圖象上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍，得到的圖象，此時函數(shù)的最值分別為、；方法二：先伸縮變換后平移變換伸縮變換：縱坐標不變，將圖象上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍，所得函數(shù)的圖象，此時函數(shù)的周期為；平移變換：將圖象向左或向右平移個單位，得到的圖象振幅變換：同上解三角形1．解三角形：（1）邊的關系：，，（或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長邊）（2）角的關系：，，，，，，，2．正弦定理：，其中為的外接圓半徑3．余弦定理：在中，角的對邊分別為，則有余弦定理：，其變式為：4．三角形的面積公式：三角恒等變換例題精講【例1】考查對三角函數(shù)值“知一求二”的掌握（1）已知是第二象限角，且，則______,______（2）已知是第四象限角，且，則_______，______（3）已知，求、的值點評：利用同角三角函數(shù)的基本關系式能夠做到三角函數(shù)值“知一求二”，但要注意正負符號的確定【例2】已知，計算：（1）；（2）；（3）點評：如果根據(jù)的值求、的值，則需考慮的象限，這里把寫成構造關于、的齊次式，解法干凈利索【例3】（1）的值是________（2）已知，則（3）若記，則________點評：此題主要考查誘導公式的使用，關于誘導公式希望大家牢記：互補的兩個角正弦值相等，余弦值、正切值互為相反數(shù)，互余的兩個角正弦值、余弦值互換?！纠?】（1）已知，，，是第三象限角，求（2）已知，是第四象限角，求、、（3）若為第二象限角，且，則_______【例5】（1）已知，求的值（2）已知，求的值點評：正切的和差角公式把、、聯(lián)系到一塊，任一項都能由另兩項表示，如【例6】（1）若，則（2）若，則_______（3）設，若，則________點評：在三角函數(shù)的化簡與求值問題中，一要盡量減少三角函數(shù)名，二要盡量減少角的個數(shù)，這里用到“化切為弦”，即將正切化為我們更熟悉的正弦和余弦【例7】（1）已知是第三象限角，且，則_______（2）已知是第三象限角，且，則__________【例8】（1）已知，則的值為____，的值為（2）已知，且，則的值為_______點評：此題主要考查與之間的關系：【例9】若，求值：（1）；（2）；（3）常見題型一：給角求值在求值過程中，先整體分析三角函數(shù)式的特點，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進行局部變換。另外要觀察所給角與特殊角之間的關系，要盡量利用三角公式將非特殊角轉化為特殊角。【例1】求值：（1）_____；（2）______；（3）_______；（4）_____【例2】求值：（1）________；（2）________；常見題型二：給值求值解決此類問題的關鍵在于角的“整體代換”，找出已知式與欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互補等關系，另外還要注意角的范圍的討論【例】（1）已知，，則______；（2）已知，，則________；（3）已知，，則________常見題型三：給值求角解決此類問題的關鍵是先求出此角的某一個三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍確定角的大小，此時要注意根據(jù)三角函數(shù)值的正負號或比較特殊角的三角函數(shù)值大小挖掘隱含條件，要盡量減小角的范圍?！纠?】若，，且、為銳角，求【例2】已知、、均為銳角，且，，，求【例3】已知，，、，求三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)說明：（1）伸縮變換不會改變的值，只是將變?yōu)?；?）若相同，就不用做伸縮變換，若不同，就一定要做伸縮變換；若相同，就不用做平移變換，若不同，就一定要做平移變換；（2）左右平移的量要看發(fā)生在自變量上的變化。三．復合函數(shù)的性質(zhì)最值：和；單調(diào)性：若，則正向討論，即令，可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；若，則反向討論，即令，可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間周期：最小正周期是對稱性：函數(shù)的圖象仍然是波形，它有無數(shù)條對稱軸和無數(shù)個對稱中心令，可求得函數(shù)的所有對稱軸；令，可求得函數(shù)的所有對稱中心【例1】考查三角函數(shù)圖象的變換（1）由函數(shù)的圖象怎么變換到函數(shù)的圖象（2）將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象的對應解析式是（）A．B．C．D．（3）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A．向左平移單位

B．向左平移單位

C．向右平移單位

D．向右平移單位【例2】考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心（1）函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值是（）A．B．C．D．（2）已知函數(shù)的最小正周期為,則函數(shù)的圖象（）A．關于對稱B．關于對稱C．關于對稱D．關于對稱（3）已知函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形，則實數(shù)_______（4）若函數(shù)的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（）A．B．C．D．（5）已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則________【例3】考查三角函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是__________（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________【例4】已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最小值，并求函數(shù)取得最小值時的的集合；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（4）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（5）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間；（6）求函數(shù)的所有對稱軸和對稱中心；（7）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)，的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到；【例5】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域【例6】考查三角函數(shù)的最值求法（1）設和分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則______（2）若函數(shù)，，則的最小值為________（3）當時，函數(shù)的最小值是_____，最大值是_______（4）求函數(shù)的值域（5）求函數(shù)的值域（6）求函數(shù)，的最大值和最小值（7）函數(shù)的值域是_________點撥：三角函數(shù)的值域、最值求法（1）(或)型：利用三角函數(shù)的有界性；（2）型：利用幅角公式轉化為形式，再利用有界性；（3）型：配方后求二次函數(shù)的最值，應注意的約束；（4）型：分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性（5）型：數(shù)形結合法，這里用到直線斜率的幾何意義，也可用純代數(shù)法求法（6）型：換元，要注意變量的范圍【例7】（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域；（5）已知函數(shù)有最大值，求實數(shù)的值【例8】設函數(shù)（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍點撥：解決方程有解問題最有效的方法是分離變量求值域【例9】若關于的方程在上有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍【例10】（1）若函數(shù)，則是（）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)（2）函數(shù)的最小正周期是________，最小值是_______（3）函數(shù)的最小正周期是_____；（4）函數(shù)的最小正周期是____點撥：（1）利用降冪公式、幅角公式把已知函數(shù)轉化為形式，從而得到周期；（2）根據(jù)圖象變換知識畫出函數(shù)圖象可以直觀得到函數(shù)周期?！纠?2】已知函數(shù)，，有下列命題：①當時，的最小正周期是；②當時，的最大值是，最小值是；③當時，將函數(shù)的圖象向左平移可以得到函數(shù)的圖象；④當時，的對稱中心是其中正確命題的序號是_________（把你認為正確的命題的序號都填上）13.已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當時，求函數(shù)的最大值與最小值及相應的的值。解三角形例題精講【例1】（1）在中，是的___________條件（2）在銳角中，，則的取值范圍是________（3）在中，已知，，則________【例2】（1）在中，若，，，則中最大角的余弦值為________（2）某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，則（）A．不能作出這樣的三角形B．作出一個銳角三角形C．作出一個直角三角形D．作出一個鈍角三角形（3）以為三邊組成一個銳角三角形，則的取值范圍為__________點評：最大角決定三角形的形狀，由余弦定理得，較小兩邊的平方和與最大邊的平方的差決定最大角是銳角、直角和鈍角?！纠?】考查正余弦定理的靈活使用（1）在中，若，其面積，則_____（2）在中，若，則_____（3）在中，若，，則_____（4）在銳角中，若，則_________【例4】判斷滿足下列條件的三角形形狀（1）；（2）；（3）；（4）點評：與三角形形狀相關的幾個結論:（1）在中，若，則為等腰三角形或直角三角形（2）在中，若，則為等邊三角形（3）在中，若，則為直角三角形（4）在中，若，則為直角三角形【例5】在中，角的對邊分別為、、，，，求【例6】在中，角的對邊分別為，且，（1）當時，求角的度數(shù)；（2）求面積的最大值【例7】中，所對的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求【例8】在中，,（1）求的值；（2）設，求的面積【例9】在中，角的對邊分別為，且（1）求的大?。唬?）求的最大值【例10】在中，角的對邊分別為，（1）求的大小；（2）求的范圍【例11】設的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，求【例12】在中，角的對邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若，求邊的值.【例13】在中，角的對邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若，，求邊的值2012高考真題分類匯編：三角函數(shù)一、選擇題1.設是方程的兩個根，則的值為（A）-3（B）-1（C）1（D）32.把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是3.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（） 4.如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（）A、B、C、D、5.在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為（）A.B.C.D.6.若，，則（A）（B）（C）（D）7.已知，(0，π)，則=(A)1(B)(C)(D)18.若tan+=4,則sin2=A．B.C.D.9.函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域為A．[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]10.在中，若，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定11.設則“”是“為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分與不必要條件12.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC=（A）（B）（C）（D）13.已知α為第二象限角，，則cos2α=(A)（B）(C)(D)二、填空題14.函數(shù)f（x）=sin()的導函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點，A,C為圖像與x軸的兩個交點，B為圖像的最低點.（1）若，點P的坐標為（0，），則;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在△ABC內(nèi)的概率為.15.設△的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，則角．16.在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，則b=_______。17.設的內(nèi)角所對的邊為；則下列命題正確的是=1\*GB3①若；則=2\*GB3②若；則=3\*GB3③若；則=4\*GB3④若；則=5\*GB3⑤若；則18.已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________.19.設的內(nèi)角的對邊分別為，且，,則21.當函數(shù)取得最大值時，x=___________.22.設為銳角，若，則的值為▲．三、解答題23.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，（1）求（2）若，的面積為；求.24.已知向量，，設函數(shù)的圖象關于直線對稱，其中，為常數(shù)，且.（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.25.設函數(shù)。（=1\*ROMANI）求函數(shù)的最小正周期；（=2\*ROMANII）