灰色理論數(shù)學(xué)建模課件

灰色理論1、灰關(guān)聯(lián)理論2、灰色預(yù)測(cè)模型1.1、灰關(guān)聯(lián)分析方法概述灰色系統(tǒng)是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統(tǒng)?；谊P(guān)聯(lián)分析是依據(jù)灰數(shù)列間幾何相似的序化分析與關(guān)聯(lián)測(cè)度，來(lái)量化不同層次中多個(gè)序列相對(duì)某一級(jí)別的關(guān)聯(lián)性，其實(shí)質(zhì)為灰色系統(tǒng)中多個(gè)序列之間接近度的序列分析，這種接近度稱(chēng)為數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)度。1.1、灰關(guān)聯(lián)分析方法概述關(guān)聯(lián)度愈高，說(shuō)明該樣本序列隸屬的關(guān)系愈貼近，這是綜合評(píng)價(jià)的信息和依據(jù)。在數(shù)學(xué)理論上，它反映了離散數(shù)列空間的接近度，所以是一種幾何分析法?；谊P(guān)聯(lián)度分析的基本思想是根據(jù)離散數(shù)據(jù)之間幾何相似程度來(lái)判斷關(guān)聯(lián)性大小，并進(jìn)行排序。在此，我們通過(guò)兩個(gè)實(shí)例給出灰關(guān)聯(lián)分析方法的過(guò)程1.2、灰關(guān)聯(lián)分析的步驟5）計(jì)算關(guān)聯(lián)度；6）排關(guān)聯(lián)序；7）列關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行優(yōu)勢(shì)分析。1.2.1數(shù)據(jù)變換技術(shù)為了保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結(jié)果，對(duì)收集來(lái)的原始數(shù)據(jù)必須進(jìn)行數(shù)據(jù)變換處理，使其消除量綱和具有可比性。定義1設(shè)有序列稱(chēng)映射為序列到序列的數(shù)據(jù)變換。1.2.1數(shù)據(jù)變換技術(shù)稱(chēng)映射為序列到序列的數(shù)據(jù)變換1）初值化變換：2）均值化變換：1.2.1數(shù)據(jù)變換技術(shù)6）極差最大化變換：7）區(qū)間值化變換：

1.2.2變換的性質(zhì)上述變換滿(mǎn)足1）當(dāng)；2）保序性：3）保差異性：對(duì)任意的，有

1.2.3多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換設(shè)有多指標(biāo)序列稱(chēng)映射1.2.3多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換關(guān)聯(lián)分析中常用的數(shù)據(jù)變換有1）效益型：2）成本型：1.2.3多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換3）固定型：為固定值

4）區(qū)間型：1.2.3多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換5）偏離型：6）偏離區(qū)間型：1.2.4關(guān)聯(lián)度定義為灰關(guān)聯(lián)系數(shù)。其中為絕對(duì)差，為兩極最小差，為兩極最大差，為分辨系數(shù)1.2.4關(guān)聯(lián)度定義3：設(shè)為指標(biāo)的權(quán)重，滿(mǎn)足，，定義為對(duì)的灰關(guān)聯(lián)度，是序列幾何距離的一種度量。1.3實(shí)例1.3.1實(shí)例一：用灰關(guān)聯(lián)分析的方法分析影響呼和浩特市大氣污染的各主要因素的污染水平。表11999-2003年城市大氣污染監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算步驟：（1）將城市區(qū)域大氣污染值作為參考序列，其他各因素作為比較因素序列，對(duì)各因素初值化處理，得各標(biāo)準(zhǔn)化序列表2標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)因素19992000200120022003大氣污染值10.8830.8690.8170.857NO10.8161.1050.9471.132TSP10.8900.8840.8110.24110.7080.6250.6250.646工業(yè)總產(chǎn)值11.1311.3151.5872.019基建投資11.8722.6133.4725.294機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量10.8691.0051.1761.284煤炭用量10.9991.0441.5762.964沙塵天數(shù)11.3001.3000.1000.100（2）由上表求絕對(duì)差。得序列（4）計(jì)算關(guān)聯(lián)度取，比較因素和參考因素的關(guān)聯(lián)度為結(jié)果分析從結(jié)果可以看出，直接因素（前3個(gè)）關(guān)聯(lián)度的排序?yàn)?，說(shuō)明在城市大氣環(huán)境的影響因素中，TSP是主要因素；在間接因素（后5個(gè)）中，關(guān)聯(lián)度的排序?yàn)?，機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量是主要的間接影響因素。3.2.1單傳感器灰色識(shí)別原理經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理后計(jì)算，用于反映了待識(shí)別目標(biāo)的第個(gè)屬性與第個(gè)目標(biāo)類(lèi)的第個(gè)屬性的匹配程度。然后計(jì)算對(duì)的灰關(guān)聯(lián)度，反映了待識(shí)別目標(biāo)與第個(gè)目標(biāo)的相似程度?；诨谊P(guān)聯(lián)分析的識(shí)別原理為計(jì)算待識(shí)別目標(biāo)與目標(biāo)庫(kù)中各目標(biāo)的灰關(guān)聯(lián)度，按照灰色系統(tǒng)分辨原理，對(duì)關(guān)聯(lián)度進(jìn)行3.2.1多傳感器融合灰色識(shí)別原理排序，若，則判斷認(rèn)為目標(biāo)的類(lèi)型為所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)類(lèi)型。多傳感器融合灰色識(shí)別原理設(shè)有個(gè)傳感器在同一時(shí)間內(nèi)對(duì)同一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，第個(gè)傳感器收到的待識(shí)別目標(biāo)信息記為多傳感器灰色識(shí)別融合原理可敘述如下：3.2.1多傳感器融合灰色識(shí)別原理對(duì)1）計(jì)算第個(gè)傳感器收到的待識(shí)別目標(biāo)的第個(gè)指標(biāo)與目標(biāo)庫(kù)中第個(gè)目標(biāo)的關(guān)聯(lián)系數(shù)；2）計(jì)算，得向量＝（）3）設(shè)第個(gè)傳感器的權(quán)重為，3.2.1多傳感器融合灰色識(shí)別原理求矩陣＝（）的加權(quán)1范數(shù)＝＝，則斷定多傳感器融合識(shí)別的結(jié)果為目標(biāo)屬于第類(lèi)。1.3.3應(yīng)用根據(jù)不同目標(biāo)類(lèi)型在空中飛行時(shí)地面防空系統(tǒng)雷達(dá)所能探測(cè)的指標(biāo)和雷達(dá)系統(tǒng)校飛中所采用的指標(biāo),我們選取空中飛行器1.3.3應(yīng)用

、高度、機(jī)動(dòng)能力（加速度）、雷達(dá)波形大小、雷達(dá)回波強(qiáng)弱這5項(xiàng)指標(biāo)，建立目標(biāo)類(lèi)型的參數(shù)模板。設(shè)有兩個(gè)傳感器在同一時(shí)刻對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行觀察，觀測(cè)值如表3所示。表3目標(biāo)類(lèi)型的參數(shù)模板及待識(shí)別的目標(biāo)參數(shù)戰(zhàn)略轟炸機(jī)B522501000010.80.8殲擊機(jī)F－16280100002.50.50.5武裝直升機(jī)10064002.00.20.2隱形戰(zhàn)斗機(jī)F－117A220100001.00.10.1傳感器1的觀測(cè)數(shù)據(jù)238100001.00.80.7傳感器2的觀測(cè)數(shù)據(jù)240100001.020.80.721.3.3應(yīng)用將各傳感器的觀測(cè)數(shù)據(jù)作為參考序列，各機(jī)型參數(shù)作為比較序列，對(duì)各參數(shù)值進(jìn)行初值化處理，得到無(wú)量綱序列表4。戰(zhàn)略轟炸機(jī)B521400.0040.00320.0032殲擊機(jī)F－16135.710.00890.00180.0018武裝直升機(jī)1640.020.0020.002隱形戰(zhàn)斗機(jī)F－117A145.450.00450.000450.00045傳感器1的觀測(cè)數(shù)據(jù)142.0170.00420.00340.0029傳感器2的觀測(cè)數(shù)據(jù)141.670.004250.00330.0031.3.3應(yīng)用由上表計(jì)算絕對(duì)差，取分辨系數(shù)＝0.5，各指標(biāo)的權(quán)重相同，由式（1）計(jì)算灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，由式（2）計(jì)算灰關(guān)聯(lián)度得＝（0.9690，0.9269，0.8663，0.9523），＝（0.9740，0.9303，0.8663，0.9493），灰關(guān)聯(lián)度矩陣為1.3.3應(yīng)用由單傳感器識(shí)別原理，可判定傳感器1和傳感器2觀測(cè)到的目標(biāo)為戰(zhàn)略轟炸機(jī)，但由于傳感器1的灰關(guān)聯(lián)度中，最大值和次大值之間僅差0.01左右，所以由傳感器1判定為戰(zhàn)略轟炸機(jī)的可信度并不高，現(xiàn)設(shè)傳感器2的觀測(cè)精度高，取其權(quán)重為，傳感器1的權(quán)重為，由多傳感器融合識(shí)別原理，計(jì)算矩陣的列加權(quán)和得（0.972，0.9292，0.8663，0.9503），故的加權(quán)1范數(shù)為＝＝0.972，即多傳感器融合識(shí)別的結(jié)果為戰(zhàn)略轟炸機(jī)。二、灰色模型2.1灰色模型概述從灰色系統(tǒng)中抽象出來(lái)的模型?；疑到y(tǒng)是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)普遍存在。研究灰色系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一是如何從一個(gè)不甚明確的、整體信息不足的系統(tǒng)中抽象并建立起一個(gè)模型，該模型能使灰色系統(tǒng)的因素由不明確到明確，由知之甚少發(fā)展到知之較多提供研究基礎(chǔ)?；疑到y(tǒng)理論是控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的產(chǎn)物，也是自動(dòng)控制科學(xué)與運(yùn)籌學(xué)數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的結(jié)果。2.1灰色模型概述如果一個(gè)系統(tǒng)具有層次、結(jié)構(gòu)關(guān)系的模糊性，動(dòng)態(tài)變化的隨機(jī)性，指標(biāo)數(shù)據(jù)的不完備或不確定性，則稱(chēng)這些特為灰色性。具有灰色性的系統(tǒng)稱(chēng)為灰色系統(tǒng)。在灰色系統(tǒng)理論中，利用較少的或不確切的表示灰色系統(tǒng)行為特征的原始數(shù)據(jù)序列作生成變換后建立的，用以描述灰色系統(tǒng)內(nèi)部事物連續(xù)變化過(guò)程的模型，稱(chēng)為灰色模型，簡(jiǎn)稱(chēng)GM模型2.2GM（1,1）模型2.2.1GM（1,1）建立灰色系統(tǒng)理論的實(shí)質(zhì)是將無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成，得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后再重新建模。由生成模型得到的數(shù)據(jù)再通過(guò)累加生成的逆運(yùn)算——累減生成得到還原模型，再還原模型作為預(yù)測(cè)模型?；疑Ｐ褪穷A(yù)測(cè)工作的基礎(chǔ)模型。2.2.1GM（1,1）建立記為原始序列為由經(jīng)過(guò)一次累加生成的序列，其中，

表示的均值生成序列，2.2.1GM（1,1）建立命題1：序列的GM（1,1）模型定義為則參數(shù)的表達(dá)式為2.2.2新息改進(jìn)GM（1,1）模型設(shè)，其參數(shù)為的GM（1,1）模型如上為系統(tǒng)最新信息，由于它與預(yù)測(cè)時(shí)間最為接近，因而對(duì)系統(tǒng)特征的研究更具價(jià)值，記，由建立的GM（1,1）模型稱(chēng)為新息GM（1,1）模型。該模型的邊界條件為2.2.2新息改進(jìn)GM（1,1）模型若將含系統(tǒng)最新信息的條件作為邊界條件，即，得到如下模型定義2.1：稱(chēng)為新息改進(jìn)GM（1,1）模型。2.2.2新息改進(jìn)GM（1,1）模型命題2：新息改進(jìn)GM（1,1）模型的參數(shù)估計(jì)為2.2.3灰色模型的建模步驟（1）級(jí)比檢驗(yàn)、建?？尚行苑治?。對(duì)給定序列，能否建立高精度的GM（1,1）模型，一般可用的級(jí)比的大小與所屬區(qū)間來(lái)判斷。設(shè)，，若，則可GM（1,1）建模。2.2.3灰色模型的建模步驟（2）數(shù)據(jù)變換處理。對(duì)級(jí)比檢驗(yàn)不合格的序列，經(jīng)過(guò)平移變換、對(duì)數(shù)變換、方根變換等進(jìn)行變換。（3）建立GM（1,1）模型（4）模型檢驗(yàn)。1）殘差檢驗(yàn)：為由模型得到的估計(jì)值

（4）模型檢驗(yàn)

一般要求，最好；一般要求，最好。2）后驗(yàn)差檢驗(yàn)：設(shè)為原始序列，為模型序列，為殘差序列，的均值和方差分別（4）模型檢驗(yàn)

的均值和方差分別為后驗(yàn)差比值和小誤差頻率分別為，（5）預(yù)報(bào)的均值和方差分別為，2.2.5實(shí)例1.GM（1.1）模型某城市道路交通噪聲平均級(jí)數(shù)數(shù)據(jù)為＝（71.1，72.4，72.4，72.1，71.4，72.0，71.6）（1）求級(jí)比：1.GM（1.1）模型所有，可作GM（1,1）建模（2）對(duì)原始數(shù)據(jù)作一次累加1.GM（1.1）模型構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣1.GM（1.1）模型1.GM（1.1）模型（3）建立模型白化方程為取，得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)1.GM（1.1）模型=-30928.85259+30999.95259（4）求生成序列及模型還原值令，,6，由上面的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)計(jì)算，取1.GM（1.1）模型由，取，7，得（5）模型檢驗(yàn)見(jiàn)表5表5GM（1,1）模型檢驗(yàn)表序號(hào)原始值模型值殘差相對(duì)誤差精度171.171.100100%272.472.400100%372.472.20.20.28%99.72%472.172.100100%571.471.9-0.5-0.7%99.3%672.071.70.30.42%99.5