高中物理奧林匹克競賽專題5.剛體力學基礎習題

習題5-1.如圖，一輕繩越過兩個質量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸圓滑，兩個定滑輪的轉動慣量均為mr2/2，將由兩個定滑輪以及質量為2m和m的重物構成的系統(tǒng)從靜止開釋，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內的張力。解：受力解析如圖2mgT22ma（1）T1mgma（2）(T2T1)rJ（3）(TT1)rJ（4）ar(5)聯(lián)立a1g，T11mg485-2.以以下圖,一均勻細桿長為l，質量為m，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上,設開始時桿以角速度0繞過中心O且垂直與桌面的軸轉動，試求（:1）作用于桿的摩擦力矩；（2）第1頁/共12頁經過多長時間桿才會停止轉動。（1）設桿的線m，在桿上取一小l質元dmdxdMgxdx考慮對稱（2）依據(jù)轉動定律MJJddt因此t0l3g5-3.以以下圖，一個質量為m的物體與繞在定滑輪上的繩索相聯(lián)，繩索的質量可以忽視，它與定滑輪之間無滑動。假設定滑輪質量為M、半徑為R,其轉動慣量為MR2/2，試求該物體由靜止開始著落的過程中，著落速度與時間的關系。整理(m1M)dvmg2dt第2頁/共12頁5-4.輕繩繞過必定滑輪，滑輪軸圓滑，滑輪的質量為M/4，均勻分布在其邊沿上，繩索A端有一質量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質量為M/4的重物，如圖。已知滑輪對O軸的轉動慣量JMR2/4，設人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求B端重物上升的加速度？解：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設u為人相對繩的速度，v為重物上升的速度，系統(tǒng)對軸的角動量依據(jù)角動量定理dLMdt因此ga25-5.計算質量為m半徑為R的均質球體繞其軸線的轉動慣量。證明：設球的半徑為R，總重量為m，體密度3m3，4R將球體劃分為好多厚度為dZ的圓盤，第3頁/共12頁則盤的體積為(R2Z2)2dZ5-6.一輕彈簧與一均勻細棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)k40N/m，當0o時彈簧無形變，細棒的質量m5.0kg，求在0o的地址上細棒最少應擁有多大的角速度，才能轉動到水平位置？解：機械能守恒依據(jù)幾何關系(x0.5)21.52123.28rads15-7.以以下圖，一質量為m、半徑為R的圓盤，可繞O軸在鉛直面內轉動。若盤自靜止著落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤到虛線所示的鉛直地址時，質心C和盤緣A點的速率；（2）在虛線地址軸對圓盤的作用力。解：在虛線地址的C點設為重力勢能的零點，降落過程機械能守恒27方向向上FymgmR3mg第4頁/共12頁5-8.以以下圖，長為l的輕桿，兩端各固定質量分別為m和2m的小球，桿可繞水平圓滑固定軸O在豎直面內轉動，轉軸O距兩端分別為1l和32l．輕桿本來靜止在豎直地址。今有一質量為m的小球，以3水平速度v0與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以1v0的速度返2回，試求碰撞后輕桿所獲取的角速度。解：依據(jù)角動量守衡有5-9.一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為)，圓盤可繞經過此中心O的豎直固定圓滑軸轉動。開始時，圓盤靜止，一質量為m的子彈以水平速度v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊沿并嵌在盤邊上，求：(1)子彈擊中圓盤后，盤所獲取的角速度；(2)經過多少時間后，圓盤停止轉動。(圓圍繞經過O的豎直軸的轉動慣量為1MR2，忽視子彈重力造成的摩擦阻2力矩。)第5頁/共12頁解（1）角動量守恒mvR1MR2mR22（2）MdMdmgrRM2gr22πrdrMgR0R3由（1）已得：2mv，代入即得M2mR5-10.有一質量為m1、長為l的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞經過其端點O且與桌面垂直的固定圓滑軸轉動。還有一水平運動的質量為m2的小滑塊，從側面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設碰撞時間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為

3mvt2Mgv1和v2，如圖所示。求碰撞后從細棒開始轉動到停止轉動的過程所需的時間。(已知棒繞O點的轉動慣量J1m1l2)3碰撞時角動量守恒細棒運動起來所遇到的摩擦力矩5-11.以以下圖，滑輪轉動慣量為0.01kgm2，半徑為7cm；物體的質量為5kg，用一細繩與勁度系數(shù)200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽視不計。求：（1）當繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而著落的最大距離。(2)物體的速度第6頁/共12頁達最大值時的地址及最大速率。（1）機械能守恒。設著落最大距離為h（2）1kx21mv21J2mgx222若速度達最大值，dv0dx5-12.設電風扇的功率恒定不變成P，葉片遇到的空氣阻力矩與葉片旋轉的角速度成正比，比率系數(shù)的k，并已知葉片轉子的總轉動慣量為J。（1）本來靜止的風扇通電后t秒時刻的角速度；（2）風扇穩(wěn)固轉動時的轉速為多大？（3）風扇以穩(wěn)固轉速旋轉時，斷開電源后風葉還可以連續(xù)轉多少角度？解：（1）通電時依據(jù)轉動定律有MMrJdJdtt2d代入兩邊積分dt00Pk（2）風扇穩(wěn)固轉動時的轉速mPk（3）kJdk0ddd0Jm5-13.以以下圖，物體A放在粗糙的水平面上，與水平桌面之間的摩擦系數(shù)為，細繩的一端系住物體A，另一端纏第7頁/共12頁繞在半徑為R的圓柱形轉輪B上，物體與轉輪的質量同樣。開始時，物體與轉輪皆靜止，細繩廢弛，若轉輪以0繞其轉軸轉動。試問：細繩剛繃緊的瞬時，物體A的速度多大？物體A運動后，細繩的張力多大？解：細繩剛繃緊時系統(tǒng)機械能守恒5-14.質量為m的兒童站在半徑為R、轉動慣量為J的可以自由轉動的水平平臺邊沿上(平臺可以無摩擦地繞經過中心的豎直軸轉動)。平臺和兒童開始時均靜止。當兒童忽然一相對地面為v的速率沿臺邊沿逆時針走動時，此平臺相對地面旋轉的角速度為多少？解：此過程角動量守恒0mrvJ5-15.以速度v0作勻速運動的汽車上，有一質量為m（m較?。?，邊長為l的立方形貨物箱，如圖所示。當汽車遇到前面阻礙物急剎車停止時，貨物箱繞其底面A邊翻轉。試求：（1）汽車剎車停止瞬時，貨物箱翻轉的角速度及角加速度；（2）此時，貨物箱A第8頁/共12頁邊所受的支反力。解：（1）角動量守恒mv0l2ml23v0234l依據(jù)轉動定律mgl2ml23g234l（2）Nxmacxmacncos450mactcos450思慮題5-1.一輕繩越過一擁有水平圓滑軸、質量為M的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量m1和m2的物體(m1<m2)，以以下圖.繩與輪之間無相對滑動，某時刻滑輪沿逆時針方向轉動，則繩的張力多大？m1gT1m1a（1）T2m2gm2a（2）插入圖5-29(T1T2)rJ（3）ar(4)聯(lián)立方程可得T1、T2。T2T1第9頁/共12頁5-2.一圓圍繞過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度按圖示方向轉動，若如圖所示的狀況那樣，將兩個大小相等方向相反但不在同一條直線的力F沿盤面方向同時作用到盤上，則盤的角速度如何變化？答：增大5-3.個人站在有圓滑固定轉軸的轉動平臺上,雙臂挺直水平川舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平縮短到胸前的過程中,人、啞鈴與轉動平臺構成的系統(tǒng)的：（A）機械能守恒,角動量守恒;（B）機械能守恒,角動量不守恒,（C）機械能不守恒,角動量守恒;（D）機械能不守恒,角動量不守恒.答：（C）5-4.在邊長為a的六邊形極點上，分別固定有質量都是m的6個質點，如第10頁/共12頁圖所示。試求此系統(tǒng)繞以下轉軸的轉動慣量：（1）設轉軸Ⅰ、Ⅱ在質點所在的平面內，如圖a所示；（2）設轉軸Ⅲ垂直于質點所在的平面，如圖b所示。以Ⅰ為軸轉動慣量以Ⅱ為軸轉動慣量以Ⅲ為軸轉動慣量

J9ma2J3ma2J7.5ma25-5.如圖a所示，半徑分別是R1和R2、轉動慣量分別是J1和J2的兩個圓柱體，可繞垂直于圖面的軸轉動，最先大圓柱體的角速度為0，此刻將小圓柱體向左湊近，直到它遇到大圓柱體為止。因為互相間的摩擦力，小圓柱體被帶著轉動，最后，當相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉動。試問這類狀況角動量能否守恒？為何？小圓