第三章差分方程模型

第三章差分方程模型

第二章中所建立的數(shù)學(xué)模型大多數(shù)是用連續(xù)變量來描述研究對(duì)象的變化規(guī)律的，即連續(xù)模型，而在現(xiàn)實(shí)世界里有很多對(duì)象涉及的變量本身就是離散的，自然可以用離散模型描述其數(shù)量關(guān)系。本章就來介紹一類離散模型—差分方程模型。目錄3.1貸款買房3.2市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型3.3人口的預(yù)測(cè)和控制3.4差分方程簡(jiǎn)介習(xí)題與參考文獻(xiàn)什么是差分方程3．1貸款買房3．1．1問題與背景一對(duì)年輕夫婦準(zhǔn)備購(gòu)買一套住房，但缺少資金近6萬元。假設(shè)它們每月可有節(jié)余900元，且有如下的兩種選擇：使用銀行貸款60000元。月利率0.01，貸款期25年=300個(gè)月；到某借貸公司借貸60000元，月利率0.01，22年還清。只要（i）每半個(gè)月還316元，(ii)預(yù)付三個(gè)月的款你能幫他們做出明智的選擇嗎？3.1.2建模與求解

問題的解答思考題兒童教育基金現(xiàn)在國(guó)內(nèi)主要銀行機(jī)構(gòu)已開始為小學(xué)三年級(jí)以上的學(xué)生開辦了學(xué)生教育基金業(yè)務(wù)。只需家長(zhǎng)每年為學(xué)生向銀行存入y元，若銀行的年復(fù)利率為r，則若干年后該學(xué)生便可獲得相應(yīng)的資助。n年后教育基金的總額為何？養(yǎng)老基金隨著社會(huì)保障制度的不斷完善，已有許多單位和企業(yè)為職工建立了養(yǎng)老基金。當(dāng)職工參加工作后，其每月工資被扣除一部分作為個(gè)人的養(yǎng)老基金，所在單位（若經(jīng)濟(jì)效益好的話）每月再投入一定數(shù)量的錢，通常退休后就可以動(dòng)用，每月從養(yǎng)老基金中提出x元。假設(shè)月利率不變，還允許在建立養(yǎng)老基金時(shí)自己可以一次性地存入y0元，每月存入y元（個(gè)人和單位投入的總和）。請(qǐng)問養(yǎng)老基金的變化情況如何？3．2市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型

3.2.1問題與背景隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的逐步確立與不斷完善，人們已越來越意識(shí)到按市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)規(guī)律辦事的重要性。例如，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中存在這樣的循環(huán)現(xiàn)象，一個(gè)時(shí)期某種商品供過于求，則會(huì)導(dǎo)致價(jià)格下跌，而價(jià)格下跌又會(huì)引發(fā)該商品生產(chǎn)的減少，使下一個(gè)時(shí)期該商品供不應(yīng)求從而導(dǎo)致價(jià)格的再度上揚(yáng)。在沒有外界干預(yù)情況下，這種現(xiàn)象將如此循環(huán)下去。這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中商品的價(jià)格和數(shù)量必然是振蕩的。在現(xiàn)實(shí)生活中這樣的振蕩會(huì)出現(xiàn)不同的形式，有的振幅漸小趨向比較平穩(wěn)，有的則振幅越來越大使得政府不得不做必要的干預(yù)。雖然，今天的人們已不再為各種商品價(jià)格的小幅振蕩而驚恐，但作為企業(yè)，商家乃至個(gè)體經(jīng)營(yíng)者就很關(guān)心市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，以便把握科學(xué)規(guī)律使自己更好地生存與發(fā)展。3．2．2蛛網(wǎng)模型與差分模型

3．2．3模型求解與參數(shù)的意義

3．2．4數(shù)值例子

據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市前一年度的豬肉產(chǎn)量為30萬噸，肉價(jià)為6元/公斤。本年度生產(chǎn)豬肉25萬噸，肉價(jià)為8.00元/公斤，已知下一年度的豬肉生產(chǎn)量為28萬噸。若維持目前的消費(fèi)水平與生產(chǎn)模式，并假定豬肉產(chǎn)量與價(jià)格之間是線性關(guān)系，問若干年后豬肉的生產(chǎn)量與價(jià)格是否會(huì)趨于穩(wěn)定？若能夠穩(wěn)定，求出穩(wěn)定的生產(chǎn)量和價(jià)格。3．2．5模型的推廣

3．3人口的預(yù)測(cè)和控制

3．3．1問題與背景

人口發(fā)展的預(yù)測(cè)和控制事關(guān)國(guó)民生計(jì)，特別對(duì)我們這樣的人口大國(guó)更是重要。在人口預(yù)測(cè)中人口按年齡分布狀況是十分重要的，因?yàn)椴煌挲g人的生育率和死亡率有著很大的差別。因此在建立模型時(shí)還應(yīng)考慮人口按年齡的分布，即除了時(shí)間變量之外，還應(yīng)考慮年齡變量的影響。盡管我們可以建立此類問題的連續(xù)模型，但在實(shí)際應(yīng)用中連續(xù)模型卻不大方便，因此本節(jié)我們直接建立人口問題的離散模型——差分方程模型。3．3．2人口發(fā)展方程

3．3．3人口指數(shù)3．4差分方程簡(jiǎn)介

差分方法不僅廣泛用于建立離散的數(shù)學(xué)模型過程中，而且在連續(xù)模型化為離散模型的數(shù)值計(jì)算中也有著十分重要而廣泛的應(yīng)用。如微分方程與偏微分方程的數(shù)值解法。本節(jié)僅就有關(guān)差分方程的知識(shí)作簡(jiǎn)要介紹。3．4．1基本概念

3．4．2常系數(shù)線性差分方程求解舉例3.4.3差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性簡(jiǎn)介習(xí)題與思考題參考文獻(xiàn)葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材（二）.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1997姜啟源.數(shù)學(xué)模型.北京：高等教育出版社，1993任善強(qiáng).數(shù)學(xué)模型.重慶：重慶大學(xué)出版社，1998（美）G.F.賽蒙斯.微分方程.北京：人民教育出版社，1981E.A.本德.數(shù)學(xué)模型引論.北京：科學(xué)普及出版社，1982湛安琦.科