廣東省高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第19頁/共19頁第二學(xué)期3月月考高二數(shù)學(xué)試題試卷分?jǐn)?shù)：150分考試時(shí)間：120分鐘一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題滿分5分，共40分）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可.【詳解】∵，∴.故選：A．2.二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)，由常數(shù)項(xiàng)為60，列方程可求出的值【詳解】，令，所以.令，解得，故選：C.3.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.e D.2【答案】D【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)后，將代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D4.已知為等比數(shù)列,,,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件可得的值，進(jìn)而由和可得解.【詳解】或.由等比數(shù)列性質(zhì)可知或故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的下標(biāo)的性質(zhì)，屬于中檔題.5.“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.非充分非必要條件【答案】C【解析】【分析】利用“”“”，即可判斷出結(jié)論.【詳解】解：“”“”，“”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定、不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到直線與直線和直線分別平行時(shí)或直線過直線和直線的交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，再分別計(jì)算相應(yīng)的值即可.【詳解】由題知：①當(dāng)直線與直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.②當(dāng)直線與直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.③當(dāng)直線過直線與直線交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.所以，解得將代入，解得.所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線間的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.7.已知多項(xiàng)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)、、、中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，規(guī)定：如果選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了兩個(gè)選項(xiàng)，則其得分的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解.【詳解】由題得從4個(gè)選項(xiàng)里選兩個(gè)選項(xiàng)，共有種方法，從3個(gè)正確選項(xiàng)里選擇兩個(gè)選項(xiàng)，共有種方法.由古典概型的概率公式得所求的概率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用古典概型的概率公式求解，先要求出基本事件的總數(shù)，再求出事件A的基本事件的數(shù)量，再利用古典概型的概率公式求解.8.若一個(gè)三棱錐的底面是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)均為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)側(cè)棱相等的三棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面三角形的外心，而球心在過底面三角形外心且與底面垂直的直線上，構(gòu)造三角形借助勾股定理可解.【詳解】三條側(cè)棱棱長(zhǎng)相等，∴P在底面的射影D是的外心，又∵是斜邊為BC的等腰直角三角形，∴D是BC中點(diǎn)，易知直線PD上的點(diǎn)到A、B、C的距離相等，故三棱錐外接球的球心O在直線PD上，記球的半徑為R，則直角三角形BOD中有，，故外接球表面積為.故選：D二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，共20分.每題的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（）A.是等差數(shù)列B.不是等差數(shù)列C.若是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是D.若是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為一元二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，可判斷不是等差數(shù)列;利用是遞增數(shù)列對(duì)于恒成立，可解出的取值范圍.【詳解】對(duì)于AB:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為對(duì)應(yīng)的函數(shù)為為一元二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng),因?yàn)?，有常?shù)項(xiàng).所以不是等差數(shù)列.故B正確.對(duì)于CD:因?yàn)椋?若是遞增數(shù)列，則則.故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式性質(zhì)與遞增數(shù)列的性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.10.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為7C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標(biāo)，以及半徑和，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據(jù)大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關(guān)系是外離，又為圓上的點(diǎn)，為圓上的點(diǎn)，便可求出其最值，用斜率公式求出.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯(cuò)誤.故答案：ABC11.設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有1個(gè)極大值點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的有（）A.在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn) B.在有2個(gè)極小值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增 D.可以取【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求出函數(shù)的周期為，再結(jié)合在上有且僅有1個(gè)極大值點(diǎn)畫出函數(shù)圖象，由圖象可判斷ABC，求得的值及相關(guān)性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，又因?yàn)樵谏嫌星覂H有1個(gè)極大值點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象如圖所示.所以在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，在有2個(gè)極小值點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，由解得，.所以BD正確，AC錯(cuò)誤.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是畫出函數(shù)的圖象，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.12.，若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.二項(xiàng)式系數(shù)的和為 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用賦值法可判斷BD選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，可得，A對(duì)，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ACD.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.計(jì)算：________.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)公式計(jì)算可得；【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，可得斜率，進(jìn)而得出切線的點(diǎn)斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點(diǎn)睛】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點(diǎn)斜式方程；③化簡(jiǎn)整理.15.設(shè)A，B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是______.【答案】（0，1]∪[9，+∞）【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸上兩種情況進(jìn)行討論,再根據(jù)臨界條件點(diǎn)在橢圓的短軸端點(diǎn)上,進(jìn)而求解的臨界值,進(jìn)而求得取值范圍即可.【詳解】假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則0＜m＜3時(shí),假設(shè)M位于短軸的端點(diǎn)時(shí),∠AMB取最大值,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：0＜m≤1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m＞3,假設(shè)M位于短軸的端點(diǎn)時(shí),∠AMB取最大值,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：m≥9,∴m的取值范圍是（0,1]∪[9,+∞）故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中的范圍問題,主要是臨界條件的分析方法,屬于中檔題.16.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)滿足點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱是函數(shù)一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（與可看作同一“姊妹點(diǎn)對(duì)”）.已知?jiǎng)t的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有_______個(gè).【答案】2.【解析】【分析】根據(jù)題意可知，只需作出函數(shù)y=x2+2x（x<0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【詳解】根據(jù)題意可知，“友好點(diǎn)對(duì)”滿足兩點(diǎn)：都在函數(shù)圖象上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.可作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.如圖所示：當(dāng)時(shí)，觀察圖象可得：它們有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合畫出圖像即可求解，屬于中等題.四?解答題（本大題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在公差為2的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的公差為,得到,,再根據(jù),,成等比數(shù)列,由等比中項(xiàng)公式得出首項(xiàng),代入通項(xiàng)公式即可得通項(xiàng).（2）由（1）得,數(shù)列,是等差加等比的形式,所以數(shù)列求和用分組求和即可..【詳解】解：（1）∵的公差為,∴,.∵,,成等比數(shù)列,∴,解得,從而.（2）由（1）得,.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和分組求和,是數(shù)列中最基本的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.18.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長(zhǎng).試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.19.在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，證明，，即證明平面PAC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及可證明結(jié)論；（2）取CD中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接AF，PF,證明平面PAF，從而說明是二面角的平面角．解直角三角形APF,即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接AC交于BD點(diǎn)O,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以．又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，，又因?yàn)?，所以平面PAC，平面PAC，所以．【小問2詳解】取CD中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接AF，PF,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，，所以是等邊三角形，所以．因平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以平面PAF，平面PAF，所以，所以是二面角的平面角．因?yàn)椋瑒t,因?yàn)?，所以，所?所以二面角的正弦值為．20.2020年某地蘋果出現(xiàn)滯銷現(xiàn)象，為了幫助當(dāng)?shù)毓r(nóng)度過銷售難關(guān)，當(dāng)?shù)卣c全國(guó)一些企業(yè)采用團(tuán)購(gòu)的方式帶動(dòng)銷售鏈，使得當(dāng)?shù)毓r(nóng)積壓的許多蘋果有了銷路．為了解果農(nóng)們蘋果的銷售量情況，當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)局隨機(jī)對(duì)100名果農(nóng)的蘋果銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照，，，分成4組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試估計(jì)這100名果農(nóng)蘋果銷售量的平均數(shù)；（2）根據(jù)題中的頻率分布直方圖，估計(jì)銷售量樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）假設(shè)這100名果農(nóng)在未打開銷路之前都積壓了2萬千克的蘋果，通過團(tuán)購(gòu)的方式果農(nóng)每千克蘋果的純利潤(rùn)為1.3元，而積壓仍未售出的蘋果每千克將損失2元的成本費(fèi)，試估計(jì)這100名果農(nóng)積壓的蘋果通過此次團(tuán)購(gòu)活動(dòng)獲得的總利潤(rùn)．【答案】（1）平均數(shù)為1.4萬千克；（2）156.7；（3）62萬元.【解析】【分析】（1）平均數(shù)為長(zhǎng)方形面積與各組中點(diǎn)的乘積再求和；（2）前三個(gè)長(zhǎng)方形面積之和為0.7，小于0.8，那么在第四個(gè)長(zhǎng)方形中取面積為0.1的長(zhǎng)方形即可，且80%分位數(shù)為；（3）算出每組每位果農(nóng)獲得的利潤(rùn)，然后求出總利潤(rùn).【詳解】解：（1）設(shè)這100名果農(nóng)蘋果銷售量的平均數(shù)為百千克，則，故這100名果農(nóng)蘋果銷售量的平均數(shù)為1.4萬千克．（2）因?yàn)?，，所?0%分位數(shù)在第4組內(nèi)，且80%分位數(shù)為．（3）銷售量在的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為萬元；銷售量在的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為萬元；銷售量在的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為萬元；銷售量在的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為萬元．因?yàn)椋?，，這4組的人數(shù)分別為5，20，45，30，所以這100名果農(nóng)積壓的蘋果通過此次團(tuán)購(gòu)活動(dòng)獲得的總利潤(rùn)約為萬元．21.已知橢圓的離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在圓上？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)系，求出即可得出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式得出，得出中點(diǎn)關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)在圓上求出即可判斷.【詳解】解：（1）由題意得，解得故橢圓的方程為．（2）設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為．聯(lián)立直線與橢圓的方程得即，所以，即，且，，即，又因?yàn)镸點(diǎn)在圓上，所以，解得，與矛盾，故實(shí)數(shù)m不存在．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求的值及的極值；（2）是否存在區(qū)間，使函數(shù)在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若不等式對(duì)任意恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1），在處取得極大值1，無極小值；（2）存在符合條件的區(qū)間，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）整數(shù)的最大值為3．【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的值，求出的值，從而求出的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值即可；（2）畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出的范圍即可；（3）問題可化為，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可．【詳解】（1）由，得．因?yàn)樵邳c(diǎn)，（e）處的切線與直線垂直，所以，解得，所以，令，得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處