2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二年級下冊學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.2．直線的傾斜角為______．【答案】【分析】將一般式方程整理為斜截式方程可得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系求得傾斜角.【詳解】由，可得，所以直線的斜率為，所以傾斜角為.故答案為：.3．雙曲線的漸近線方程為_________．【答案】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)即可求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的相關(guān)知識可知：，所以焦點(diǎn)在軸雙曲線的漸近線方程為：故答案為：4．若圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則該圓錐的體積為_____．【答案】．【分析】利用勾股定理及圓錐的體積公式即可求解.【詳解】因?yàn)閳A錐的母線長為5，底面半徑為3，所以圓錐的高，所以該圓錐的體積為．故答案為：．5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為_____．【答案】【分析】連接，交于，連，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得結(jié)果.【詳解】連接，交于，連，如圖所示：因?yàn)?，且在底面?nèi)的射影是，所以由三垂線定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三垂線定理，考查了求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，屬于基礎(chǔ)題.6．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由和關(guān)于直線對稱，可得直線的斜率，并且中點(diǎn)在直線上，列出方程組，求解即可.【詳解】設(shè)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，又和關(guān)于直線對稱，所以有整理得，即.故答案為：．7．若直線與圓相切于點(diǎn)，則________.【答案】3【分析】根據(jù)題意，先由圓的方程求出圓心為，根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)列出方程組，求出，即得解.【詳解】根據(jù)題意的圓心為：，若直線與圓相切于，則有故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為____.【答案】【詳解】分析：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)槭钦拿骟w，不妨設(shè)令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點(diǎn)分，切記.9．已知點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______;【答案】【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示，消元，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以有最小值，故答案為：10．已知異面直線所成角為，直線與均垂直，且垂足分別是點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡圍成的區(qū)域的面積是__________;【答案】【分析】構(gòu)造線段的中垂面，求得點(diǎn)的軌跡，從而求得的軌跡圍成的區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)線段的中垂面為，則的軌跡在平面內(nèi)，在平面內(nèi)分別作直線的投影，則兩直線的夾角為，設(shè)在平面的投影為，設(shè)在平面內(nèi)的投影為，則為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，在直線上分別取點(diǎn)四點(diǎn)，使得，因?yàn)?，所以，過作交于，則，所以的中點(diǎn)在上，同理可得在上，所以的軌跡是矩形，因?yàn)?，，所?故答案為：【點(diǎn)睛】求解空間異面直線所成角有關(guān)的問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于如何利用兩異面直線所成的角，根據(jù)異面直線所成的角的概念，可在空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行直線，從而可得異面直線所成角.11．已知點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L取得最小時(shí)的面積為__________;【答案】【分析】先求得左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義求得的周長，根據(jù)直線的方程和雙曲線方程，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得的面積.【詳解】雙曲線，，右焦點(diǎn)，設(shè)其左焦點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，此時(shí)在第一象限，此時(shí)直線的方程為，由，以及點(diǎn)在第一象限，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)的距離的和差的最值，可以通過雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線等情況來求解最值.求三角形的面積，可利用三角形的面積公式直接求解，也可以利用割補(bǔ)法來進(jìn)行求解.二、單選題12．方程表示的曲線是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】通過消去來確定正確答案.【詳解】由得，所以，即，是橢圓.故選：B13．已知是不重合的直線，是不重合的平面，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)線面平行判定定理、線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判別，可得答案.【詳解】對于A，若，則或，所以A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，若，則或或與相交，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)面面垂直判定定理，可得C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，若，則或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.14．已知拋物線與直線，“”是“直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先推出直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件，再判斷與“”的關(guān)系．【詳解】解：若直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，則，解得，．則由可推出，而推不出，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合方程根的判斷，屬于基礎(chǔ)題．三、多選題15．如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)軌跡長度為B．當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的軌跡長度為C．當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)滿足D．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)滿足【答案】ABC【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：A.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，即，如圖在平面EFGH中，建立平面直角坐標(biāo)系，記的圓心為O，與交于，，令，解得，，所以，其對應(yīng)的圓弧長度為，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)P的軌跡長度為：，故正確；B.當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，由，得，即，如圖在平面EFGH中，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程表示的軌跡是線段NQ，而，故正確；C.當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，由，得，即，解得，所以存在唯一的點(diǎn)滿足，故正確；D.當(dāng)時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于平面EFGH的對稱點(diǎn)為，則，所以故不存在點(diǎn)P滿足，故錯(cuò)誤，故選：ABC四、解答題16．如圖，梯形ABCD滿足AB//CD，，現(xiàn)將梯形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體記敘(1)求的體積V(2)求的表面積S【答案】(1)(2)【詳解】試題分析：（1）旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱，根據(jù)圓柱與圓錐體積公式求體積，最后求和得的體積V（2）表面積為圓錐側(cè)面積與圓柱側(cè)面積以及一個(gè)底面圓的面積之和，代入對應(yīng)公式可得結(jié)果試題解析：17．已知直線，直線，點(diǎn)，為和的交點(diǎn).求分別滿足下列條件要求的過點(diǎn)的直線方程.(1)平行于直線.(2)點(diǎn)到所求直線的距離最大.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程組，可得，進(jìn)而求解；（2）要使點(diǎn)到所求直線的距離最大，則所求直線與直線垂直，可得所求直線的斜率，進(jìn)而求解.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，即，因?yàn)橹本€的斜率為，所以所求直線方程為：，即.（2）由（1）知，，則要使點(diǎn)到所求直線的距離最大，則所求直線與直線垂直，所以所求直線的斜率為，則所求直線方程為：，即.18．如圖，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M為AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABC；(2)求直線PB與平面ABC所成角的大小．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）推導(dǎo)出，，由此能證明平面ABC；（2）連結(jié)BM，則是直線PB和平面ABC所成的角，由此能求出直線PB和平面ABC所成的角．【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，所以．又，，且，所以平面．又在平面內(nèi)，所以．因?yàn)椋?，，所以平面．?）解：連結(jié)，由（1）知平面，所以是直線和平面所成的角．因?yàn)闉榈冗吶切?，所?又為等腰直角三角形，且，所以．因?yàn)?，所以，則所以直線和平面所成的角的大小等于．19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.(1)若為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的離心率.(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限且在上，若，求直線的方程.(3)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與相交于點(diǎn).求證:以為直徑的圓必過定點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)證明過程見解析【分析】（1）求出，從而得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出離心率；（2）求出，設(shè)出，根據(jù)列出方程，求出，得到直線方程；（3）設(shè)出直線：，，與聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，列出直線，得到，同理得到，得到以為直徑的圓的圓心和半徑，得到圓的方程，得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得：，故的一個(gè)焦點(diǎn)為，即，解得：，，所以雙曲線的離心率；（2）準(zhǔn)線方程為：，故，設(shè)，，則，，則，解得：，因?yàn)?，所以，，所以直線的方程為，即；（3）設(shè)直線：，，與聯(lián)立得：，設(shè)，則，直線中，令得：，故，同理可得：，則以為直徑的圓圓心為其中，故以為直徑的圓圓心為，又，故半徑為則以為直徑的圓的方程為，當(dāng)或時(shí)，恒成立，故以為直徑的圓恒過點(diǎn)和.【點(diǎn)睛】圓過定點(diǎn)問題常見策略，方法一：通法，引入?yún)⒆兞?，建立曲線方程，通常要求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的和與積，表達(dá)出圓心和半徑，列出圓的方程，求出定點(diǎn)，這當(dāng)中可由對稱性猜測出定點(diǎn)所在的位置，從而簡化計(jì)算；方法二：根據(jù)題目條件，挖掘出隱含的幾何關(guān)系，從而找到圓過得定點(diǎn)，難度較大.20．圓，圓，動(dòng)圓與兩圓、外切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍；（3）是否存在直線與軌跡交于點(diǎn)，使，且，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，使得題設(shè)成立【分析】（1）確定圓和圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓外切時(shí)圓心距和半徑之間的關(guān)系可得，，可知點(diǎn)軌跡滿足雙曲線軌跡，為雙曲線的上半支；從而根據(jù)定義可求得軌跡方程；（2）設(shè)，結(jié)合漸近線斜率可確定，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用即可求得的范圍；（3）當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)；與拋物線方程聯(lián)立可求得，從而表示出；將與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式可求得，由可整理得到；兩直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用建立等式，可得，從而得到方程組，解方程組可求得的值.【詳解】（1）由圓的方程可知，圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑設(shè)，且動(dòng)圓半徑為則，即到，的距離之差為定值，且，滿足雙曲線定義點(diǎn)軌跡為雙曲線的上半支，軌跡方程為：（2）設(shè)直線方程為：雙曲線漸近線方程為，且與雙曲線上半支有兩個(gè)交點(diǎn)

聯(lián)立得：，解得：或（舍），即直線斜率的取值范圍為（3）當(dāng)時(shí)，直線為，顯然不成立當(dāng)時(shí)，直線