2022-2023學年上海市浦東新區(qū)高二年級上冊學期期末數學試題【含答案】

2022-2023學年上海市浦東新區(qū)高二上學期期末數學試題一、填空題1．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則這個圓錐的表面積等于______．【答案】【分析】根據圓錐軸截面的定義結合正三角形的性質，可得圓錐底面半徑長和高的大小，由此結合圓錐的表面積公式，能求出結果．【詳解】∵圓錐的軸截面是正三角形，邊長等于2∴圓錐的高，底面半徑.∴這個圓錐的表面積：.故答案為．【點睛】本題給出圓錐軸截面的形狀，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質和圓錐的軸截面等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．已知數列是等差數列，，，則這個數列的公差_________.【答案】【分析】根據等差數列通項公式直接計算.【詳解】由等差數列得，解得，故答案為：.3．設，則方程的解集為______.【答案】##【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得.所以方程的解集為.故答案為：4．的展開式中的系數為_______．【答案】【分析】根據二項定理展開通項，求得的值，進而求得系數．【詳解】根據二項定理展開式的通項式得所以，解得所以系數故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應用，屬于基礎題．5．我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除，某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現采用分層隨機抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調查專項附加扣除的享受情況，則應該從青年員工中抽取的人數為________人．【答案】12【分析】根據分層抽樣的抽樣原理即可求解．【詳解】采用分層隨機抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調查專項附加扣除的享受情況，則應該從青年員工中抽取的人數為．故答案為：12．6．從個人中選人負責元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人員不重復，則一共有___________種安排方式（結果用數值表示）.【答案】【分析】分別確定第一天、第二天、第三天值班的人，結合分步乘法計數原理可求得結果.【詳解】從個人中選人負責元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人員不重復，由分步乘法計數原理可知，不同的安排方法種數為.故答案為：.7．已知隨機事件和相互獨立，若，（表示事件的對立事件），則__________【答案】【分析】求出的值，再利用獨立事件的概率乘法公式可求得的值.【詳解】由對立事件的概率公式可得，由獨立事件的概率乘法公式可得，因此，.故答案為：.8．已知數列的前項和為，滿足對任意的，均有，則______.【答案】【分析】根據遞推公式得到，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，利用等比數列的通項即可求解.【詳解】因為對任意的，均有，則有，當時，，所以；當時，，也即，因為，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，則，故答案為：.9．由0、1、2、3、4、5六個數字組成無重復數字且數字2、3相鄰的四位數共______個（結果用數字表示）．【答案】60【分析】分兩種情況：四位數有0和沒有0時，然后求出數字2,3相鄰的即可.【詳解】四位數沒有0時，數字2,3相鄰看作一個數字，2,3需要排列，所以有種，四位數有0時，求出數字2,3相鄰，看作一個數，2,3排列，0只能在后兩位置選一個，所以有種，故滿足題意的共有60個；故答案為：60.10．如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1（允許一側無珠），記上、中、下三檔的數字和分別為，，.例如，圖中上檔的數字和.若，，成等差數列，則不同的分珠計數法有____種.【答案】32【分析】先確定每檔可取的整數，再根據公差分類討論，最后根據分類計數原理得結果.【詳解】每檔可取7到14中的每個整數，若公差為0，共有8種；若公差為±1，則共有12種；若公差為±2，則共有8種；若公差為±3，則共有4種；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32種，故答案為32【點睛】本題考查分類計數原理，考查基本分析求解能力，屬難題.11．已知矩形的周長為6，則將其繞所在直線旋轉一周所得圓柱的體積最大值為______．【答案】【分析】根據已知條件及圓柱的體積公式，再利用導數法求解最值即可.【詳解】設，則，所以將周長為6的矩形繞所在直線旋轉一周所得圓柱的體積為.則，令，即，解得（舍）或.當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減；所以當，即，時，取得最大值為所以將其繞所在直線旋轉一周所得圓柱的體積最大值為.故答案為：.12．已知，則______________.【答案】10206【分析】對已知關系式兩邊同時求導，可得，再根據的展開式的各項系數和與的展開式的各項系數和的絕對值相等求解即可.【詳解】對已知關系式兩邊同時求導，可得，因為的展開式的各項系數和與的展開式的各項系數和的絕對值相等，所以.故答案為：10206.二、單選題13．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是.A．90 B．75 C．60 D．45【答案】A【詳解】樣本中產品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數為36，∴樣本總數為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數為120×0.75＝90.【解析】頻率分布直方圖.14．函數可導，“函數在點處的導數值為0”是“函數在點處取極值”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】舉特例說明導數值為0，但不是極值點，即可得到結果.【詳解】導數值為0的點不一定是函數的極值點.對于函數，，雖然，但是由于無論還是，恒有，即函數是增函數，所以0不是函數的極值點.一般地，函數在一點處的導數值為0是函數在該點處取極值的必要條件，而非充分條件.故選：B.15．的展開式為多項式，其展開式經過合并同類項后的項數一共有（

）A．72項 B．75項 C．78項 D．81項【答案】C【分析】由多項式展開式中的項為，即，將問題轉化為將2個隔板和11個小球分成三組，應用組合數求項數即可.【詳解】由題設，多項式展開式各項形式為且，故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即.故選：C16．為評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度與時間的關系為．甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論：①

在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；②

在時刻，甲、乙血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；③

在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；④

在兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同.其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①③【答案】D【分析】理解瞬時變化率和平均變化率的概念，結合導數的幾何意義可知，瞬時變化率是在此點處切線的斜率，平均變化率是，再結合圖象，逐一判斷選項即可．【詳解】解：對于①，在時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即①正確；對于②，在時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即②錯誤；對于③，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在，內，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即③正確；對于④，在，和，兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即④錯誤．故正確的只有①③；故選：D．三、解答題17．2022年，第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，某國家隊26名球員的年齡分布莖葉圖如圖所示：(1)該國家隊25歲的球員共有幾位？求該國家隊球員年齡的第75百分位數；(2)從這26名球員中隨機選取11名球員參加某項活動，求這11名球員中至少有一位年齡不小于30歲的概率．【答案】(1)3位；第75百分位數是30(2)【分析】（1）根據莖葉圖和百分位數公式，即可計算結果；（2）根據對立事件和組合數公式求概率.【詳解】（1）由莖葉圖可知，25歲的球員共有3位球員；因為，所以第75百分位數是第20位，由莖葉圖可知，年齡從小到大排列，第20位球員的年齡是30；（2）11名球員沒有年齡不小于30的概率,所以這11名球員中至少有一位年齡不小于30歲的概率.18．在直三棱柱中，，，，D是AB的中點．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：∥平面；(3)求三棱柱的外接球的表面積．【答案】(1)5；(2)詳見解析；(3).【分析】（1）由題可得，然后結合條件利用棱錐體積公式即得；（2）設與相交于點，可得，根據線面平行的判定定理，即得；（3）由題可得三棱柱的外接球即為以為棱的長方體的外接球，然后利用長方體的性質即得.【詳解】（1）因為，，，所以，即，又D是AB的中點，所以；（2）設與相交于點，連接，在中，為的中點，為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（3）由題可知在直三棱柱中，兩兩垂直，所以直三棱柱的外接球即為以為棱的長方體的外接球，設直三棱柱的外接球的半徑為，則，即，所以三棱柱的外接球的表面積為.19．已知數列滿足，.(1)求證：數列是等比數列；(2)求數列的通項公式；(3)寫出的具體展開式，并求其值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用構造法，得到，可證明是等比數列；（2）根據等比數列的通項公式，求出，進而可求的通項公式；（3）直接寫出的具體展開式，根據，利用等比數列的前項和公式，直接計算可得答案.【詳解】（1），等式兩邊同時加上2，得，又，則為首項是3，公比的等比數列（2）由（1）得，為首項是3，公比的等比數列，，故.（3）20．已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．【答案】(1)0.21；(2)0.44；(3)0.94.【分析】（1）根據概率乘法得三人都命中概率為；（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三種情況討論，結合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正難則反的原則，求出其對立事件即三人全未命中的概率，再根據對立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）設事件：甲投籃命中;事件：乙投籃命中;事件：丙投籃命中.甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.（2）設事件:恰有兩人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.（3）設事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.21．已知，(1)當時，求函數在點處的切線方程；(2)當時，求函數的單調區(qū)間；(3)當時，方程在區(qū)間內有唯一實數解，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求導，根據導數的幾何意義求切線方程；（2）求導，分類討論求單調區(qū)間；（3）根據題意整理可得在區(qū)間內有唯一實數解，構建，利用導數求的單調性，數形結合分析運算.【詳解】（1）當時，則，可得，故，即切點坐標為，切線斜率，故函數在點處的切線方程為．（2）由題意可知：函數定義域為，且，注意到，令，解得或，①當，即時，與在上的變化情況如下1+00+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；②當時，在定義域內恒成立，所以函數的單調遞增區(qū)間為；綜上所述：當時，函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，函數的單