2023年3月21日數(shù)學(xué)中考模擬試卷

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一、解答題（共15小題；共159分）

1.二次函數(shù)??=??????

2?1

的圖象在對稱軸的右側(cè)，??隨??的增大而增大，求??的值．

2.閱讀下面解題過程，解答相關(guān)問題．

請你利用上面求一元二次不等式解集的過程，求不等式??2?3??≤0的解集．解：步驟一：構(gòu)造二次函數(shù)??=.在坐標(biāo)系中畫出示意圖，如圖.步驟二：求得方程的解為.步驟三：借助圖象，可得不等式??2?3??≤0的解集為.

3.為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為40m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如下圖的①②二塊矩形區(qū)域．設(shè)????的長度為??m，矩形區(qū)域????????的面積為??m2．

（1）求??與??之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）??為何值時，??有最大值?最大值是多少?4.已知二次函數(shù)??=??2+2??+1?????+1．

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（1）隨著??的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點??是否都在某條拋物線上?假使是，請求出該拋物

線的函數(shù)表達(dá)式；假使不是，請說明理由．

（2）假使直線??=??+1經(jīng)過二次函數(shù)??=??2+2??+1?????+1圖象的頂點??，求此時??

的值．

5.已知二次函數(shù)??=??2????2及實數(shù)??>?2．求：（1）函數(shù)在?2答案

第一部分1.∵??=??????

2?1

是二項函數(shù)．

∴??2?1=2．

又∵在對稱軸右側(cè)，圖象??隨??增大而增大．∴??>0，解得??=3．2.步驟一：??2?3??，

步驟二：??2?3??=0，??1=0，??2=3；步驟三：0≤??≤3.

3.（1）設(shè)????的長度為??m，則????=340???，則矩形區(qū)域????????的面積??=3??40???=?3??2+（2）∵??=?3??2+

1

403

1

1

403

1

??．

??=?3???202+

4003

14003

，

∴當(dāng)??=20時，??有最大值，最大值是求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式如下：

m2．

4.（1）該二次函數(shù)圖象的頂點??是在某條拋物線上．利用配方，得??=??+??+12???2?3??，頂點坐標(biāo)是P????1,???2?3??．

方法一：分別取??=0,?1,1，得到三個頂點坐標(biāo)為??1?1,0，??20,2，??3?2,?4，過這三個頂點的二次函數(shù)表達(dá)式是??=???2+??+2．

將頂點坐標(biāo)??????1,???2?3??代入??=???2+??+2的左、右兩邊，左邊=???2?3??，

右邊=?????12+????1+2=???2?3??，∴左邊=右邊，

即無論??取何值，頂點??都在拋物線??=???2+??+2上，即所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是??=???2+??+2．（注：方法一中必需有“左邊=右邊〞的證明）方法二：令????1=??．將??=????1代入??=???2?3??，

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得??=?????12?3????1=???2+??+2．即所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是??=???2+??+2．

（2）假使頂點??????1,???2?3??在直線??=??+1上，則???2?3??=????1+1，即??2=?2??．∴??=0，或??=?2．

∴當(dāng)直線??=??+1經(jīng)過二次函數(shù)??=??2+2??+1?????+1圖象的頂點??時，??的值是?2或0．5.（1）函數(shù)??=??2????2的圖象如圖．

當(dāng)?20，∴拋物線與??軸必有兩個交點．

∴不管??取何值，拋物線與??軸必有兩個交點，且有一個交點是??2,0．（2）∵??2,0，????2+3,0，∴??=????=??2+1．

11.（1）∵點??是直線??=??+1與??軸的交點，∴???1,0．

設(shè)頂點為0,?1的拋物線的解析式為??=????2?1，∵點???1,0在拋物線??=????2?1上，∴0=???1，∴??=1，

∴拋物線的解析式為??=??2?1；

??=??+1,（2）解方程組

??=??2?1.

??=?1,??2=2,得1

??1=0,??2=3.故點??的坐標(biāo)為2,3．

（3）設(shè)平移后的拋物線的解析式為??=?????2+2??，把??=??代入??=?????2+2??，得??=?????2+2??，

整理得，??2?2??+1??+??2+2??=0，

由題可得??=2??+12?4×1×??2+2??=1?4??≥0，解得??≤4．

故當(dāng)??≤4時，平移后的拋物線總有不動點．?1???+??=0,12.（1）由題意得：

?16+4??+??=0.

??=3,解得

??=4.

∴拋物線的表達(dá)式為??=???2+3??+4．（2）∵??點坐標(biāo)為0,4，

∴△??????為等腰直角三角形，且∠??????為直角．∵??，??，??為頂點的三角形與△??????相像，

11

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∴△??????為等腰直角三角形，又????⊥直線??，∴????=????．

設(shè)????,???2+3??+4??>0，則????=??，????=∣???2+3??+4?4∣=∣??2?3??∣．∴??=∣??2?3??∣，

∴??2?3??=±??，解得??=2或??=4．∴點??的坐標(biāo)為2,6或4,0．（3）∵??0,4，??4,0，∴直線????的表達(dá)式為??=???+4，

設(shè)????,???2+3??+4??>0，則????,???+4，∴????=???2+3??+4????+4=???2+4??．

∴??△??????=??△??????+??△??????=??+4???×????=×4×????=?2??2+8??=?2???22+8．

2

2

1

1

∴當(dāng)??=2時，△??????的面積??能取最大值8，此時??點坐標(biāo)為2,6．13.（1）令??=0得??2?2????+??2?4=0，解得??1=???2，??2=??+2，

∴?????2,0，????+2,0，??0,??2?4．∵點??在??軸正半軸，∴??2?4>0，

設(shè)存在實數(shù)??，使得△??????為等腰三角形，則????=????，即∣??+2∣=??2?4，①當(dāng)??+2>0時，??2?4=??+2，解得??=3或??=?2（舍去）；②當(dāng)??+216．4???2??+2=6,14.（1）由題意，得

4??+2??+2=2.

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3

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??=,2解得??=?1.

∴拋物線解析式為??=2??2???+2．

（2）∵??=??2???+2=???12+．

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∴頂點??坐標(biāo)為1,2.∴直線????為??=???+4，∴對稱軸與????的交點??1,3.

∴??△??????=??△??????+??△??????=××3+××1=3．

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2

2

1313

??=?2??+??,

得??2???+4?2??=0，當(dāng)△=0時，直線與拋物線只有一個交點，（3）由12

??=??