2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽試題及答案

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江西省預(yù)賽試題

（考試時間：9月24日上午8:30-11:00）

一．填空題（共8題，每題10分，合計(jì)80分）

1．設(shè)多項(xiàng)式f(x)滿足：對于任意x?R，都有f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x,則f(x)的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．?dāng)?shù)列{an},{bn}滿足：akbk?1,k?1,2,?,已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為An?列{bn}的前n項(xiàng)和Bn?＿＿＿＿＿＿.

n，則數(shù)n?11?x23．函數(shù)f(x)?的值域是＿＿＿＿＿＿.

x?24．過拋物線y2?8x的焦點(diǎn)F,作一條斜率為2的直線l，若l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則?OAB的面積是＿＿＿＿＿＿.

sinA?cos(A?B)，則tanA的最大值為＿＿＿＿5.若?ABC為銳角三角形，滿足

sinB＿＿.

6.若正三棱錐的內(nèi)切球半徑為1，則其體積的最小值為＿＿＿＿＿＿.

7.將1,2,?,9隨機(jī)填入右圖正方形ABCD的九個格子中，則其每行三數(shù)，每列三數(shù)自上而下、自左而右順次成等差數(shù)列的概率

p?＿＿＿＿＿＿.

8.將集合M?{1,2,?12}的元素分成不相交的三個子集：M?A?B?C，其中，且ak?A?{a1,a2,a3,a4}B?{b1,b2,b3,b4}C?{c1,c2,c3,c4}c1＜c2＜c3＜c4，bkc?kk?1,2,3,4,則集合C為：＿＿＿＿＿＿.

，

二．解答題（共2題，合計(jì)70分）

N分別是兩段弧9.（20分）如圖，AB是圓的一條弦，它將圓分成兩部分，M、的中點(diǎn)，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將弓形AMB順時針旋轉(zhuǎn)一個角度成弓形A1MB，AA1的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q.求證：MN?2PQ.

x2y210.（25分）給定橢圓C:2?2?1,(a＞b＞0)以及圓?O:x2?y2?b2，自橢圓

ab上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P，做?O的兩條切線，切點(diǎn)為M,N，若直線MN在x,ya2b2a2軸上的截距分別為m,n；證明：2?2?2.

nmb

11.（25分）對于2n個素數(shù)組成的集合M?{p1,p2,?,p2n}，將其元素兩兩搭配成n個乘積，得到一個n元集，假使A?{a1a2,a3a4,?,a2n?1a2n,}與B?{bb12,b3b4,?,

b2n?1b2n}是由此得到的兩個n元集，其中{a1,a2,?,a2n}={b1,b2,?,b2n}?M，且

A?B??，就稱集合對{A,B}是由M炮制成的一副“對聯(lián)〞.(例如當(dāng)n?2時，

由四元集{a,b,c,d}可炮制成三副“對聯(lián)〞：{ab,cd}?{ac,bd}，{ab,cd}?{ad,bc}

{ac,bd}?{ad,bc}).

(1).當(dāng)n?3時，求6元素集M?{a,b,c,d,e,f}所能炮制成的“對聯(lián)〞數(shù)；（2）對于一般的n?2，求由2n元素集M所能炮制成的“對聯(lián)〞數(shù)T(n).

2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題答案

1.-2

n(n?1)(n?2)2.

3?3?3.?0,??3?4.455.246.837.

89!8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}

9.思路：取AB中點(diǎn)E，A1B中點(diǎn)F，可證PEBF為菱形；證明角MFP=角PEN；再證角PNE=角MPF；然后證角MPN為直角

10.關(guān)鍵步驟：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)，易的OMPN四點(diǎn)共圓，此圓方程減圓O方程得直線MN方程x0x?y0y?b211.（1