多階段抽樣和二重抽樣

多階段抽樣和二重抽樣第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二．多階抽樣特點(diǎn)1．抽樣框構(gòu)造相對(duì)容易2．節(jié)省人力、物力3．保持了整群抽樣相對(duì)集中的優(yōu)點(diǎn)，又克服了群內(nèi)同質(zhì)性強(qiáng)的弱點(diǎn)4．誤差與階段多少有關(guān)第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三．符號(hào)總體初級(jí)單元數(shù)：N第一階段樣本量（初級(jí)單元數(shù)）：n第i個(gè)初級(jí)單元中基本單元數(shù)：第i個(gè)初級(jí)單元中第二階樣本量：第i個(gè)初級(jí)單元中第j個(gè)二級(jí)單元觀測(cè)值：樣本中第i個(gè)初級(jí)單元第j個(gè)二級(jí)單元的觀測(cè)值：第一階段和第二階段的抽樣比：，第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二階單元個(gè)數(shù)：，指標(biāo)總和：，第i個(gè)初級(jí)單元指標(biāo)總和：，第i個(gè)初級(jí)單元均值：,第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總體均值：，初級(jí)單元間的方差：，初級(jí)單元內(nèi)的方差：第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第i個(gè)初級(jí)單元內(nèi)的方差：是所有的平均值，即：同理有：第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四．推斷原理

證明：第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)初級(jí)單元相等的情況以此說(shuō)明多階抽樣原理，，，…，相等，相等，直接用表示一．估計(jì)量均值的無(wú)偏估計(jì)為：

其方差為：（1）第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假定n=1,第二階段抽取m個(gè)單位用估計(jì),誤差大小取決于和m，即其次，用推斷時(shí)，推斷誤差大小取決于和n，當(dāng)n=1時(shí)，，這時(shí)，若以n個(gè)的均值推斷，其方差為

再考慮fpc，則（1）式成立。第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

的無(wú)偏估計(jì)為：

證明：（2）

但不是的無(wú)偏估計(jì)計(jì)算時(shí)，不受二階抽樣影響，用計(jì)算則不然。第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四即所以的無(wú)偏估計(jì)為（3）第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四結(jié)合（2）、（3）式，得到

類似地，可以得到三階抽樣的估計(jì)方差第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總量Y的估計(jì)

比例P的估計(jì)

為第i個(gè)初級(jí)單元中具有所研究特征的二級(jí)單元數(shù)

第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二．樣本的最優(yōu)分配即n和m的關(guān)系，最優(yōu)分配指，費(fèi)用一定方差最小，或方差一定費(fèi)用最省設(shè)費(fèi)用函數(shù)：（4）第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四使上式達(dá)到極小的充要條件是:從而滿足其中，。由上式看出，m與，成正比，與，成反比求出m后，利用（4）式，即可求出n第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)初級(jí)單元不等的情況對(duì)初級(jí)單元進(jìn)行分層，使層內(nèi)初級(jí)單元規(guī)模相仿按初級(jí)單元規(guī)模不等處理加權(quán)處理不等概抽樣一、等概抽樣，加權(quán)估計(jì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽初級(jí)單元，估計(jì)使用加權(quán)思想第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⒈簡(jiǎn)單平均估計(jì)，

此時(shí)沒(méi)有考慮權(quán)數(shù)，估計(jì)量有偏遺憾的是，現(xiàn)實(shí)中這種情況常出現(xiàn)第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⒉加權(quán)估計(jì)初級(jí)單元的平均規(guī)模：總體均值的估計(jì)為：

該估計(jì)量無(wú)偏證明：第18頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四估計(jì)量的方差為：

第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四加權(quán)的總量估計(jì)

第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3．比率估計(jì)該估計(jì)量是有偏的，

第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總量估計(jì)

該估計(jì)量是有偏的，當(dāng)樣本量較大時(shí)

第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二．按不等概抽初級(jí)單元

1．按PPS抽取初級(jí)單元第i個(gè)單元被選中概率，（）以總量估計(jì)為例，利用Hansen－Hurwitz估計(jì)量Y的估計(jì)：

可以證明是Y的無(wú)偏估計(jì)第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四估計(jì)量方差

的無(wú)偏估計(jì)為：=

證明：對(duì)兩個(gè)分量分別估計(jì)第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二階段方差分量的無(wú)偏估計(jì)為第一階段方差分量的無(wú)偏估計(jì)為故

=+=第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

滿足自加權(quán)條件的情形自加權(quán)含義：各最終單元入選樣本的概率相同,如果一個(gè)估計(jì)量可以表達(dá)為樣本觀測(cè)值的常倍數(shù)，則稱這種估計(jì)量是自加權(quán)的。對(duì)漢森—赫維茨估計(jì)量而言第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由，變形得到：成為自加權(quán)的條件是為一常數(shù)，即：，顯然也是常數(shù)第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這里為總體中任意一個(gè)二級(jí)單元被抽中的概率，即總的抽樣比。

當(dāng)時(shí)，若大，則小，最終每個(gè)單元入樣概率一樣。由此可得出自加權(quán)條件是第一階段PPS，第二階段第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若是自加權(quán)樣本，總體總量Y的估計(jì)為：

方差估計(jì)為：

可見(jiàn)非常簡(jiǎn)單第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．按PS抽取初級(jí)單元估計(jì)量比較復(fù)雜初級(jí)單元的包含概率為和，采用Horvitz–Thompson（霍維茨—湯普森）估計(jì)總量的估計(jì)為：

它是無(wú)偏估計(jì)，且它的方差為：第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四實(shí)踐中的處理(1)按PPS抽取上一級(jí)單元，如重復(fù)抽中，下級(jí)單元加倍；這是規(guī)范做法(2)按PS抽樣，按PPS估計(jì)依據(jù)，兩者差異不大，近似計(jì)算第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三．關(guān)于比例估計(jì)1、初級(jí)單元規(guī)模不等情況下兩階段均采用等概率抽樣從初級(jí)單元數(shù)N中等概抽取n個(gè)單元；在第i個(gè)中選初級(jí)單元的個(gè)次級(jí)單元中，等概抽選個(gè)單元第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四估計(jì)量本質(zhì)上這是一個(gè)比率估計(jì)

第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、第一階段PPS，第二階段等概率抽樣采用自加權(quán)抽樣設(shè)計(jì)第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)二階抽樣的擴(kuò)展一、分層二階抽樣將初級(jí)單元分層，然后在每層中采用二階段抽樣從抽樣方法看，有等概抽樣，PPS抽樣；從估計(jì)方法看，加權(quán)估計(jì)，比率估計(jì)等前面講過(guò)均值、總量估計(jì)原理可以運(yùn)用第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基本原理：

其中：，與分層估計(jì)類似第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四估計(jì)量的方差

其中，，。第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四自加權(quán)設(shè)計(jì)若：各層二階段單元的聯(lián)合抽樣比相同，樣本是自加權(quán)的此時(shí)，估計(jì)簡(jiǎn)化為：

第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二．多階抽樣問(wèn)題以三階為例，抽樣過(guò)程：前二階采用PPS，最后一階按等概率抽取最終單元，且各階段樣本量對(duì)不同單元都等于常數(shù)，則所得樣本是自加權(quán)的。此時(shí)有：第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第九章二重抽樣(DoubleSampling)一．基本問(wèn)題1．什么是二重抽樣第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．作用從總體中篩選主調(diào)查對(duì)象搜集輔助信息，提高估計(jì)效率降低無(wú)回答偏倚處理連續(xù)性抽樣中的樣本輪換問(wèn)題第42頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3．與二階抽樣的區(qū)別抽樣框不同使用目的不同估計(jì)方法也不完全相同第43頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4．一般公式設(shè)，是對(duì)第一步求均值與方差；，是對(duì)第二步求均值與方差；

原理類似二階抽樣，具體內(nèi)容有異第44頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二．為分層的二重抽樣1．抽樣步驟（1）采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽取為第一重樣本，進(jìn)行分層；，是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)；（2）采用分層隨機(jī)抽樣，第h