多項式插值與數值逼近

多項式插值與數值逼近第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四

實際問題中經常要涉及到函數值的計算問題： （1）如果函數表達式本身比較復雜，且需要多次重復計算時，計算量會很大；（2）有的函數甚至沒有表達式，只是一種表格函數，而我們需要的函數值可能不在該表格中。對于這兩種情況，我們都需要尋找一個計算方便且表達簡單的函數來近似代替，這就是數值逼近問題。

問題背景第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§1插值問題

/*InterpolationProblem*/（插值的定義）已知定義于區(qū)間上的實值函數在個互異節(jié)點

處的函數值，若函數集合中的函數滿足則稱為在函數集合中關于節(jié)點的一個插值函數，并稱為被插值函數,[a,b]為插值區(qū)間，為插值節(jié)點，（*）式為插值條件。設外插法：內插法：用計算被插值函數在點處的近似值用計算被插值函數在點處的近似值第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四插值類型代數插值：集合為多項式函數集x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)幾何意義：有理插值：集合為有理分式函數集三角插值：集合為三角函數集第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四截斷誤差插值余項設在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間[a,b]上存在,

是滿足插值條件（*）的不超過n次的插值多項式，則對存在，滿足其中。且當在區(qū)間[a,b]有上界時，有代數插值的插值余項/*Remainder*/第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§2代數插值多項式的構造方法一、拉格朗日多項式

/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0

,y0)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四與有關，而與無關n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每個li(x)

有n

個根x0…

xi-1

、

xi+1…xn-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial節(jié)點f第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例如也是一個插值多項式，其中可以是任意多項式。（2）Lagrange插值多項式結構對稱，形式簡單.（3）誤差估計注：（1）若不將多項式次數限制為n

，則插值多項式不唯一。（4）當插值節(jié)點增加時，拉氏基函數需要重新計算，

n較大時，計算量非常大,故常用于理論分析。第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§3埃爾米特插值

/*HermiteInterpolation*/不僅要求函數值重合，而且要求若干階導數也重合。即：要求插值函數滿足，注：

N

個條件可以確定次多項式。N

1要求在1個節(jié)點x0處直到m0階導數都重合的插值多項式即為Taylor多項式其余項為一般只考慮與的值。第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§4分段插值

/*piecewiseInterpolation*/一、高次插值評述1、從插值余項角度分析為了提高插值精度，一般來說應該增加插值節(jié)點的個數，這從插值余項的表達式也可以看出，但不能簡單地這樣認為，原因有三個：插值余項與節(jié)點的分布有關；余項公式成立的前提條件是有足夠階連續(xù)導數（即函數足夠光滑），但隨著節(jié)點個數的增加，這個條件一般很難成立；隨著節(jié)點個數的增加，可能會增大。隨著節(jié)點個數增加到某個值，誤差反而會增加。第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四注意下面圖中曲線的變化情況！例3：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點附近誤差越大，稱為Runge

現象Ln(x)

f(x)第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、分段插值的構造方法將插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間（通常取等距劃分）采用低次插值在區(qū)間上得到分段函數第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四分段線性插值基函數(1)、分段線性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每個區(qū)間上，用1階多項式

(直線)逼近

f(x):第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四(2)分段二次插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每個區(qū)間上，用2次多項式

(拋物線)逼近

f(x):分段二次插值基函數第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§5三次樣條插值/*CubicSplineInterpolation*/

許多實際工程技術中一般對精度要求非常高，（1）要求近似曲線在節(jié)點連續(xù)；（2）要求近似曲線在節(jié)點處導數連續(xù)，即充分光滑。

分段插值不能保證節(jié)點的光滑性，而Hermite插值需要知道節(jié)點處的導數值，實際中無法確定。

問題背景第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四一、三次樣條函數的力學背景

在工程技術和數學應用中經常遇到這樣一類數據處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點列，要求用一條光滑曲線把這些點按次序連接起來。........壓鐵彈性木條.數據點形象地稱之為樣條曲線第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、三次樣條函數定義及求法設在區(qū)間上給定一個分割，定義在上的函數如果滿足下列條件：(1)在每個小區(qū)間內是三次多項式(2)在整個區(qū)間上，為二階連續(xù)可導函數，即在每個節(jié)點處則稱為三次樣條函數第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四假設現在已知函數在節(jié)點處的函數值：如果三次樣條函數滿足則稱為插值于的三次樣條函數，簡稱三次樣條插值函數。如何求