高數(shù)課件3.諾必達法則

一、未定00xa(x00f(x)g(x)0f(x)

(

f(x)?g(x)?g(x)

導(dǎo) 例如，limsinx

1cos2

,

x 0二、0定理 limf(x)limF(x)0 ②、f(x)F(xU(aF(x)0③、limf(x)存在或為無窮大xaF(x)

f

fxaF(x)

xaF(x) 定理1中x→a換xa,xa,x,x,x推論 若limf(x)仍屬0型，且f(x),F(x)滿F(x) limf(x)limf(x)limfF(x) F(x) F例

x1

x33x 003x2x00

3x2解

x1

2x x16x 注意不是未定式不能 法則

lim6x16x

x1例 求limxsinx 解lim1cosxlimsin limcosx 1cos

lim

注等價無窮小的替換準則 例 ①、limtanxx ②、

x2sin 3xsin x0(1cosx)ln(1 exex③、

xsin ax④、lim .

2(a2

xsin4arctan例 求lim . xx x解

1

x1arctan思考如何求lim (n為正整數(shù))? nx2sin 求lim x sin解x0x~sinx2sin原式lim xlimxsin1 說明利 f(x)時，如g(x)limf(x)不存在且不等于∞時，只表 g(x)、、定理 limf(x)limF(x) ②、f(x)F(xU(aF(x)0③、limf(x)存在或為無窮大xaF(x)

f

fxaF(x)

xaF(x)例 求limlncotx

(csc2解原式limcot lim

x

x0sinxcosx0cos 求limlnx(n0) 1解原式lim lim

x例 求lim (0,0)xx解①、

(1)x2

e

2e lim 0

ue②、kx1 xxk

xke e e xk x x

x xxx注lnx,xn,ex(0)x時的無窮大，但它們增大的速度很不一樣，例 ①、求

1x2x解解

1x2

11x2②、

xsinxx解limxsinxlim1sinx

x 四、其他未定式：000100000轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)0取對數(shù)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)00例 求limxnlnx(n0 解原式limlnx

xn

) 轉(zhuǎn)00轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)00轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)0

取對數(shù) 1 求lim(secxtan22解

sinxlim1sin

cos

2 limcosx2 sin2轉(zhuǎn)00轉(zhuǎn)0轉(zhuǎn)00轉(zhuǎn)0轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)00例 求limx00解lim

limexlnxe0 1limxlnxlimlnx

limx0 0x

x0 例

0lim(cotx)ln0解lim(cotx)lnx

1ln(cotlimelnx

lnx

tanx(csc2x) x x0sinxcos

x0cos法轉(zhuǎn)000 轉(zhuǎn)000轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

取對數(shù) 1作1(單)

limf(x)是未定式極限,如果f g(x)f(x)g(x)

g(x).②、limcotx 1 sin x 分析

原式limcosx(xsin limxsin

xsin21cos

1

1

3x2

lim x0 3sinxx2cos③lim xx0(1cosx)ln(1 3sinxx2cos

21(3分析:原 lim 2 nn④nn

分析

limn nnnn1nln1111nelnnn

n2nn1lnn

eeu ln n

n2xx⑤、limx2