彈性波動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)復(fù)習(xí)題剖析

從而使其形狀改變，當(dāng)外力作用取消后，物體的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)立刻消2．物體在什么條件下表現(xiàn)為彈性性質(zhì)，在什么條件下表現(xiàn)為塑性性質(zhì)?表現(xiàn)為彈性體性質(zhì)。外力作用大，作用時(shí)間長(zhǎng)的情況下，物體會(huì)表現(xiàn)為的基本假設(shè)有哪些?(1)介質(zhì)是連續(xù)的(2)物體是線性彈性的(3)介質(zhì)是均勻的(4)物體是各向同性的(5)物體的位移和應(yīng)變都是微小的(6)物體無(wú)初應(yīng)力4．什么是彈性動(dòng)力學(xué)中的理想介質(zhì)?答：正應(yīng)變是彈性體沿坐標(biāo)方向的相對(duì)伸縮量。切應(yīng)變表示彈性體扭轉(zhuǎn)exx=exy=+ezx=++卜xxyyzzzxyyzzxxyz22a,a,6,6都是與1相比很小的數(shù)，試求應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動(dòng)角位移矢量及2變)。1122lzx?x?zlzx?x?z應(yīng)變張量t=|(a6+6|1126+6012 (0000)xxyyzz?x?y?z12xxyyzz?x?y?z12000000(u=k(y-y)|0|0(au應(yīng)變張量:=(0(00 (00000)0)00)xxyyzzaxayazxxyyzzaxayaz應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力、應(yīng)力張量?答：作用于單位截面積上的內(nèi)力，稱為應(yīng)力。應(yīng)力作用方向與作用截面垂直，稱為正應(yīng)力；應(yīng)力作用方向在作用截面上，稱為切應(yīng)力。三個(gè)相nxxxnxxxm得P02yxz702P處的應(yīng)力張量由矩陣T050給出。204Tn解：外法線單位矢量為2i2jk221222212333P由Pnyxy lP75030413nx333ny33nz333則則：P4ijn3910Pn98.楊氏模量、泊松比、剪切模量、體變模量各表示了什么物理含義?(2)切變模量，是切應(yīng)力與切應(yīng)變的比例系數(shù)；(3)拉梅系數(shù)，，反映正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù)的另一種形x(4)壓縮模量或體變模量K，表示單元體在脹縮應(yīng)變狀態(tài)下，相對(duì)(5)泊松比v，表示物體橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比例系數(shù)，故也稱松比為0.28；其中一點(diǎn)處的應(yīng)變分量為xxyyyzzxzzxyxxyyzz xxxx yyyy xyxyyzyz|(-20||其中〈v=xz試求點(diǎn)P(0,2,-4)處的應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動(dòng)向量、體應(yīng)變以題可知在P(0,2,-4)點(diǎn)(8-4則應(yīng)變張量為e則應(yīng)變張量為eij=|-40=o)i+o)j+o)kxyz222222222))yy|xyyxxyyzzyyzxzzxijijT+pF=pu..中，化為矢量方程，并用梯度算子表示。ji,jii解：由T=-p(x,y,z)6可知ijijxx|T=0)zx|T=0卜代入運(yùn)動(dòng)微分方程-+pFx=pu2)?2)S2)?2)S2p=Ep=EPSPSpS2PS4．什么叫泊松體?泊松體的拉梅常數(shù)、縱橫波速度、泊松比各有什么特1答：O=，或者入=山，具有這種性質(zhì)的物體稱為泊松體。對(duì)泊松體而4====v山S=PSp山===答：惠更斯(Huygens)原理：任意時(shí)刻波前面上的每一點(diǎn)都可以看作是一個(gè)新的波源(子波源)，由它產(chǎn)生二次擾動(dòng)，形成新的波前，而以后的波前位置可以認(rèn)為是該時(shí)刻子波前的包絡(luò)線。由波前面各點(diǎn)所形成的新擾動(dòng)(二次擾動(dòng))在觀測(cè)點(diǎn)上相互干涉疊加，其疊加結(jié)果是在該點(diǎn)觀測(cè)斯奈爾(Snell)定律：反射波滿足反射定律，而透射波滿足折射定式。1f=T11f11f入vTv答：非均勻波的振幅在空間是變化的，隨著空間坐標(biāo)在變化。不均勻平121i的振幅分別為A和A，試寫出這三個(gè)波的波函數(shù)表達(dá)式。rt解：臨界角sini=v1=3，入射角9=30。小于臨界角。反射角等于入射v32irtxz入v3600xz(0.06sina xz答：平面波在其傳播過(guò)程中波形及其振幅都不變化，而球面波的振幅隨rr增大而衰減，與r1擴(kuò)散因子：表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源r1柱面波擴(kuò)散因子：表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且r與r成反比。divIdivI0t表明了單位體積的體積元內(nèi)機(jī)械能在單位時(shí)間內(nèi)的減少量等于通過(guò)其表xxxtxytxztI(uvxxxtxytxztI(uvw)yyxtyytyztI(uvw)zzxtzytzzt或Iiijj2xytBexpjkxkzt)]，求應(yīng)變張xxzuxyzzuxyzzy解：由vyzxxzwyx|?v(?ulyz?z?y?zzlyz?z?y?zzxxyyzz(t=pe=0xzzxz波的強(qiáng)度分布I=B2pok2k+kzxz．常見(jiàn)的平面極化波有哪幾種?什么叫轉(zhuǎn)換波?什么時(shí)候會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)換波?射橫波)。轉(zhuǎn)換波的產(chǎn)生是由于入射波傾斜地作用在分界面上，它可分解為垂直于產(chǎn)生。轉(zhuǎn)換波的能量與入射角有關(guān)，垂直入射時(shí)不能形成轉(zhuǎn)換波；只有求解該方程，可以得到以位移位振幅比表示的縱橫波的反射系數(shù)及縱橫波的透射系數(shù)。同時(shí)，也是用位移位振幅比表示的入射縱波和各反射波或透射波的能量分配關(guān)系。可以看出，它們除了同入射角有關(guān)外，還同AS ASppASVVASVVps101p1p1ASVVptASVVpp101p1p1ASVVASVVpspv_pv 波。為了形成反射波，分界面兩側(cè)介質(zhì)波阻抗必須存在著差異，2p21p1 (2)當(dāng)波在波阻抗大的分界面(pv>pv)反射時(shí)，反射系數(shù)2p21p1為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。相反，當(dāng)波入射到波阻抗小的分界面(pv<pv)時(shí)，反射系數(shù)為負(fù)值。這時(shí)反射波相對(duì)入2p21p1半波損失”現(xiàn)象。(3)平面P波垂直入射到彈性界面上時(shí)，在分界面另一側(cè)產(chǎn)生的透pppppp121p1121p11221p1221p12422p2422p24(pv_pvS(pv_pv。答：如果傳播速度成為與地震波的頻率有關(guān)的函數(shù)，那么構(gòu)成脈沖波的各簡(jiǎn)諧分量將分別以各自不同的速度傳播，在經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，各簡(jiǎn)波將逐漸地變?yōu)橐涣胁ǎ@種現(xiàn)象稱為波的頻散(dispersion)。式中的體積積分項(xiàng)是非齊次波動(dòng)方程的特解，對(duì)應(yīng)Ω區(qū)域內(nèi)部震源對(duì)波中的面積積分是齊次波動(dòng)方程的一般解，反映Ω區(qū)域以外的外部空間震推遲位:v(t))v(t-r)C超前位；v(t))v(t+r)4．克其霍夫積分解求解的是哪一類波動(dòng)方程?其求解思路是什么?(1)利用傅立葉變化得到亥姆霍茲方程(2)利用格林公式求解亥姆霍茲方程(3)利用傅里葉反變換求未知函數(shù)v(P,t)答：v(P,t)=jjAejote-jkre-jkr0j(cos9-cos9)dSrr2入0S0不同，貢獻(xiàn)大小由方向因子K(9)決定。12321212232342521對(duì)地下整個(gè)界面S的積分，近似等于對(duì)第一菲涅耳帶S內(nèi)的積分的一半。l2h入菲涅耳帶半徑:r=菲涅耳帶決定著地震反射的橫向分辨率。F2可以看出，界面埋藏越深，地震波波長(zhǎng)越大(頻率越低)，菲涅耳帶半徑及(3)對(duì)數(shù)衰減率6(3)對(duì)數(shù)衰減率6：6=ln0AQ2E2利用在一個(gè)波長(zhǎng)入的距離上(或一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi))地震波能量的相f==或Q=f (2)計(jì)算離開(kāi)震源2200m處2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于球面擴(kuò)散(3)若離開(kāi)震源距離變?yōu)?200m，重新計(jì)算上述內(nèi)容。EQ30f2000離開(kāi)震源2200m處地震波能量的相對(duì)衰減量為：=20004離開(kāi)震源2200m處地震波能量的相對(duì)衰減量為：=30503200010離開(kāi)震源2200m處地震波能量的相對(duì)衰減量為：=3 r2E1484121(3)離開(kāi)震源距離變?yōu)?200m400022Hz的地震波能量的相對(duì)衰減量為：=4000840Hz的地震波能量的相對(duì)衰減量為：=30503400020100Hz的地震波能量的相對(duì)衰減量為：=30203地震波由于球面擴(kuò)散而衰減的能量E=42002一2002=一440E1441|8ve=xxyyzzxx|8ve=xxyyzzxxyyzz公式推導(dǎo)題e=8u為例來(lái)推導(dǎo)xx8xxxABdx8x8we=zz8z9==xxyyzz積MNP變?yōu)镸N/P/。我們假定M位置不變，N移至N/，P移至P/，即垂直線段沿x方錯(cuò)動(dòng)。我們這里假定M點(diǎn)位置不變，其位移為零，并不影響有關(guān)側(cè)面積三N/MP/，變化量9+9，22MN8zzzyz?z?y?u?v?u?v解：據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，相對(duì)伸長(zhǎng)量與作用力(正應(yīng)力)成正比。對(duì)沿x方向另一方面，物體沿一個(gè)方向伸長(zhǎng)時(shí)，在其它兩個(gè)方向會(huì)發(fā)生壓縮。縱向伸長(zhǎng)和橫向壓縮存在著比例關(guān)系，即：〈zzzzzzxxyyzzzzle=e=0xxyyzzzz一般情況每個(gè)方向既發(fā)生縱向伸長(zhǎng)(或壓縮)，也發(fā)生橫向壓縮(或(1)(2)由(1)式和(2)式解得應(yīng)力裝、裝、裝的表達(dá)式xxyyzz令令(0(0入、對(duì)于彈性介質(zhì)體內(nèi)的一體積元dv，p為介質(zhì)密度，則其受慣性力為i?t1i?t1iV?t1J=-jpiV?t1整個(gè)封閉曲面S的面力為SniSjiji則作用在介質(zhì)上的體力為Vi則作用在介質(zhì)上的體力為Vi。X=Xi+Xj+Xkijk，由達(dá)蘭貝爾原理，慣性力與體力和面力相平衡，按作用力各分量列出方SjijViVat2SjijViVat2利用散度定理將面力項(xiàng)化為體積分的形式可得5.由運(yùn)動(dòng)平衡微分方程式星u..=G+星g推導(dǎo)出由位移向量表示的iji,jia2ta2t的展開(kāi)式為理。xxxxyyyyzzzzxyxyyzyzzxzx以式(1)為例代入整理?t?t?t22?y?t22?y?t23?z222?t2?t2V2Q_=v?t2，v?t2。(提示：利用關(guān)系式?t2?t?t2?t2?t2?x2C2?t2?x2C2?t2?t2?t2v2?t2P?t?t222v2vSppspppsp7.利用傅里葉變換法求解波動(dòng)方程一維齊次波動(dòng)方程-=0?27.利用傅里葉變換法求解波動(dòng)方程一維齊次波動(dòng)方程-=0||解：利用傅里葉變換式-w卜對(duì)方程?2f-1?2f=0求傅里葉變換?x2C2?t2?x2C2?t2?2fe-jOtdt-1?2fe-j?x2C2?t2-w-w式中，k=是波數(shù)。此方程就是一維亥姆霍茲方程，它的解C(x,)=()e一j+()ej2變換可得時(shí)間域的解，其形式為1C2C的時(shí)移性質(zhì)0式中，f和f為子波函數(shù)，()和()是它們的傅里葉變換。即212f(t)一(),f(t)一()1122式f(x,t)=f(t一x)+f(t+x)為一維齊次波動(dòng)方程的平面波達(dá)蘭貝爾解。1C2Cf(t一x)是一個(gè)沿+x方向以C為速度傳播的平面波，f(t+x)是一個(gè)沿1C2C波總是分為兩部分傳播出去，這兩部分平面波的傳播方向相反、移函數(shù)1122zyz12121vBj2cosj(txsinzcos)sevsvs1vsosvsvs2vBjcosej(t)Bjcosej(t)01v2vssBBBr2112SHB1且 12，位移v滿足齊次波動(dòng)方程2v12v0，入射波、反sinsin2t212函數(shù)分別為112233其中〈I12II3II3(BB|B2-B3=-1通過(guò)求解此方程組l通過(guò)求解此方程組(|=(|=22222b22b22SAvSAvr=2=2pr=4=4pPPSAvPSSAv11p11sjo(t-xsina-zcosa)jot-xsina+zcosa)44將入射P波、反射P波和反射SV波位移位Q、Q和v，分別代入24?Q?v)得到各類波相應(yīng)的位移分量(u,w)、(u,w)、(u,w)；112244u1=1=-A1jovpsinaejo(t-xsina-zcosavp)w1=1=A1jovpcosaejo(t-xsina-vpzcosa)111v1p222v2p4444v4SAvSAvr=2=2pr=4=4pPPSAvPSSAv11p11s11.瑞雷面波是怎樣產(chǎn)生的？具有什么特點(diǎn)？推導(dǎo)瑞雷面波的位函數(shù)ccR?t2v2p-v2v-v2v=0?t2v2sxxsinaxxsina22-1vejkx(ct-22-1vejkx(ct-x)jkz-1v2ejk(ct-x)sx具有這樣的性質(zhì)。為此將c改寫為v，表示瑞雷面波的傳播速度，k改Rx寫為k，取Rv2v2jkzRjkzRv2Rv2ppv2v2jkzRjkzRv2Rv2ssv2v2RpsRv2vv2Rv2Rv2RPpRpppv2Ov2k2v2O2kkkRv2vv2Rv2Rv2RSsRsss0000 (S一S,)(S一S,)至無(wú)限遠(yuǎn)處。r是P點(diǎn)至Q點(diǎn)的矢量；r是P點(diǎn)223300至Q點(diǎn)的矢量；n是S曲面Q點(diǎn)處外法線方向9：n與r之間的夾角；9：0n與r之間的夾角。00在曲面S上f=Aeiote-ikr0，代入上式整理：r0?r0?n?r?rrrr?r?rrrr00000?n編n)0編n編n)0編n編n)0