2023年湖南高考數(shù)學試題及答案（理數(shù)）

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2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)理科數(shù)學

一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．若log2a?0，()b?1，則21A．a(chǎn)?1,b?0B．a(chǎn)?1,b?0C.0?a?1,b?0D.0?a?1,b?0???????2．對于非零向量a,b,“a?b?0〞是“a//b〞的A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件3．將函數(shù)y?sinx的圖象向左平移?(0???2?)個單位后，得到函數(shù)y?sin(x?．．圖象，則?等于

A．

?6?6)的

B．

5?6C.

x1??x7?6D.

11?64．如圖1，當參數(shù)???1,?2時，連續(xù)函數(shù)y?(x?0)的

yc2c1圖像分別對應曲線C1和C2,則A．0??1??2B．0??2??1

C．?1??2?0D．?2??1?05．從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為o圖1xA．85B．56C．49D．28?x?2y?0,226．已知D是由不等式組?所確定的平面區(qū)域，則圓x?y?4在區(qū)域D內(nèi)的弧

?x?3y?0長為

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A．

?4B．

?2C．

3?4D．

3?27．正方體ABCD?A1B1C1D1的棱上到異面直線AB，CC1的距離相等的點的個數(shù)為

A．2B．3C．4D．58．設函數(shù)y?f(x)在(??,??)內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K，定義函

?f(x),f(x)?K,數(shù)fK(x)??取函數(shù)f(x)?2?x?e?x。若對任意的

f(x)?K.?K,A1DD1B1CC1ABx?(??,??)，恒有fK(x)?f(x)，則

A．K的最大值為2B．K的最小值為2C．K的最大值為1D．K的最小值為1二、填空題：本大題共7小題，每題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題號后的．．．橫線上9．某班共30人，其中15人愛好籃球運動，10人愛好兵乓球運動，8人對這兩項運動都不愛好，則愛好籃球運動但不愛好乒乓球運動的人數(shù)為_12__.10．在(1?x)3?(1?11．若x?(0,?2x)?(1?33x)的展開式中，x的系數(shù)為__7__(用數(shù)字作答).3)，則2tanx?tan(?2?x)的最小值為22.12．已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中有一個內(nèi)角為60?，則

62雙曲線C的離心率為13．一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為

128，則總體中的個體數(shù)為40。14．在半徑為13的球面上有A,B,C三點，AB=6，BC=8，CA=10，則

（1）球心到平面ABC的距離為12；

（2）過Ａ，B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角（銳角）的正切值為3.15．將正?ABC分割成n(n?2,n?N)個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三邊及平行于某邊的任一直

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線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別依次成等差數(shù)列.若頂點A,B,C處的三個數(shù)互不一致且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)?2，f(3)?

103，?，f(n)?

16(n?1)(n?2).AA圖2圖3BCBC三．解答題：本大題共6小題，共75分。解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題總分值12分）在中，已知?????????????????????ABC2AB?AC?3AB?AC?3BC2，求角A，B，C的大小解：設BC?a,AC?b,AB?c由????????????????2AB?AC?3AB?AC得2bccosA?3bc，所以cosA?32.

又A?(0,?),因此A??6

????????????由3AB?AC?3BC2得bc?3a2，于是sinC?sinB?3sin2A?34.

所以sinC?sin(5?6?C)?34，sinC?(132cosC?2sinC)?34，

因此2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C?)?30?由A?????6知0?C?56，所以?3?2C?3?4?3，

從而2C??3?0,或2C????,，既C??,或C?2?363,

故A??,B?2??63,C?6,或A??6,B??6,C?2?3。17．（本小題總分值12分）2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)理科數(shù)學

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為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類.這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的從中任選一個項目參與建設。（I）求他們選擇的項目所屬類別互不一致的概率；（II）記?為3人中選擇的項目屬于基礎設施工程或產(chǎn)業(yè)建設工程的人數(shù)，求?的分布列及數(shù)學期望。解:記第i名工人選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件

Ai,Bi,Ci,i=1，2，3.由題意知A1,A2,A3相互獨立，B1,B2,B3相互獨立，C1,C2,C3相

12，

13，

16.現(xiàn)在3名工人獨立地

互獨立，Ai,Bj,Ck（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不一致）相互獨立，且

P(Ai)?12,P(Bi)?13,P(Ci)?16.（Ⅰ）他們選擇的項目所屬類別互不一致的概率

P=3!P(A1B2C3)?6P(A1)P(B2)P(C3)?6?12?13?16?16.（Ⅱ）解法1：設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為?，由已知，??B（3，

13），且?=3-?。

3所以P（?=0）=P（?=3）=C3()=

31213127，292P（?=1）=P（?=2）=C3()()=

2323，1P（?=2）=P（?=1）=C3()()=

123430P（?=3）=P（?=0）=C3()=

23398，.27故?的分布列是?01271271292493827P?的數(shù)學期望E?=0?827+1?29+2?49+3?=2.解法2:記第i名工人選擇的項目屬于基礎工程或產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件Di，i=1,2,3.

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由已知，D1,D2,D3相互獨立，且P（Di）=（Ai?Ci）=P（Ai）+P（Ci）=所以??B(3,),即P(??k)?C3k()k()3?k，k?0,1,2,3.

33322112+

16=

23，

故?的分布列是?01271292493827P18．（本小題總分值12分）A12AA1，

EDC1B1如圖4，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?點D是A1B1的中點，點E在A1C1上，且DE?AE（I）證明：平面ADE?平面ACC1A1；ABC（II）求直線AD和平面ABC所成角的正弦值。解：（I）如下圖，由正三棱柱ABC?A1B1C1的性質(zhì)知

AA1?平面A1B1C1.又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1.而DE?AE，AA1?AE=A，所以DE?平面ACC1A1.又DE?平面ADE，故平面ADE?平面ACC1A1（2）解法1：如下圖，設F是AB的中點，連接DF，DC1，C1F，

由正三棱柱ABC?A1B1C1的性質(zhì)及D是A1B1的中點知，