2023年南昌一中南昌十中第四次聯(lián)考

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2023年南昌一中、南昌十中第四次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷（理）命題人：吳建民審題人:梁偉

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求。把答案填寫(xiě)在答題卡上1．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

A．?12

1?ai為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為（）2?i1B。?2C。D。2

2式

為

2．函數(shù)y?Asin(?x??)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如右圖，此函數(shù)的解析

()

A．y?2sin(2x?C．y?2sin(?2??)B．y?2sin(2x?)33

x??)D．y?2sin(2x?)2333．已知直線a和平面?,?，????l，a??，a??，且a在?,?內(nèi)的射影分別為直線b和c，則b和c的位置關(guān)系是()

A．相交或平行B。相交或異面C。平行或異面D。相交﹑平行或異面

????11????1????????4．已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP?(OA?OB?2OC)，

322則點(diǎn)P一定為三角形的（）

A．AB邊中線的中點(diǎn)B。AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C．重心D。AB邊的中點(diǎn)5．以下各命題中正確的命題是（）

①命題“p或q〞為真命題，則命題“p〞和命題“q〞均為真命題；

2②命題“?x0?R,x0；?1?3x0〞的否定是“?x?R,x?1?3x〞

2③“函數(shù)f(x)?cosax?sinax的最小正周期為?錯(cuò)誤！未找到引用源。〞是“a?1〞的必要不充分條件；

22????④“平面向量a與b的夾角是鈍角〞的充分必要條件是“a?b?0〞。

A．②③

B．①②③C．①②④

D．③④

6．把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD?平面CBD，形成三棱錐C?ABD的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為（）

A．

2211B。C。D。

2424234xxxx2x3x4x2023x20237．已知函數(shù)f(x)?1?x?，g(x)?1?x?????????????2342023202323420232023xx，若函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)x1，函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)x2，則有（）??20232023A．x1?(0,1),x2?(1,2)B。x1?(?1,0),x2?(1,2)

C．x1?(0,1),x2?(0,1)

D。x1?(?1,0),x2?(0,1)

8．已知定義在R上的函數(shù)y?f(x)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意的x?R都有f(x?2)??f(x)，②對(duì)于任意的

0?x1?x2?2，都有f(x1)?f(x2)，

③y?f(x?2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則以下結(jié)論中，正確的是()

B．f(4.5)?f(7)?f(6.5)

A．f(4.5)?f(6.5)?f(7)

C．f(7)?f(4.5)?f(6.5)D．f(7)?f(6.5)?f(4.5)9．已知an?()n，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排列成如下的三角形狀，

13

記A(m,n)表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則A(10,12)?（）

A．()93B。()92C。()94D。()112

13131313

10．取棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)此后頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，依次進(jìn)行下去，對(duì)正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則此多面體：①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有24條棱；③有12個(gè)面；④表面積為3a2；⑤體積為

A．①②⑤C．②④⑤

53a。以上結(jié)論正確的是()6

B．①②③D．②③④⑤

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分。

11．已知集合A?{a1,a2,a3,?,an}，記和ai?aj(1?i?j?n)中所的個(gè)數(shù)為M(A)．如當(dāng)A?{1,2,3,4}時(shí)，由1?2?3，1?3?4，

有不同值

1?4?2?3?5，2?4?6，3?4?7，得M(A)?5．對(duì)于集合B?{b1,b2,b3,?,bn}，若實(shí)數(shù)b1,b2,b3,?,bn成等差數(shù)列，則

M(B)?________________

12．某程序的框圖如下圖，若執(zhí)行該程序，則輸出的值為

13．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則公比q等于____________________。14．底面邊長(zhǎng)為1、側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD的中心，則直線EF被球O所截得的線段長(zhǎng)為．15．已知正實(shí)數(shù)x,y，記m為x和

y中較小者，則m的最大值為_(kāi)_________。22x?y三、解答題：共6小題，共75分。解允許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.（本小題總分值12分）

已知函數(shù)f(x)?sinxcosx?3cos2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[???,]上的最大值和最小值．62

17.（本小題總分值12分）

?????已知?ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a,b,c，設(shè)向量m?(a,b),n?(sinB,sinA),p?(b?2,a?2)

???（Ⅰ）若m∥n，求證：?ABC為等腰三角形；

?????（Ⅱ）若m⊥p，邊長(zhǎng)c?2，C?，求?ABC的面積.

3

18.（本小題總分值12分）已知p:f(x)?

1?x,且|f(a)|?2；3q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．

若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19．（本小題總分值12分）在如下圖的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)诰€段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，實(shí)；

B（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；（3）求點(diǎn)G到平面BCE的距離．

AGE并證明這一事

DC

20、（本小題總分值13分）若由數(shù)列{an}生成的數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意的n?N*均有bn?1?bn,其中bn?an?1?an，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“Z數(shù)列〞。

（I）在數(shù)列{an}中，已知an??n2，試判斷數(shù)列{an}是否為“Z數(shù)列〞；（II）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列〞，a1?0,bn??n,求an;

（III）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列〞，設(shè)s,t,m?N,且s?t,求證at?m?as?m?at?as.

21、（本小題總分值14分）已知函數(shù)f(x)?x?ax(a?0)，g(x)?lnx，f(x)圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為l1，g(x?1)與x軸的交點(diǎn)N處的切線為l2，并且l1與l2平行.（1）求f(2)的值；

（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求u?xlnx,x??1,e?的取值范圍及函數(shù)y?f[xg(x)+t],x??1,e?的最小值；

（3）令F(x)?g(x)?g'(x)，給定x1,x2?(1,??),x1?x2，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)?,?，存在實(shí)數(shù)m滿足：

2*

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，并且使得不等式|F(?)?F(?)|?|F(x1)?F(x2)|恒成立，求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.

2023年南昌一中、南昌十中第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理）

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求。把答案填寫(xiě)在答題卡上

1D

2A

3D

4B

5A

6D

7B

8B

9A

10A

10.解析由題意可知，正方體的12條棱的中點(diǎn)均為此多面體的頂點(diǎn)，故共有12個(gè)頂點(diǎn)，而正方體的每個(gè)面上的四條棱的中點(diǎn)連成的小正方形的四條邊均是此多面體的棱，故共有24條棱，作圖易知共有14個(gè)面，表面積為(3＋3)a2，

11?1?353

a＝a.體積為a3－8×××

32?2?6

答案A

二、填空題：（本大題共5小題，每題5分，共25分）

11.2n-3;

12.7;解析此題主要考察程序框圖計(jì)算問(wèn)題.當(dāng)i?1,s?1；

i?2,s?1?2?3；i?3,s?3?4?7；i?4,s?7?8?15；i?5,s?15?16?31；i?6,s?31?32?63；

i?7,s?63?64?127?100；所以最終輸出值為7

13.1/3;

14.4215.23;

2三、解答題：解允許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟（共6題，共75分）

16.（本小題總分值12分）

已知函數(shù)f(x)?sinxcosx?3cos2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[?。

??,]上的最大值和最小值．62解：（Ⅰ）?f(x)?sinxcosx?3cos2x

?13?2sinxcosx?(cos2x?1)22133sin2x?cos2x?222??sin(2x??3)?322???．…6分2???4?（Ⅱ）∵??x?，0?2x??，

6233∴函數(shù)f(x)的最小正周期T?∴?3??sin(2x?)?1,…9分23∴0?sin(2x??3)?332?3?1??,2222?3，最小值為0．……………12分2∴f(x)在區(qū)間[???,]上的最大值為62

17.（本小題總分值12分）

?????已知?ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a,b,c，設(shè)向量m?(a,b),n?(sinB,sinA),p?(b?2,a?2)

???（Ⅰ）若m∥n，求證：?ABC為等腰三角形；

?????（Ⅱ）若m⊥p，邊長(zhǎng)c?2，C?，求?ABC的面積.

3???證明：(Ⅰ)∵m∥n，∴asinA?bsinB，由正弦定理可知，

ab，其中R是?ABC外接圓的半徑，?b?2R2R∴a?b.

因此，?ABC為等腰三角形.…6分a?

????（Ⅱ）由題意可知，m?p?0，即a(b?2)?b(a?2)?0,?a?b?ab.

由余弦定理可知，4?a?b?ab?(a?b)?3ab,即(ab)?3ab?4?0

2222?ab?4，(ab?1舍去)

11?∴S?absinC??4?sin?3.…12分

223

18．（本小題總分值12分）已知p:f(x)?

1?x,且|f(a)|?2；3q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．

若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答：若|f(a)|?|1?a|?2成立，則?6?1?a?6，3即當(dāng)?5?a?7時(shí)p是真命題；????????4分若A??，則方程x?(a?2)x?1?0有實(shí)數(shù)根，

2

由??(a?2)?4?0，解得a??4，或a?0，

即當(dāng)a??4，或a?0時(shí)q是真命題；????????8分由于p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p與q一真一假，

故知所求a的取值范圍是(??,?5]?(?4,0)?[7,??)．????????12分

219．（本小題總分值12分）在如下圖的多面體ABCDE

ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)诰€段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有

ACD，并證明這一事實(shí)；（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的（3）求點(diǎn)G到平面BCE的距離．解法一：以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角

軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E，則各點(diǎn)D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,1)，C(1,3,0)，

（1）點(diǎn)F應(yīng)是線段CE的中點(diǎn)，下面證明：

設(shè)F是線段CE的中點(diǎn)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為

∴???BF??(?332,2,0)，

顯然???BF?與平面xOy平行，此即證得BF∥平面

ACD；????????4分

（2）設(shè)平面BCE的法向量為?n?(x,y,z)，

則?n????CB?，且?n????CE?，

由???CB??(1,?3,1)，???CE??(?1,?3,2)，

EBAGDCzEBFxAGDCy中，AB⊥平面AB=1，G為AD中直線BF∥平面大??；

坐標(biāo)系，使得x的坐標(biāo)為

F(132,2,1)，

???x?1?x?3y?z?0∴?，不妨設(shè)y?3，則?，即n?(1,3,2)，

?z?2???x?3y?2z?0?n?(0,0,1)2??∴所求角?滿足cos??，∴??；????????8分?42|n|????（3）由已知G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，0），∴BG?(?1,0,?1)，?由（2）平面BCE的法向量為n?(1,3,2)，

?????BG?n3?|?∴所求距離d?|2．????????12分

4|n|解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，

//1ED，∴FH?//AB，連接FH，則FH?2∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF//AH，由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，?BF//平面ACD；?????4分（2）由已知條件可知?ACD即為?BCE在平面ACD上的射影，

設(shè)所求的二面角的大小為?，則cos?????????2分

S?ACD，????????6分S?BCEE

易求得BC=BE?5，CE?22，∴S?BCE?

1CE|CE|?BE2?()2?6，223|AC|2?3，4B

而S?ACD?AGCD

∴cos??∴??S?ACD2?，而0???，?2S?BCE2

?4；??????8分

（3）連結(jié)BG、CG、EG，得三棱錐C—BGE，由ED?平面ACD，∴平面ABED?平面ACD，又CG?AD，∴CG?平面ABED，

設(shè)G點(diǎn)到平面BCE的距離為h，則VC?BGE?VG?BCE即S?BGE?GC?由S?BGE?131S?BCE?h，33，S?BCE?6，CG?3，2

3S?BGE?GC233∴h???2即為點(diǎn)G到平面BCE的距離．??????12分

S?BCE4620、（本小題總分值13分）若由數(shù)列{an}生成的數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意的n?N*均有bn?1?bn,其中bn?an?1?an，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“Z數(shù)列〞。

（I）在數(shù)列{an}中，已知an??n2，試判斷數(shù)列{an}是否為“Z數(shù)列〞；（II）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列〞，a1?0,bn??n,求an;*

（III）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列〞，設(shè)s,t,m?N,且s?t,求證at?m?as?m?at?as.解：（I）由于an??n2,

所以bn?an?1?an??(n?1)2?n2??2n?1,n?N*,所以bn?1?bn??2(n?1)?1?2n?1??2,所以bn?1?bn,數(shù)列{an}是“Z數(shù)列〞。（II）由于bn??n,

??????4分

??????2分

所以a2?a1?b1??1,a3?a2?b2??2,?,an?an?1?bn?1??(n?1),所以an?a1??1?2???(n?1)

(n?1)n(n?2)，2(n?1)n所以an??(n?2)，

2(n?1)n又a1?0,所以an??(n?N*).

2????????6分

??????8分

（III）由于as?m?as?(as?m?as?m?1)???(as?1?as)?bs?m?1???bs，

al?m?al?(al?m?al?m?1)???(al?1?al)?bl?m?1???bl,

又s,l,m?N*,且s?t,所以s?i?t?i,bs?i?bl?i，所以bs?m?1?bl?m?1,bs?m?2?bl?m?2,?,bs?bt,所以al?m?al?as?m?as,即al?m?as?m?al?as.

2??????10分

??????12分??????13分

21.（本小題總分值14分）已知函數(shù)f(x)?x?ax(a?0)，g(x)?lnx，f(x)圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為l1，g(x?1)與x軸的交點(diǎn)N處的切線為l2，并且l1與l2平行.（1）求f(2)的值；

（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求u?xlnx,x??1,e?的取值范圍及函數(shù)y?f[xg(x)+t],x??1,e?的最小值；

（3）令F(x)?g(x)?g'(x)，給定x1,x2?(1,??),x1?x2，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)?,?，存在實(shí)數(shù)m滿足：

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，并且使得不等式|F(?)?F(?)|?|F(x1)?F(x2)|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解.（1）y?f(x)圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M(a,0)，f'(x)?2x?a

y?g(x?1)?ln(x?1)圖象與x軸的交點(diǎn)N(2,0)，g'(x?1)?1x?1由題意可得kl1?kl2，即a?1，????????2分∴f(x)?x?x,，f(2)?2?2?2???????3分（2）y?f[xg(x)+t]?[xlnx+t]?(xlnx+t)=(xlnx)?(2t?1)(xlnx)?t?t?4分令u?xlnx，在x??1,e?時(shí)，u'?lnx?1?0，

∴u?xlnx在?1,e?單調(diào)遞增，0?u?e,