經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解

（完整版）經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法.通常來(lái)證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。截長(zhǎng)補(bǔ)短法有多種方法。截長(zhǎng)法：（1）過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線（2）在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。……補(bǔ)短法（1）延長(zhǎng)短邊。（2）通過(guò)旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起?！谡叫蜛BCD中內(nèi)￡=DF，DG±CE,交CA于G，GH±AF,交AD于P,交CE延長(zhǎng)線于H，請(qǐng)問(wèn)三條粗線DG，GH，CH的數(shù)量關(guān)系例:例題不詳解.（第2例:例題不詳解.（第2頁(yè)題目答案見(jiàn)第3、4頁(yè)）方法二（好證不好想）

(1)正方形ABCD中，點(diǎn)￡在?？谏?，點(diǎn)1^在既上，/EAF=45o.求證：EF=DE+BF(1)變形a

(完整版)經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，/EAF=45o.請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形cDC正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上/EDF=45o。DB=DC，/BDC=120o。請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？DCEFEF正方形ABCD中，點(diǎn)￡在?？谘娱L(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，/EAF=45o。請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形b(1)變形d正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，/EAD=15o，/FAB=30ooAD=.13求aAEF的面積（完整版）經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解EF=GE=GD+DE=BF+DEZGAF=ZEAF=45ZGAF=ZEAF=45（1）解：（簡(jiǎn)單思路）延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使得DG=BF,連接AG.由四邊形ABCD是正方形得ZADG=ZABF=90oAD=AB又DG=BF所以aADG=aABF(SAS)ZGAD=ZFABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得ZDAB=90。=ZDAF+ZFAB=ZDAF+ZGAD=ZGAF所以/GAE=ZGAF-ZEAF=90。-45。=45。ZGAE=ZFAE=45°又AG=AFAE=AE所以AEAG=aEAF(SAS)變形a解：（簡(jiǎn)單思路）EF=BF-DE在BC上截取BG,使得BG二DF,連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ZADE=ZABG=9O,AD=AB又DE=BG所以aADE=aABG(SAS)ZEAD=ZGABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得ZDAB=90?=ZDAG+ZGAB=ZDAG+ZEAD=ZGAE所以/GAF=ZGAE-ZEAF=90o-45。=45。

又AG=AEAF=AF所以AEAF3AGAF（SAS）ef=gf=bf—bg=bf-de變形b解：（簡(jiǎn)單思路）ef=de-bf在DC上截取DG，使得DG二BF,連接AG。由四邊形ABCD是正方形得/ADG=/ABF=90oAD=AB又DG=BF所以AADG三AABF（SAS）/GAD=/FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得/DAB=90o=/DAG+/GAB=/BAF+/GAB=/GAF（完整版）經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解所以/（完整版）經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解所以/GAE=/GAF—/EAF=90o—45o=45o/GAE=/FAE=45o又AG=AFAE=AE所以AEAG三AEAF（SAS）ef=eg=ed-gd=de-bf變形c解：（簡(jiǎn)單思路）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G，使得CG=BE,連接DG。由AABC是正三角形得/ABC=/ACB=60o又DB=DC，/BDC=120o所以/DBC=/DCB=30o/DBE=/ABC+/DBC=60。+30。=90。/ACD=/ACB+/DCB=60。+30。=90。所以/GCD=180。-/ACD=90。4/DBE=/DCG=90。又DB=DC,BE=CG所以ADBE3ADCG(SAS)/EDB=/GDCDE=DG又/DBC=120o=/EDB+/EDC=/GDC+/EDC=/EDG所以/GDF=/EDG—/EDF=120o—60o=60o/GDF=/EDF=60o又DG=DEDF=DF所以AGDF=AEDF(SAS)EF二GF=CG+FC=BE+FC

(完整版)經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解/GAD=/FAB=30o，SAEAG=SAEAF在RtAADG中，NGAD=30o,AD=34gD=60o,AG=2設(shè)EH=x在RtAEGH中和RtAEHA中4gD=60o，4aE=45oHG=Jx，AH=x3AG=2=HG+AH=3x+x，EH=x=3—,33SAEAF=SAEAG=EHxAG+2=3-3。(第5頁(yè)題目答案見(jiàn)第6頁(yè))（2）正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于。，點(diǎn)E變形d解：（簡(jiǎn)單思路）在BD上，AE平分變形d解：（簡(jiǎn)單思路）求證：AC/2=AD-EO延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使得DG二BF，連接AG。過(guò)E作EH1AG.前面如（1）所證，AADG三AABF，AEAG三AEAF

(2)加強(qiáng)版(完整版)經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解(2)加強(qiáng)版(2)解：(簡(jiǎn)單思路)正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長(zhǎng)線上，過(guò)E作EG1AD于GCM二人電點(diǎn)￡在8。上，NE平分/DNM. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形請(qǐng)問(wèn)MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？ /ADC=90。，BD平分