D04 常用概率分布（定稿）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——D04常用概率分布（定稿）第五章常用概率分布

第四章常用概率分布

隨機(jī)變量(randomvariable)的性質(zhì)取決于它的分布規(guī)律。本章介紹三個(gè)最常用的理論分布，包括離散型變量的二項(xiàng)分布(binomialdistribution)與Poisson分布(Poissondistribution)，以及連續(xù)型變量的正態(tài)分布(normaldistribution)。醫(yī)學(xué)研究中的好多隨機(jī)現(xiàn)象可以用這三種分布之一進(jìn)行描述。為便于教學(xué)，讀者需要復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程中已經(jīng)學(xué)過的概率論基本知識(shí)。

第一節(jié)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)分布的概念與特征

先看一個(gè)小試驗(yàn)。一個(gè)袋子里有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)黃球，3個(gè)白球，我們進(jìn)行盲法摸球游戲，每次摸1球，然后放回再摸。如此重復(fù)。先后摸5次，摸到黃球的次數(shù)可能是0次，可能是1次、2次等，也可能5次都摸到黃球。請(qǐng)問摸到黃球的次數(shù)為0的概率有多大？摸到黃球的次數(shù)為1的概率有多大？摸到黃球的次數(shù)為2的概率有多大？5次均摸到黃球的概率又是多大呢？你會(huì)算嗎？

在這個(gè)試驗(yàn)中，由于黃球的比例是2/5，白球的比例是3/5。又，該試驗(yàn)為有放回的試驗(yàn)，因此每一次摸到黃球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。假使5次里前X次摸到的是黃球，以后5－X次摸到的是白球，相應(yīng)的概率是0.4X0.65?X。由于摸到黃球可能發(fā)生在5次中的任意X次中，因此5次里有X次摸到黃球的概率為C5X0.4X0.65?X。其中，C5X表示“5取X的組合數(shù)〞。該試驗(yàn)有三個(gè)特點(diǎn)：①各次摸球是彼此獨(dú)立的；②每次摸球只有二種可能的結(jié)果，或黃球或白球；③每次摸到黃球（或摸到白球）的概率是固定的。具備以上三點(diǎn)，n次中有X次摸到黃球的概率分布就是二項(xiàng)分布。

例4-1用針灸治療頭痛，假定結(jié)果只有兩種可能，不是“有效〞就是“無效〞，每一例有效的概率為π。某醫(yī)生用此方法治療頭痛患者3例，2例有效的概率是多少？

用Ai表示第i例有效，Ai表示第i例無效。由于每例有效的概率一致，且各例的治療結(jié)果之間彼此獨(dú)立，3例患者中可以是其中的任意2例有效，所以3例

1

第五章常用概率分布

中2例有效的概率為：

P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?C?(1??)232

推而廣之，醫(yī)學(xué)研究中好多現(xiàn)象的觀測(cè)結(jié)果是以兩分類變量來表示的，如陽(yáng)性與陰性，治愈與未愈，生存與死亡等。假使每個(gè)觀測(cè)對(duì)象陽(yáng)性結(jié)果的發(fā)生概率均為?，陰性結(jié)果的發(fā)生概率均為（1－?）；且各個(gè)觀測(cè)對(duì)象的結(jié)果是相互獨(dú)立的，那么，重復(fù)觀測(cè)n個(gè)對(duì)象，發(fā)生陽(yáng)性結(jié)果的次數(shù)X的概率分布聽從二項(xiàng)分布，記作B（n，?）。

二項(xiàng)分布的概率函數(shù)P(X)可用公式（4-1）來計(jì)算。

P(X)?CnX?X(1??)n?X（4-1）

其中

CnX?n!X!(n?X)!（4-2）

！為階乘符號(hào)，n!?n(n?1)(n?2)?1，如3！=3×2×1，0！定義為1。

例4-2假使例4-1中?=0.6，隨機(jī)治療3例，有效例數(shù)為0例、1例、2例和3例的概率各多大？1例及以上有效的概率多大？

根據(jù)（4-1）式，0例有效的概率為

00.60(1?0.6)(3?0)?0.43?0.064C31例及以上有效的概率可表示為

P(X?1)?P(1)?P(2)?P(3)?0.288?0.432?0.216?0.936

同理，可算得有效例數(shù)分別為1、2和3的概率，見表4-1。

表4-1治療3例可能的有效例數(shù)及其概率

有效人數(shù)(X)

0

123

C3X

1331

?X

0.600.60.6×0.60.6×0.6×0.6

(1－?)n-X0.4×0.4×0.4

0.4×0.40.40.40

出現(xiàn)該結(jié)果的概率P(X)

0.0640.2880.4320.216

由表4-1可知，由于只有4種可能結(jié)果，各種可能結(jié)果出現(xiàn)的概率之和為1，即?P?X??1。據(jù)此，1例及以上有效的概率又可表示為

P(X?1)?1?P(0)?1?0.064?0.936

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第五章常用概率分布

兩者結(jié)果一致。

（三）二項(xiàng)分布的特征

二項(xiàng)分布的特征由二項(xiàng)分布的參數(shù)?以及觀測(cè)的次數(shù)n決定。1．二項(xiàng)分布的圖形特征

在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，若某事件發(fā)生的概率為?，則該事件的發(fā)生次數(shù)X聽從二項(xiàng)分布。用圖形表示，以X為橫軸，以對(duì)應(yīng)于X的概率P(X)為縱軸，對(duì)所有可能的X(0≤X≤n)分別用垂直于橫軸、長(zhǎng)度為P(X)的線段表示相應(yīng)的概率，得二項(xiàng)分布圖。

從圖形可知，二項(xiàng)分布的高峰在?=n?處或附近；?為0.5時(shí)，圖形是對(duì)稱的；當(dāng)?不等于0.5時(shí)，分布不對(duì)稱，且對(duì)同一n，?離0.5愈遠(yuǎn)，對(duì)稱性愈差。對(duì)同一?，隨著n的增大，分布趨于對(duì)稱。當(dāng)n→∞時(shí)，只要?不太靠近0或1，（特別是當(dāng)n?和n(1－?)均大于5時(shí)），二項(xiàng)分布趨于對(duì)稱。

P(x)0.40.30.20.10.0

0123

P(x)0.40.30.20.10.0

012345678910111213

n=3,π＝0.5n=10,π＝0.5

圖4-1π=0.5時(shí)，不同n值對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分布

3

第五章常用概率分布

P(x)0.40.30.20.1

P(x)0.40.30.20.1

0123

0.0

0.0

0123456

P(x)0.40.30.20.10.0

012345678910

P(x)0.40.30.20.1

0.0

0123456789101112131415

圖4-2π=0.3時(shí),不同n值對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分布

圖4-1和圖4-2給出了?=0.5和?=0.3時(shí)不同n值對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分布圖。2．二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差例4-3求例4-2資料的均數(shù)和方差。

在例4-2中，總共治療三個(gè)患者n=3，有效概率?=0.6，有效的人數(shù)可能為0個(gè)人，1個(gè)人，2個(gè)人或3個(gè)人，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.064，0.288，0.432和0.216。根據(jù)總體均數(shù)（又稱數(shù)學(xué)期望，下略）和方差的定義，有效人數(shù)的均數(shù)為

E(X)??XP(X)?0?0.064?1?0.288?2?0.432?3?0.216?1.80

方差為

Var(X)?E?X?E(X)????X?E(X)?P(X)?(0?1.80)2?0.064?(1?1.80)2?0.288?...?(3?1.80)2?0.216?0.7222

事實(shí)上對(duì)于任何二項(xiàng)分布問題，假使每一次試驗(yàn)出現(xiàn)陽(yáng)性結(jié)果的概率均為，?，進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)X次陽(yáng)性結(jié)果，那么，可以證明（見附錄）X的總體均數(shù)為

??n?（4-3）

4

第五章常用概率分布

方差為

?2?n?(1??)（4-4）標(biāo)準(zhǔn)差為

??n?(1??)（4-5）

若將出現(xiàn)陽(yáng)性結(jié)果的頻率記為

p?Xn則p的總體均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差分別為

?p??（4-6）

2?p??(1??)nn（4-7）

?p??(1??)（4-8）

式中?p是頻率p的標(biāo)準(zhǔn)差，又稱頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤，它反映陽(yáng)性頻率的抽樣誤差的大小。

例4-4已知某地鉤蟲感染率為6.7%，假使隨機(jī)抽查150人，記樣本鉤蟲感染率為p，求p的標(biāo)準(zhǔn)誤?p。

本例n?150，??0.067，按（4-8）式

?p?0.067(1?0.067)?0.020?2.0%

150

二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用

1.概率估計(jì)

例4-5假使某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀測(cè)當(dāng)?shù)?50人，其中恰好有10人感染鉤蟲的概率有多大？

由于人與人之間鉤蟲感染與否可假設(shè)為相互獨(dú)立的，感染鉤蟲的人數(shù)X可認(rèn)為聽從n=150，π=0.13的二項(xiàng)分布，由公式（4-1）和（4-2）,可以得出150人中恰有10人感染鉤蟲的概率為

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第五章常用概率分布

P(X?10)?150!0.1310?0.87140?0.0055

10!(150?10)!2.累積概率計(jì)算

單純計(jì)算二項(xiàng)分布X取某值時(shí)的概率往往沒有太大意義，實(shí)際上經(jīng)常需要計(jì)算的是二項(xiàng)分布的累積概率。

二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽(yáng)性的次數(shù)至多為K次的概率為

P(X?K)??P(X)??X?0Kn!?X(1??)n?X（4-9）

X?0X!(n?X)!K出現(xiàn)陽(yáng)性的次數(shù)至少為k次的概率為

P(X?k)??P(X)??X?kX?knnn!?X(1??)n?X（4-10）

X!(n?X)!同理，可以計(jì)算陽(yáng)性的次數(shù)至少為k次至多為K次的概率(k第五章常用概率分布

P(X?k)?1?P(X?k?1)（4-14）

例4-9續(xù)例4-7。試估計(jì)每一個(gè)培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于3個(gè)的概率，大于1個(gè)的概率。

該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于3個(gè)的概率為

e?66Xe?660e?661e?662P(X?3)??P(X)?????X!0!1!2!X?0X?0?0.06222菌落數(shù)大于1個(gè)的概率為

e?660e?661P(X?1)?1?P(X?0)?P(X?1)?1??0!1!

?0.983例4-10續(xù)例4-8。試估計(jì)1000名居民中至多有2人患腦血管疾病的概率有多大？至少有3人患腦血管疾病的概率有多大？

至多有2人患腦血管疾病的概率為

e?1.51.5Xe?1.51.50e?1.51.51e?1.51.52P(X?2)??P(X)??????0.809

X!0!1!2!X?0X?022至少有3人患腦血管疾病的概率為

P(X?3)?1?P(X?2)?1?0.809?0.191

Poisson分布與二項(xiàng)分布的一個(gè)前提條件是事件發(fā)生的概率?不變，每個(gè)事件發(fā)生與否是相互獨(dú)立的。若n次觀測(cè)互不獨(dú)立、發(fā)生概率不等，則不能看作二項(xiàng)分布。例如，在某社區(qū)，傳染性疾病首例出現(xiàn)后便成為傳染源，會(huì)增加該社區(qū)后續(xù)病例出現(xiàn)的概率，且隨著病例數(shù)的增加，其他易感人群感染的概率增加，因此病例數(shù)的分布不能看作是二項(xiàng)分布或Poisson分布；又如，污染的牛奶中細(xì)菌成集落存在，單位容量牛奶中細(xì)菌數(shù)不能認(rèn)為聽從Poisson分布；再如，釘螺在繁殖期成窩狀散布，單位面積中釘螺數(shù)的觀測(cè)結(jié)果不是獨(dú)立的，因此也不能認(rèn)為聽從Poisson分布。

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第五章常用概率分布

第三節(jié)正態(tài)分布一、

正態(tài)分布的概念

正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本理論分布之一，也是自然界最常見的分布之一。例如，測(cè)量的誤差、人體大量生化指標(biāo)的測(cè)量值等等都可認(rèn)為近似聽從正態(tài)分布。此外，正態(tài)分布具有大量良好的性質(zhì)，大量理論分布在一定條件下可用正態(tài)分布近似，一些重要的分布可由正態(tài)分布導(dǎo)出。可以說正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的分布。正態(tài)分布具有什么樣的特征呢？請(qǐng)觀測(cè)表4-3和表4-4兩個(gè)頻率分布表。

表4-3某地正常成人心率（次/分）

的頻率分布表

組段45—

50—55—60—65—70—75—80—85—90—95—100—105合計(jì)

頻數(shù)151213263124159752150

頻率(%)0.673.338.008.6717.3320.6716.0010.006.004.673.331.33100.00

組段1.228―1.234―1.240―1.246―1.252―1.258―1.264―1.270―1.276―1.282―1.258―合計(jì)

表4-4（體模）骨密度測(cè)量值（mg/cm3）

的頻率分布表

頻數(shù)22717253725164137175

頻率(%)1.141.144.009.7114.2921.1414.299.142.290.5721.14100.00

表4-3與表4-4的共同點(diǎn)是中間頻數(shù)最多，兩邊頻數(shù)漸少且近似對(duì)稱。為直觀起見將表4-4數(shù)據(jù)繪成一幅特別的直方圖（圖4-4），以各長(zhǎng)方形面積代表各組段的頻率，直條的高度相當(dāng)于頻率除以組距，稱之為頻率密度，這張圖稱為頻率密度圖?？梢栽O(shè)想，假使觀測(cè)人數(shù)逐漸增多，組段不斷分細(xì)，直條的寬度將逐漸變窄，其頂端逐漸接近于一條光滑的曲線，這條曲線稱為頻率密度曲線。該曲線表現(xiàn)為中間高，兩邊低，左右對(duì)稱，類似鐘形，頗象數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線。由于頻率的總和等于1，故橫軸上曲線下的面積恒等于1。

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第五章常用概率分布

圖4-4體模―骨密度‖測(cè)量值的分布接近正態(tài)分布示意圖（頻率密度=頻率/組距）

正態(tài)曲線(normalcurve)是一條高峰位于中央，兩側(cè)逐漸下降并完全對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交的鐘型曲線。該曲線的函數(shù)表達(dá)式f(x)稱為正態(tài)分布密度函數(shù)，

f(x)?1e?2??(x??)22?2（4-15）

其中,?為總體均數(shù)，?為總體標(biāo)準(zhǔn)差。

正態(tài)概率密度曲線的位置與形狀具有如下特點(diǎn):（1）關(guān)于x=?對(duì)稱。

（2）在x=μ處取得該概率密度函數(shù)的最大值，在x????處有拐點(diǎn)。（3）曲線下面積為1。

（4）?決定曲線在橫軸上的位置，?增大，曲線沿橫軸向右移；反之，?減小，曲線沿橫軸向左移。

（5）?決定曲線的形狀，當(dāng)?恒定時(shí)，?越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越―矮胖‖；?越小,數(shù)據(jù)越集中，曲線越―瘦高‖。見圖4-5。

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第五章常用概率分布

-6-5-4μ1-3-2-1μ2012μ33456a.標(biāo)準(zhǔn)差一致、均數(shù)不同（?1??2??3）的三條正態(tài)曲線

?1?2?3-3-2-10123b.均數(shù)一致、標(biāo)準(zhǔn)差不同（?1??2??3）的三條正態(tài)曲線

圖4-5正態(tài)曲線位置、形狀與?、?關(guān)系示意圖

習(xí)慣上用N(?,?2)表示均數(shù)為?、標(biāo)準(zhǔn)差為?的正態(tài)分布。

好多醫(yī)學(xué)現(xiàn)象聽從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。例如，同性別、同年齡兒童的身高，同性別健康成人的紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白含量、脈搏數(shù)等。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素好多，而每個(gè)因素所起的作用均不太大，那么這個(gè)指標(biāo)聽從正態(tài)分布。如試驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，尋常表現(xiàn)為正態(tài)分布。

二、正態(tài)概率密度曲線下的面積

1.一個(gè)共同的規(guī)律

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