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本文格式為Word版,下載可任意編輯——2023版新一線高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案第4章第1節(jié)平面向量的
第4章平面向量、數(shù)系的擴展與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及線性運算
[考綱傳真]1.了解向量的實際背景,理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義,理解向量的幾何表示.2.把握向量加法、減法的運算,理解其幾何意義.3.把握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度(或模).(2)零向量:長度為0的向量,其方向是任意的.(3)單位向量:長度等于1個單位的向量.
(4)平行向量:方向一致或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定:0與任一向量平行.
(5)相等向量:長度相等且方向一致的向量.(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)求a與b的相反減法向量-b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a-b=a+(-b)
(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時,λa的方向數(shù)乘求實數(shù)λ與向量與a的方向一致;當(dāng)λ→→
(1)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點,BC=3CD,則()
→1→4→A.AD=-3AB+3AC→4→1→C.AD=3AB+3AC
→1→4→B.AD=3AB-3AC→4→1→D.AD=3AB-3AC
→→→→→→→
(2)在△ABC中,點M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x=________;y=________.
→→11
(1)A(2)-[(1)由于BC=3CD,
26→1→
所以CD=3BC,
→→→→1→→1→→1→4→
所以AD=AC+CD=AC+3BC=AC+3(AC-AB)=-3AB+3AC.應(yīng)選A.
→→→1→1→1→1→→1→1→→
(2)由題中條件得,MN=MC+CN=3AC+2CB=3AC+2(AB-AC)=2AB-6AC=xAB→11+yAC,所以x=2,y=-6.]共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量a與b不共線,→→→
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.
→→→
[解](1)證明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),→→→
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)→
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.→→
∴AB,BD共線,又∵它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.(2)∵ka+b和a+kb共線,
∴存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是兩個不共線的非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.[規(guī)律方法]共線向量定理的3個應(yīng)用(1)證明向量共線:對于向量a,b,若存在實數(shù)λ,使a=λb(b≠0),則a與b共線.→→(2)證明三點共線:若存在實數(shù)λ,使AB=λAC,則A,B,C三點共線.(3)求參數(shù)的值:利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.易錯警示:證明三點共線時,需說明共線的兩向量有公共點.→→→(1)已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,則()
A.A,B,C三點共線C.A,C,D三點共線
B.A,B,D三點共線D.B,C,D三點共線
(2)(2023·黃山模擬)已知向量a,b是兩個不共線的向量,若向量m=4a+b與n=a-λb共線,則實數(shù)λ的值為()
1A.-4B.-4
1C.4
D.4
→→→→→→
(1)B(2)B[(1)∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,∴BD,AB共線,又有公共點B,
∴A,B,D三點共線.應(yīng)選B.
(2)由題意知m=kn,即4a+b=k(a-λb).k=4,???k=4,
∴?解得?1
λ=-?-kλ=1,?4,?
應(yīng)選B.]
→
1.(2023·全國卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則EB=()3→1→A.4AB-4AC3→1→C.4AB+4AC
1→3→B.4AB-4AC1→3→D.4AB+4AC
→→→→3→1→1→→
A[由題可得EB=EA+AB=-4(AB+AC)+AB=4AB-4AC,應(yīng)選A.]
→
2.(2023·全國卷Ⅰ)設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則EB+→
FC=()
→A.BC→C.AD
1→B.2AD1→D.2BC
→→→→→→
C[如圖,EB+FC=EC+CB+FB+BC
→→1→→=EC+FB=2(AC+AB)1→→=2·2AD=AD.]
3.(2023·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數(shù)λ=________.1
[∵λa+b與a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b),2
?λ=t,
即λa+b=ta+2tb,∴?
?1=2t,
1λ=??2,解得?1
t=??2.
]
自我感悟:____________________________________________________________________________________
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