平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案特性化教案

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示適用學(xué)科適用區(qū)域知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)人教版適用年級(jí)高三課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）801．了解平面向量的基本定理2．平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3．平面向量共線的條件教學(xué)目標(biāo)1．了解平面向量的基本定理及其意義．2．把握平面向量的坐標(biāo)表示．3．把握平面向量的運(yùn)算．4．把握平面向量共線的條件．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量共線條件向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線條件

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教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

1．平面向量的定義；2．平面向量的坐標(biāo)表示；3．平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算；

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二、知識(shí)講解

考點(diǎn)1平面向量基本定理

假使e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

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考點(diǎn)2平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．

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考點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)表示

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向一致的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)．

(2)設(shè)OA＝xi＋yj，則向量OA的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若OA＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點(diǎn))

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考點(diǎn)4向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

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考點(diǎn)5向量坐標(biāo)的求法

(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

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考點(diǎn)6平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b?x1y2=x2y1

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三、例題精析

如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，則AO＝________(用向量a和b表示)．

a＋b

∵AB＝2DC，∴△DOC∽△BOA，且

2

313

OC122

AOACAD＝，∴＝＝

OA233(

1?22?1

a＋b??＋DC)＝32?＝3a＋3b.?

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2】

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)AB＝a，c.

①求3a＋b－3c；

②求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n.

由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴??－6m＋n＝5，?m＝－1，?－3m＋8n＝－5，解得??n＝－1.

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BC＝b，CA【例題＝

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5．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________．解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量AB，AC不共線．

∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠1

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1.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()．．

A．AC＝AB＋AD11

C．AO＝2AB＋2AD

解析：選D由向量減法的三角形法則知，BD＝AD－AB，排除B；由111

向量加法的平行四邊形法則知，AC＝AB＋AD，AO＝2AC＝2AB＋2AD，排除A、C.

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B．BD＝AD－AB5

D．AE＝3AB＋AD

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2．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若AC＝2AB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB∥AC.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．?a－1＝4，?a＝5，∴?解得??b－1＝－4，?b＝－3.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．

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1．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為()

A．(2,0)

B．(0，－2)

D．(0,2)

C．(－2,0)

解析：選D∵a在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，?－x＋y＝2，?x＝0，故?即??x＋2y＝4，?y＝2.

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2.如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．

(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若DE＝2EC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo)．

解：(1)設(shè)點(diǎn)D(x，y)，由于AD＝BC，所以(x，y)＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,7)．

7??

(2)設(shè)點(diǎn)I(x，y)，則有F點(diǎn)坐標(biāo)為?1，2?，由于

??

?1423?DE＝2EC，故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE,8－yE)?E?3，3?，

??5??

－3，由于BF＝?，2???

BI＝(x－4，y－1)，BF∥BI?

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2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；

(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka－b與a＋3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？

解：(1)由于a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58.

(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，由于ka－b與a＋3b平行，1

所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－3.?7?

此時(shí)ka－b＝(k－2，－1)＝?－3，－1?，

??a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時(shí)向量a＋3b與ka－b方向相反．

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1．已知向量a＝(3，1)，b＝(sinα－m，cosα)，且a∥b，則實(shí)數(shù)m的最小值為()

A．－2C．－2

解析：選A∵a∥b，∴3cosα－sinα＋m＝0.π??

∴m＝sinα－3cosα＝2sin?α－3?≥－2.

??

B．－1D．－3

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2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求點(diǎn)M在其次或第三象限的充要條件；

(2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不管t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線．

解：(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．?4t2特性化教案

52314723

又AE∥AI?3x＝3y，聯(lián)立方程組可得x＝4，y＝8，

2(x－4)＝－3(y－1)，?723?則點(diǎn)I的坐標(biāo)為?4，8?.

??

課程小結(jié)

1.基底的不唯一性

只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．

2．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別

要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小.

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課后作業(yè)

1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()A．(－2，－4)C．(－4，－8)

解析：選C由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

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B．(－3，－6)D．(－5，－10)

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2．已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．給出下面的結(jié)論：

①直線OC與直線BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A．1C．3

解析：選C∵OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，∴OC∥BA，又A，B，C，O不共線，

∴OC∥AB.①正確；

∵AB＋BC＝AC，∴②錯(cuò)誤；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正確；

∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正確．

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B．2D．4

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3．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是