模糊控制的數學基礎

本文格式為Word版，下載可任意編輯——模糊控制的數學基礎從中可見，隨著試驗次數n的增加，27歲對“青年人〞的頻率基本穩(wěn)定在0.78附近，近似可取?A?27??~0.78。

②例證法

此法是扎德教授于1972年提出的?；舅枷搿獜哪：蛹疉~的有

?A?x?的值，估計出論域U上A的隸屬函數。

~~例如：取論域U是實數域R中的一部分[0,100],A是U上―較大的數‖，雖

~然A是U上的模糊子集。為確定?A?x?的分布，選定幾個語言真值（即一句話為

~~真的程度）中的一個，來回復[0，100]中的某數是否算―較大‖。假使語言真值分為―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的〞。把這些語言真值分別用[0，1]之間的數字表示，即分別為1，0.75，0.5，0.25和0。對[0，100]用的

??個不同的數都作為樣本進行詢問，就可得A的模糊分布?A?x?的離散表示法。

~~③專家評分法（德爾菲法）

該法40年代以來就已廣泛應用于經濟與管理科學的各個領域，典型的例子是在體操比賽中對運動員的評分，“技術好〞是運動員集上的一個模糊，所有評委打分的平均值（有時去掉一個最高分和一個最低分）就是運動員“技術好〞的隸屬度。

這種方法也可以用來求模糊分布，在應用時，為了區(qū)別專家的學術水平和經驗的多少，還可以采用加權平均法。

§2—2模糊子集的特性及運算法則

前面已探討過普通集合的基本運算，下面對模糊子集的運算另作定義。

一、模糊子集的運算法則①Fuzzy子集的包含與相等

設A、B為論域U上的兩個模糊子集，對于U中的每一個元素x，都有

~~?A?x???B?x?，則稱A包含B，記作A?B。

~~~~~~假使，A?B且B?A，則說A與B相等，記作A=B。或者，若對所有x?U，

~~~~~~~~1

都有?A?x?=?B?x?，則A=B。

~~~~②模糊子集的并、交、補運算

設A、B為論域U上的兩個模糊子集，規(guī)定A?B、A?B、A的隸屬函

~~~~~~~?數分別為?A~?B~、?A~?B、?A,并且對于U的每一個元素x都有

?~?A~?B~?x???A?x???B?x?=max[?A?x?,?B?x?]—

~A,B的并

~~~~~?A~?B~?x???A?x?~~??B?x?=min[?A?x?,?B?x?]

~~—A,B的交

~~~?A~??x??1–?A?x?—

~~A的補

~eg,設論域U=?x1,x2,x3,x4?，A、B是論域U上的兩個模糊集。已知

A=

~0.3x10.5x1?0.5x21x2?0.7x30.8x3?0.4x4

B=

~??

利用模糊子集運算可得

A=

~?0.7x10.5x1?0.5x20.8x3?0.3x31x4?0.6x4

B=

~???

0.4?0x40.4?0x40.5x10.3x11x20.5x20.8x30.4x40x4A?B=

~~0.3?0.5x10.3?0.5x1?0.5?1x20.5?1x2?0.7?0.8x30.7?0.8x3?=

???

A?B=

~~???=

??0.7x3?

③模糊子集的代數運算

代數積：?A~?B~=?A??B

~~代數和：?A~???B???A~~B=?1~??~~~?A??B?1???~~~?A??B?1??~~

環(huán)和：?A~?B~=?A+?B﹣?A??B

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依取舉例數據：A?B=

~~0.3?0.5x10.3?0.5x1?0.5?1x20.5?1x2?0.7?0.8x30.7?0.8x3?0.4?0x40.4?0x4

A+B=

~~???

0.4?0?0x4A?B=

~~0.3?0.5-0.15x1?0.5?1?0.5x2?0.7?0.8?0.56x3?

④模糊子集運算的基本性質

1）冪等律A?A=AA?A=A

~~~~~~2）交換律A?B=B?AA?B=B?A

~~~~~~~~3）結合律（A?B）?C=A?（B?C）

~~~~~~（A?B）?C=A?（B?C）

~~~~~~4）分派律（A?B）?C=（A?C）?（B?C）

~~~~~~~（A?B）?C=（A?C）?（B?C）

~~~~~~~5）吸收律（A?B）?A=A（A?B）?A=A

~~~~~~~~6）同一律A?U=UA?U=A

~~~A??=AA??=?

~~~7)復原律（A）?=A

~?~8)對偶率（A?B）?=A?B

~~~~??（A?B）?=A?B

~~~~??普通集合的補余律在Fuzzy集中不成立。A?A?UA?A??

~??~~~二、模糊集合與普通集合的聯(lián)系

模糊集合是通過隸屬函數定義的，假使約定：當x對于A的隸屬函數程度達

~到或超過?者就算做A的成員，那么模糊子集A就變成了經典子集A?。例如，―高

~~~個子‖是一個模糊集合，而―身高1.75m以上的人‖都是一個經典集合，這便引出

3

了截集的概念。

1、截集（?水平截集）設A?F?U?,0???1

~?（1）A????x?A?x????

~?~?稱A?為A的?截集，它是一個經典集合，?稱為水平。

~~?（2）A????x?A?x????

?~?~?稱A?為A的?強截集。

?~~?截集和?絕截集具有如下性質：

?A?B?=A?B?A?B?=A?B

?A?B?=A?B?A?B?=A?B~~???~~~~???~~~~??????~~??????

~~~~????A??A?A??A?

~~??~~2、分解定理

設A為論域U上的一個模糊子集，A?是A的?截集，???0,1?，則有如下

~~~分解定理成立

A=

~???0,1???A?

~其中?A?表示x的一個模糊子集，稱為?與A?的“乘積〞，其隸屬函數規(guī)定為

??,x?A???A??x?=?

0,x?A??下面從圖解的角度理解分解定理。

右下圖畫出了不同水平的??A?x?的圖形，當?取遍?0,1?閉區(qū)間所有的值時，

????0,1???A?按模糊子集求運算法則，也就是取各???0,1?點隸屬函數的最大值，再連

~成一條曲線，這就與?A?x?曲線重合。

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分解定理提供了用經典集合構造模糊集合的可能性，它溝通了模糊集合與經典集合的聯(lián)系。

eg.設A=

~0.5x1?0.6x2?1x3?0.7x4?0.3x5，x??0,1?，取?截集，于是

1x31x31x21x11x1A1??x3?

~A1?~

1x41x31x21x2A0.7??x3,x4?

~A0.7?~?

1x41x31x3A0.6??x2,x3,x4?

~A0.6?~??

1x41x4A0.5??x1,x2,x3,x4?

~A0.5?~???

1x5A0.3??x1,x2,x3,x4,x5?

~A0.3?~????

由分解定理又可構成原來的模糊子集。

A=

~???0,1???A?=A1+0.7A0.7+0.6A0.6+0.5A0.5+0.3A0.3

~~~~~~=

1x3??0.70.7????x?x?4??3??0.60.60.6????x?x?x?34??2??0.50.50.50.5????x?x?x?x?234??1?

?0.30.30.30.30.3????x?x?x?x?x?

2345??1