正余弦定理舉例教案

天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)人教A版數(shù)學(xué)必修5正弦定理余弦定理的應(yīng)用舉例理學(xué)院數(shù)學(xué)0701田承恩教材分析本課是人教A版數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形中的應(yīng)用舉例中測量長度問題。因為在本節(jié)課前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的公式及基本應(yīng)用。本節(jié)課的設(shè)計，意在復(fù)習(xí)前面所學(xué)兩個定理的同時，加深對其的了解，以便能達到在實際問題中熟練應(yīng)用的效果。同學(xué)們在學(xué)習(xí)時可以考慮，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他條件要注意的是在某種特殊的實際問題下哪些條件可以測量，哪些不能。這節(jié)課我們就跟同學(xué)們共同研究這個問題。重點正弦定理、余弦定理各自的公式記憶。解斜三角形問題的實際應(yīng)用以及全章知識點的總結(jié)歸納。難點根據(jù)已知條件如何找出最簡單的解題方法。用應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想解決實際問題。關(guān)鍵讓學(xué)生靈活運用所學(xué)正弦定理、余弦定理。并具備解決一些基本實際問題的能力。學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)大部分內(nèi)容，已經(jīng)有了必要的數(shù)學(xué)知識儲備和一定的數(shù)學(xué)思維能力；作為高中高年級學(xué)生，也已經(jīng)具有了必要的生活經(jīng)驗。因此，可以通過生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解決實際問題。讓學(xué)生自然而然地接受一些固定解法，這樣，學(xué)生既學(xué)習(xí)了知識又培養(yǎng)了能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能熟練掌握正弦定理、余弦定理的公式掌握應(yīng)用正弦定理、余弦定理解題的基本分析方法和步驟過程與方法通過應(yīng)用舉例的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)通過教學(xué)中的不斷設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索、解決問題的過程情感、態(tài)度與價值觀讓同學(xué)找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，讓同學(xué)們感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實中應(yīng)用的廣泛性。教學(xué)手段計算機，ppt，黑板板書。教學(xué)過程（設(shè)計）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖（一）引入（預(yù)計時間2分鐘）同學(xué)們，眾所周知，古有諸葛亮夜觀天象，鄭和七次下西洋，徐霞客游歷多國名山大川。他們對我天文觀測，航海和地理測量方面作出了突出貢獻。隨著當(dāng)代科技與數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們現(xiàn)在掌握了更先進的辦法來認識自然。我們這一章解三角形的理論就在其中發(fā)揮了重要作用。前不久我們過了一個中國的傳統(tǒng)節(jié)日——中秋節(jié)。中秋節(jié)的夜晚明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想。同學(xué)們想到了什么呢對，有的同學(xué)想到了月餅，那位同學(xué)說想到了嫦娥。很好。嫦娥奔月的神話故事想必大家都耳熟能詳了。嫦娥因偷吃丈夫后奕從西王母哪里討來的不死藥之后，飄飄然就飛起來，因想念后奕就停在了離地球最近的月宮。講到這里我有問題了。那遙不可及的月宮離地球究竟有多遠呢早在1671年，兩個法國天文學(xué)家就測出了地球與月亮之間的距離大約為385400km。他們是怎樣測出兩者之間的距離呢帶著這一系列問題，我們進入今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。教師需要用生動的語言引導(dǎo)同學(xué)思考。學(xué)生聽講思考引入這節(jié)課所講內(nèi)容，并給同學(xué)提出疑問。（二）回顧（預(yù)計時3分鐘）正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即常用于①已知兩角和一邊②已知兩邊和其中一邊的對角。合并成一個就是如果知道一邊，必須知道該邊對角。余弦定理三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍，即常用于①已知三邊②已知兩邊和它們的夾角。幫助同學(xué)回顧上節(jié)課知識。積極配合老師的提問，要快速記憶和掌握這兩個公式?；仡櫳瞎?jié)課所學(xué)習(xí)的正弦定理余弦定理公式及基本應(yīng)用。為下面的應(yīng)用問題打下基礎(chǔ)。（三）新課講解（計時為8分鐘）新課講解新課講解本環(huán)節(jié)一共給學(xué)生講解兩個例題，由易到難，讓同學(xué)在解三角形測量長度這一類問題上有所了解與掌握。其中例1：如下圖，設(shè)A,B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。測量者在A的同側(cè)。在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°。求A，B兩點間的距離（精確到0.1m）。分析：所求的邊AB的對角是已知的，又已知角形的的一邊AC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出邊AC的對角，根據(jù)正弦定理，可以計算出邊AB。AABC解：根據(jù)正弦定理，得答：A、B兩點間的距離為65.7m。（值得注意的是在解決實際問題中某些角度和長度我們是可以通過測角儀器和米尺測量的，這些條件通常默認為是已知條件）例二：如圖,點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A,B兩點間距離的方法。分析：用例一的方法，可以計算出河的這一岸的一點C到對岸兩點的距離。再測出∠BCA的大小，借助余弦定理可以計算出兩點的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測的得CD=a，并且在C、D兩點分別測的∠BCA=，∠ACD=，∠BDA=.在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得AABCD在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線。如例一的AC例二的CD.基線選擇要適當(dāng)。一般來說，基線越長，測量精度越高。通過例一例二由淺入深地給同學(xué)講述利用正、余弦定理測量距離的問題，中間有些問題需要師生之間的互動。認真思考求解的一般步驟和方法，找出其中的規(guī)律。考慮例二有沒有別的求解方法交給同學(xué)解答一般解三角形實際問題中測量距離的求解方法。讓同學(xué)們了解到解三角形在實際中的應(yīng)用是很廣泛的。引出基線幫助同學(xué)進一步了解此類問題。（三）解答上課時候的問題——地月距離(記時1分鐘)通過上面例一、例二的講解，同學(xué)們對正余弦定理的應(yīng)用有了一定的認識了嗎那讓我們返回去想想我們上課時提問的問題。兩位法國天文學(xué)家為了測量地球與月球之間的距離，利用幾乎位于同一條子午線的柏林和好望角，測量計算出∠CAB、∠ABC的大小和兩地之間的距離AB的長，從而計算出地月距離越385400KM.ABC現(xiàn)在我們再看這個問題是不是很簡單，和容易解答了呢當(dāng)然，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，還有一些更為先進和準確的測量距離的方法。啟發(fā)學(xué)生獨立思考的能力。結(jié)合所學(xué)最好能獨立解答?；貧w課前疑問，用本節(jié)課所學(xué)知識解答。（四）小結(jié)（計時1分鐘）拿到一個題目，我們要三步走：第一步要認真讀題，找出題目中的已知條件和所求問題。第二步，把所求的邊放到一個三角形中，并觀察該三角形的已知條件能否求解。第三步，如果條件不足，把所需條件再放到一個已知條件多的三角形中求解。最終得到所求邊長。希望同學(xué)們學(xué)習(xí)了今天的內(nèi)容，能夠靈活掌握正弦定理、余弦定理解題的基本分析方法和步驟。并且在遇到現(xiàn)實中一些問題時，能的用我們學(xué)到的數(shù)學(xué)知識加以求解，達到學(xué)以致用的效果。（五）課后作業(yè)同學(xué)們課后自己完成12頁課后題1和2.要求學(xué)生獨立完成讓學(xué)生熟悉解題的過程；加深了解。六、板書設(shè)計正弦定理余弦定理的應(yīng)用舉例一、回顧公式二、新科講解例一公式例二