必修五 第一章 解三角形 第5課時(shí) 應(yīng)用舉例

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第5課時(shí)應(yīng)用舉例——高度問題課標(biāo)要求

1．能運(yùn)用正弦定理，余弦定理解決頂點(diǎn)或底部不可到達(dá)的兩點(diǎn)的距離測(cè)量問題；

2．通過解斜三角形應(yīng)用舉例進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力；

3.了解解三角形知識(shí)在生產(chǎn)生活實(shí)際中的廣泛應(yīng)用,使學(xué)生體會(huì)知識(shí)來源于實(shí)際生活，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

情景導(dǎo)入

如何測(cè)量一個(gè)個(gè)頂部不可達(dá)到的旗桿（旗桿大小忽略不計(jì)）的高度？

?ACB??，設(shè)旗桿的頂部為A，底部為B，在地面取一點(diǎn)C，可以測(cè)得BC?m，則在Rt?ABC中，AB?Ctan??mtan?.目標(biāo)訓(xùn)練

１仰角與俯角是指同一鉛直平面內(nèi)，視線與水平線的夾角，當(dāng)視線在水平線上時(shí)，稱為仰角，當(dāng)視線在水平線下時(shí)，稱為俯角.

２.在?ABC中，邊BC,CA,AB上的高分別記為ha,hb,hc，則ha?bsinC?csinB，

hb?csinA?asinC，hc?asinB?bsinA.

3.如圖，在?ABC中，AB?BC，D在BC上，若已知CD?a,?ACB?30?,?ADB?60?，則AB?（）A．

1a2B．2a2C．3a2

D．a(chǎn)

3a.選C.2?C,D?a?,ACB?45?，則4.如圖，AB?平面BCD，若?BCD??BDC?45AB?（）

23A．B．a(chǎn)a

22C．a(chǎn)D．2a

CBCB2os?ACB??a.又c，所以CA?BC?asin45??a，

CAcos?ACB2DA?DC?a,AB?ADsin60??選C.

5.?ABC中，?CAB?45?,?CBA?60?,AB?2(3?3)，則AB邊上的高為（）

A.6B.5C.4D.3設(shè)AB邊上的高為h，則

hh??2(3?3)，化簡(jiǎn)得h?6.選A.

tan45?tan60?精典例題

題型一：鉛直平面內(nèi)高度計(jì)算.航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10000m，速度為180km/h.飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5?，經(jīng)過420s后又看到山頂?shù)母┙菫?5?，求山頂?shù)暮０胃叨龋ㄈ?＝1.7）．解?ABC求出BC，解Rt?BDC求出CD，山峰的高為10000?CD.

如圖，過C作CD?AD，垂足為D，由于?A?15?，

1

?DBC?45?，所以?ACB?30?，

1AB?180000?420??21000(m)

3600BCAB?所以在?ABC中，sinAsin?ACB6?2且sin15??sin(45??30?)?，

421000所以BC??sin15??10500(6?2)

12由于CD?AD，

所以CD?BCsin?CBD?BC?sin45?

2＝10500(6?2)?2＝10500(1.7?1)(3?1)＝10500＝7350

所以山頂?shù)暮０胃叨?10000?7350?2650(米).

鉛直平面內(nèi)高度的計(jì)算，尋常用正弦定理，余弦定理或解直角三角形即可求得.

1.如下圖，南山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC.小李在山腳B處

＝120?；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角?ABC?ADC＝150?，從D處再攀登800米方到達(dá)C處.問索道AC長(zhǎng)多少（208?14.4確切到米）？

＝400，?ABD＝120?在?ABC中，BD＝30?，所以?DAB?30?由于?ADBBDAD?

sin?DABsin?ABDsin120??400?4003所以AD?sin30?800，?ADC＝150?在?ADC中，DC＝222所以AC?AD?DC?2AD?DC?cos150?

由于

?(4003)2?(800)2?2?4003?800?(??2080000

得AC?1440（米）則索道AC長(zhǎng)約為1440米.

3)2題型二：空間圖形中的高度計(jì)算.

如圖，操場(chǎng)上由東至西的跑道北邊一旗桿立于升旗臺(tái)上,為了測(cè)得旗桿的高度,在跑道上取定兩點(diǎn)A,B，并測(cè)得AB?30m，在A點(diǎn)測(cè)得旗桿頂D的仰角為30?，旗桿在點(diǎn)A的東30?北的方向上，在B點(diǎn)測(cè)得旗桿在北45?西的方向上，試求旗桿的高度（可以保存根式）.先在?ABC中利用角角邊的條件求出AC，再解直角三角形?ADC求出CD.

如圖，在?ABC中，

?BAC?30?,?ABC?45???ACB?105?，

由正弦定理，得：AC?AB?sin45??sin105?30?22?30(3?1)m6?242

在?ACD中，AC?CD,?CAD?30?，

33?AC??30(3?1)?10(3?3)m33答：求旗桿的高度為10(3?3)m

所以CD?當(dāng)題中給出的點(diǎn)不共面時(shí)，我們尋常要找通過三角形的公共邊，將邊長(zhǎng)與角的條件集中起來，然后解三角形.

2.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得CD?s,?BCD??,?CDB??，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為?，求塔高AB．在?BCD中，?CBD?π????．

BCCD?．

sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs?sin??所以BC?．

sin?CBDsin(???)s?tan?sin?在Rt?ABC中，AB?BCtan?ACB?．

sin(???)由正弦定理得

題型三：方程的思想求高度.

江岸邊有一炮臺(tái)，江中有兩條船，由炮臺(tái)的頂部測(cè)得俯角分別為45?和30?，而且兩船與炮臺(tái)底部連線成30?角，兩船的距離為30m，求炮臺(tái)的高度.B此題要注意兩點(diǎn)：一是由俯角大小得出?ABC與?ABD；二是圖形為空間圖形，利用Rt?ABC與Rt?ABD用高度表示AC,AD，再解?ACD求出h.設(shè)炮臺(tái)的高度為h，則?ABC?45?,?ABD?60?，在Rt?ABC中，AC?AB?h.

在Rt?ADB中，AD?ABtan60??3h.

在?ACD中，CD?AC?AD?2AC?AD?cos30?即30?h?(3h)?2h?3h?222222ACD3，2化簡(jiǎn)得h?30.

答：炮臺(tái)的高度為30m.

當(dāng)高度不能直接求出時(shí)，可設(shè)高度，由正弦定理與余弦定理列方程（組），通過解方程或方程（組）求出高度.

3.在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C測(cè)得同一建筑物的仰角分別為30?,45?,60?，且AB?BC?60m，求建筑物的高度.

與線段AB,BC相關(guān)的三角形是?HAC與?PAC，由題設(shè)可將HA,HB,HC或PA,PB,PC全部計(jì)算出來，用建筑物高h(yuǎn)表示，然后解?HAC或?PAC.依題意可得

hhh2?2h,PB??2h,PC??h.

sin30?sin45?sin60?3由于cos?PBC?cos?PBA?0

4602?2h2?h222260?2h?4h3??0所以2?60?2h2?60?2hPA?解得h?306m

答：建筑物的高為306m.題型四：方位角與視角交匯的高度計(jì)算.

3

☆備用題☆

小明在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A在南偏西80?處，仰角為45?，然后他又沿南偏東40?方向前進(jìn)10米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得塔頂A的仰角為30?，求塔高.

這是一個(gè)求高度的空間問題，方向角是水平方向的角度，仰角是鉛直平面上的角度，因此要選畫空間圖形，由圖形來找量與量之間的關(guān)系.

設(shè)塔高為h,則依題意可得?ACB?45?，所以BC?h，由?ADB?30?得BD?3h又?BCD?80??40??120?

所以(3h)2?102?h2?2?3h?10?cos120?

即h?5h?50?0

解得h?10，或h??5（舍去）答：塔高為10米.方法點(diǎn)撥

1.鉛直平面內(nèi)的高度計(jì)算，尋常是正弦定理與解直角三角形（或余弦定理）交匯使用;2.空間圖形高度的計(jì)算，要作出立體圖形，以各個(gè)面三角形的公共邊為解題的突破口；3.當(dāng)高度不能直接求出時(shí)，可用方程的思想方法來研究.達(dá)標(biāo)練習(xí)(1-8題為基礎(chǔ)練習(xí)，9-10題為能力提高)

1.據(jù)新華社2023年5月18日?qǐng)?bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠〞在廣東饒平登陸.臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴(yán)重的災(zāi)難，不少大樹被大風(fēng)折斷.某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與底面成45?角，樹干也傾斜為與底面成75?角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹桿底部的距離是（）

2206106

米B.106米C.米D.202米33a20236?，解得a?.選A.

sin45?sin60?32.在一棟30米高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?0?,塔基的俯角為45?，則這座塔的高度是()A.(30?103)mB.(30?303)mC.(156?152)mD.(306?302)m設(shè)大樓高為AB,則AB?30米，塔高為CD，過樓頂B作CD的垂線，垂足為M，則?DBM?60?,?CBM?45?在.Rt?CMB中，CM?30,BM?CM?30,所以，在Rt?BMD中，DM?BM?tan60??303.A.則CD?CM?MD?30?303（米）.選B.

3.如圖，B,C,D三點(diǎn)在地面同一直線上，DC?a，從C,D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是?,?(???)，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A.

asin?sin?asin?sin?B.

sin(???)cos(???)acos?cos?acos?cos?D.sin(???)cos(???)a?C.

ACasi?n，又，所以AC?sin(???)sin?sin?(??)asi?nsin?AB?ACsin??.選B.

sin?(??)4.山坡與水平面成30?角，坡面上有一條與山底坡腳的水平線成30?的直線小路，某人沿小路上坡走了一

段路后升高了100m，則此人走了()A.200mB.300m

C.2023mD.400m如下圖，某人從A點(diǎn)沿小路走到B點(diǎn)，

4

BD?100,?BCD?30?,?BAC?30?,則BC?BDBC?200,AB??400.選D.

sin30?sin30?5.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為?，對(duì)著山峰在平行地面

上前進(jìn)600m后，測(cè)得山峰的仰角為原來的2倍，繼續(xù)在平行地面上前進(jìn)2023m后，測(cè)得山峰的仰角為原來的4倍，則該山峰的高度為（）

A.200mB.300mC.400mD.1003mBD?600,CD?CB?2023，所以2023cos2??300，所以cos2??3，從而2??30?，2所以AB?BCsin4??2023?sin60??300m.選C.

6.一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷，折斷部分與殘存樹干成30?角，樹干底部與樹尖著地處相距5米，則樹干原來的高度為_______米

設(shè)殘存樹干為AB,折斷部分為BC，所以AB?AC?10,所以樹干原來的高度為(10?53)tan30?米.填10?53.7．某人在塔的正東沿著南偏西60?的方向前進(jìn)40米后，望見塔在正北，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30?，則塔高為.

設(shè)塔高為AB，某人由C前進(jìn)到D，依題意可得CD?40米，?ACD?90??60??30?，

作AE?CD于E，則?BEA?30?,則AD?CD?sin30??20,AE?ADcos60??103,

3?10（米）.填10米.38.如下圖，在高出地面30m的小山頂建造一座電視塔CD,今在距離B點(diǎn)60m的地面上取一點(diǎn)A，若測(cè)得CD所對(duì)的角?CAD?45?，求此電視塔的高度.

BC301??,則有在Rt?ABC中，tan?CAB?AB60211?tan45??tan?CAB2?3.tan(45???CAB)??1?tan45?tan?CAB1?12在Rt?DBA中，BD?ABtan?DAB?60?3?180.所以CD?BD?BC?180?30?150(m).

所以AB?AEtan30??103?答：電視塔的高度為150m.

9.空中有一氣球，在它的正西方A點(diǎn)測(cè)得它的仰角為45?，同時(shí)在它南偏東60?的B點(diǎn)，測(cè)得它的仰角為30?，A、B兩點(diǎn)間的距離為266m，這兩測(cè)點(diǎn)均離地1m，問測(cè)量時(shí)氣球離地多少米？如下圖，D為氣球C在平面ABD上的射影，設(shè)CD=x，依題意知：

?CAD?45?,?CBD?30?，則AD?x,BD?3x在?ABD中，由余弦定理得：

AB2?AD2?BD2?2AD?BD?cos?ADB

即；2662?x2?(3x)?2x?(3x)?cos150?7x2

26677?2667?故測(cè)量時(shí)氣球離地??7?1??m．

??解得：x?

5

10.如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75?,30?，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角都為60?，AC=0.1km．試探究圖中B，D間距離