高一求求函數(shù)值域的7類題型和15種方法講義

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題型一：一次函數(shù)y?ax?b?a?0?的值域（最值）

1、一次函數(shù)：y?ax?b?a?0?當其定義域為R，其值域為R；

2、一次函數(shù)y?ax?b?a?0?在區(qū)間?m,n?上的最值，只需分別求出f?m?,f?n?，并比較它們的大小即可。若區(qū)間的形式為???,n?或?m,???等時，需結合函數(shù)圖像來確定函數(shù)的值域。題型二：二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)的值域（最值）

?4ac?b2y??a?0???4a1、二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)，當其定義域為R時，其值域為?

2?y?4ac?b?a?0??4a?2、二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)在區(qū)間?m,n?上的值域(最值)首先判定其對稱軸x??（1）若?b與區(qū)間?m,n?的位置關系2abb最大值為f(m),f(n)中較大者；當a?0??m,n?,則當a?0時，f(?)是函數(shù)的最小值，

2a2ab時，f(?)是函數(shù)的最大值，最大值為f(m),f(n)中較小者。

2ab（2）若???m,n?,只需比較f(m),f(n)的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?。

2a特別提醒：

①若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?；

②若給定的區(qū)間形式是?a,???,???,b?,?a,???,???,b?等時，要結合圖像來確函數(shù)的值域；③當頂點橫坐標是字母時，則應根據(jù)其對應區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關系進行探討。例1：已知f?x2?2x的定義域為??3,???，則f?x?的定義域為???,1?。例2：已知f?x?1??x?1，且x???3,4?，則f?x?的值域為?1,1?7。

2??題型三：一次分式函數(shù)的值域1、反比例函數(shù)y?k(k?0)的定義域為?xx?0?，值域為?yy?0?xcx?d2、形如：y?的值域：

ax?b（1）若定義域為?x?Rx???時，其值域為?y?Ry???b?a???c??a?（2）若x??m,n?時，我們把原函數(shù)變形為x?出函數(shù)的值域。

d?by，然后利用x??m,n?（即x的有界性），便可求

ay?c1

2x?3例3：函數(shù)y?的值域為x32?1例4：當x???3,?1?時，函數(shù)y?練習：已知f?x?1??1????,??3???11?3??,?,?。；若時，其值域為x?1,2??????511?1?3x的值域2x?13???4,??。?2??6????,?。??5??x?3，且x???3,2?，則f?x?的值域為2?xdx2?ex?c題型四：二次分式函數(shù)y?的值域2ax?bx?c一般狀況下，都可以用判別式法求其值域。但要注意以下三個問題：①檢驗二次項系數(shù)為零時，方程是否有解，若無解或是函數(shù)無意義，都應從值域中去掉該值；②閉區(qū)間的邊界值也要考察達到該值時的x是否存在；③分子、分母必需是既約分式。

x2?x?12??例6：y?2；?1,???????,?

7?x?x?6?x2?x?2例7：y?；?y?Ry?1?2x?13x?33?例8：y?2；??,?

x?4?44?x?1例9：求函數(shù)y?2x???1,???的值域

x?2x?1解：由原函數(shù)變形、整理可得：yx2??2y?1?x?y?1?0

求原函數(shù)在區(qū)間??1,???上的值域，即求使上述方程在??1,???有實數(shù)解時系數(shù)y的取值范圍當y?0時，解得：x?1???1,???也就是說，y?0是原函數(shù)值域中的一個值…①當y?0時，上述方程要在區(qū)間??1,???上有解，

??01?即要滿足f??1??0或?2y?1解得：0?y?……②

8??2y??1??1?綜合①②得：原函數(shù)的值域為：?0,?

?8?題型五：形如y?ax?b?cx?d的值域這類題型都可以通過換元轉化成二次函數(shù)在某區(qū)間上求值域問

題，然后求其值域。

例10：求函數(shù)y?2x?41?x在x???8,1?時的值域??4,4?題型六：分段函數(shù)的值域：

一般分別求出每一分段上函數(shù)的值域，然后將各個分段上的值域進行合并即可。假使各個分段上的函數(shù)圖像都可以在同一坐標系上畫出，從圖像上便可很簡單地得到函數(shù)的值域。例11：y?x?1?x?2?3,???練習：y??x?4x?1???,5?

2題型七：復合函數(shù)的值域

對于求復合函數(shù)的值域的方法是：首先求出該函數(shù)的定義域，然后在定義域的范圍內由內層函數(shù)的值域逐層向外遞推。

2

例13：y?練習：y?x?1??1?x?1??0,2?2?x?5??x2?3x?4?0,?

?2?函數(shù)值域求解的十五種求法

（1）直接法（俗名分析觀測法）：

通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質觀測出函數(shù)的值域。即從自變量x的范圍出發(fā)，推出y?f(x)的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義域結合圖象，或直觀觀測，確鑿判斷函數(shù)值域的方法。注意此法關鍵是定義域。

例1：已知函數(shù)y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函數(shù)的值域。??1,0,3?

2練習：求函數(shù)y?例3：求函數(shù)y?練習：求函數(shù)y?x?1的值域。[1,??)

x?1?x?1,?x≥1?的值域。??2,??x2?6x?10的值域。?1,???

?（2）配方法：

二次函數(shù)或可轉化為二次函數(shù)的函數(shù)常用此方法來還求解，但在轉化的過程中要注意等價性，特別是不能改變定義域。對于形如y?ax?bx?c?a?0?或F?x??a??f?x????bf?x??c?a?0?類的函數(shù)的值域

22問題，均可使用配方法。

例1．求函數(shù)y??2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

分析與解答：由于?2x?x2?3?0，即?3?x?1，y?0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

x2?2x?41例2．求函數(shù)y?在區(qū)間x?[,4]的值域。

x4?x2?2x?442?分析與解答：由y?配方得：y?x??2??x???6，??xxx??141?x?2時，函數(shù)y?x??2是單調減函數(shù)，所以6?y?18；4x44當2?x?4時，函數(shù)y?x??2是單調增函數(shù)，所以6?y?7。

x11所以函數(shù)在區(qū)間x?[,4]的值域是6?y?18。

44當

（3）最值法：

對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用函數(shù)的最大值、最小值，求函數(shù)的值域的方法。例1求函數(shù)y=3-2x-x2當定義域為［-3，1］的值域。

3

2解：由3-2x-x2≥0，解出。函數(shù)y在［-3，1］內是連續(xù)的，在定義域內由3-2x-x2的最大值為4，最小值為0?！嗪瘮?shù)的值域是［0,2］

練習：求函數(shù)y?2，x???2,2?的值域。?,4?

?4?

x?1?

（4）反函數(shù)法（逆求或反求法）：

利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。即通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍。對于形如y?cx?d(a?0)ax?b的值域，用函數(shù)和它的反函數(shù)定義域和值域關系，通過求反函數(shù)的定義域從而得到原函數(shù)的值域。

1?2x例1：求函數(shù)y?的值域。x1?21?y1?y1?2xxx2??0，∴?1?y?12?0解：由y?解得，∵，∴

1?y1?y1?2x1?2x∴函數(shù)y?的值域為y?(?1,1)。

1?2x（5）分開常數(shù)法：

分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分開常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。小結：已知分式函數(shù)y??ax?b(c?0)，假使在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內，值域為?yy?cx?d?b?a??；c?adc(ad?bc)，用復合函假使是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為y?a?ccx?d數(shù)法來求值域。

1?x的值域。2x?5177?(2x?5)?1?x2??1?2，解：∵y??22x?52x?522x?5711?x1∵2?0，∴y??，∴函數(shù)y?的值域為{y|y??}。

22x?522x?5例1：求函數(shù)y?（6）換元法（代數(shù)/三角）：

對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較繁雜的這類函數(shù)，可以考慮運用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域簡單的熟悉的簡單確定的基本函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。當根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當根式里是二次式時，用三角換元。

對形如y?1的函數(shù)，令f?x??t；形如y?ax?b?cx?d(a,b,c,d均為常數(shù),ac?0)的函數(shù)，f?x?令cx?d?t；

4

例1：求函數(shù)y?2x?1?2x的值域。

1?t215解：令t?1?2x（t?0），則x?，∴y??t2?t?1??(t?)2?

224∵當t?1355，即x?時，ymax?，無最小值?！嗪瘮?shù)y?2x?1?2x的值域為(??,]。284422練習：求函數(shù)y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。?y|y?8（7）判別式法：

??1??16?把函數(shù)轉化成關于x的二次方程F(x,y)?0；通過方程有實數(shù)根，判別式??0，從而求得原函數(shù)的值

a1x2?b1x?c1域。對形如y?（a1、a2不同時為零）的函數(shù)的值域，尋常轉化成關于x的二次方程，由于2a2x?b2x?c2方程有實根，即??0從而求得y的范圍，即值域。值得注意的是，要對方程的二次項系數(shù)進行探討。

注意：主要適用于定義在R上的分式函數(shù)，但定義在某區(qū)間上時，則需要另行探討。

x2?x?3例1：求函數(shù)y?2的值域。

x?x?1x2?x?32解：由y?2變形得(y?1)x?(y?1)x?y?3?0，當y?1時，此方程無解；

x?x?1當y?1時，∵x?R，∴，??(y?1)?4(y?1)(y?3)?0解得1?y?21111，又y?1，∴1?y?33x2?x?311∴函數(shù)y?2的值域為{y|1?y?}

x?x?13（8）函數(shù)單調性法：

確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的