非壽險(xiǎn)精算答案整理

本文格式為Word版，下載可任意編輯——非壽險(xiǎn)精算答案整理一：假設(shè)某保單的損失聽從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為f(x;?)?e??x(x?0)其中，?為未知參數(shù)，假使該保單過去各年的損失觀測(cè)值為(x1,x2?xn)，求參數(shù)?的極大似然估

??解：利用極大似然估計(jì)的方法，可以得到?n?xi?1n?1

xi二：假設(shè)某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的累積損失S聽從復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)為20，而每次損失的金額聽從均值為100的指數(shù)分布，用正態(tài)近似求累積損失的99%的分位數(shù)。解：

E(S)??E(X)?20?100?20002VAR(S)?VAR(X)E(N)?VAR(N)?E(X)??20(1002?1002)?400000

分位數(shù)=E(S)?2.326?VAR(S)?3471

加二、某保單規(guī)定的免賠額為20，該保單的損失聽從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布，求該保險(xiǎn)人對(duì)該保險(xiǎn)保單的期望賠款。解：令Y??0，X?20為保險(xiǎn)人的賠款隨機(jī)變量

?X?20，X?20??20E(Y)?E(X?20X?20)??(x?20)0.2e?0.2xdx?5e?4

三、假設(shè)某公司承保的所有汽車每年發(fā)生交通事故的次數(shù)都聽從泊松分布，而不同汽車的泊松分布參數(shù)不同，假設(shè)只取兩個(gè)值（1或2），進(jìn)一步假設(shè)?的先驗(yàn)分布為p(??1)?0.6,p(??2)?0.4，假使汽車一年內(nèi)發(fā)生4次事故，求該汽車索賠頻率?的后驗(yàn)分布。解：P(x?4?)??44!e??P(x?4??1)?1?116?2eP(x?4??2)?e2424e?1?0.624P(??1x?4)??1?0.2031

e16?2?0.6?e?0.4242416e?2?0.624P(??2x?4)??1?0.7969

e16?2?0.6?e?0.42424E(?)?P(??1x?4)?1+P(??2x?4)?2=1.7969

四：假設(shè)某險(xiǎn)種的損失次數(shù)聽從參數(shù)為0.2的泊松分布，對(duì)于一次保險(xiǎn)事故，損失為5000元的概率是80%，損失為10000元的概率是20%，請(qǐng)計(jì)算保險(xiǎn)公司的累積損失的分布解：為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)一個(gè)貨幣單位為5000元，

解：fs(0)?e???e?0.2?0.818731，fs(1)??fX(1)fS(0)?0.2?0.8?e?0.2?0.130997

fs(2)??2(fX(1)fS(1)?2fX(2)fS(0))?0.043229

依次類推得其他計(jì)算結(jié)果如下表xfS(x)0120.8187310.1309970.043229FS(x)0.8187310.9497280.99295730.0057990.99875640.0010970.99985350.0001280.99998160.0000180.999999五：假設(shè)某保險(xiǎn)人簽發(fā)了兩份保單A和B，每份保單可能發(fā)生的損失額及相應(yīng)的概率如下表：AB損失額概率損失額概率00.60000.72000.220000.320000.06200000.1200000.04求累積損失概率。解：保險(xiǎn)公司的累積損失及概率損失概率A的損失B的損失A+B的損失六：假設(shè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)在一年內(nèi)是均勻分布，保險(xiǎn)期限為1年，各日歷年的已賺保費(fèi)如下，2000年為200千元，2023年為250千元，2023年為300千元，最近幾次的費(fèi)率調(diào)整如下表，費(fèi)率調(diào)整日期調(diào)整幅度10%1998年7月1日8%1999年7月1日10%2023年7月1日請(qǐng)計(jì)算以該表最新的費(fèi)率水平表示的2000-2023年的已賺保費(fèi)。解：假使把1998年生效的相對(duì)費(fèi)率看做是1，則1999年生效的相對(duì)費(fèi)率為1.08,2023年生效的相對(duì)費(fèi)率為1.08*1.09?1.1772，2000年的相對(duì)費(fèi)率為1*12.5%?1.08*87.5%?1.07，2023年的相對(duì)費(fèi)率為1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2023年的相對(duì)費(fèi)率為1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，將所有年費(fèi)的已賺保費(fèi)調(diào)整到2023年的水平，可得等水平已賺保費(fèi)為3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28八：某險(xiǎn)種當(dāng)年的相對(duì)費(fèi)率和保費(fèi)收入、過去三年的等水平已賺保費(fèi)和經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)如下表所示，假設(shè)A為基礎(chǔ)類別，經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度為40%，假使整體保費(fèi)需要上調(diào)15%，請(qǐng)計(jì)算調(diào)整后的相對(duì)費(fèi)率。

經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)風(fēng)險(xiǎn)類別當(dāng)年的相對(duì)費(fèi)率當(dāng)年的保費(fèi)收入過去三年的等水過去三年的經(jīng)驗(yàn)平已賺保費(fèi)損失A16000160004800B1.26500150003500C1.35500150003200yp2360000?0.4,查表可知()?384解：有實(shí)際賠付經(jīng)驗(yàn)可知?km15002因此完全可信性所需的索賠次數(shù)不能小于nF?384(1?0.4)?445

?又由于每份保單的索賠頻率為0.03，所以發(fā)生445次索賠所需要的保單數(shù)為445/0.03=14848十、假設(shè)某險(xiǎn)種的保險(xiǎn)期限為1年，新費(fèi)率的生效日期是2023年7月1日，目標(biāo)賠付率為60%，假使每年按5%的速度增長(zhǎng)，請(qǐng)根據(jù)下表計(jì)算費(fèi)率的調(diào)整幅度。經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率保單年度根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率計(jì)算的保費(fèi)最終賠款權(quán)重2023200010000.32023300020000.7解：2023年簽發(fā)的保單，其賠款平均在2023年1月1日支出。2023年7月1日簽發(fā)的保單，其賠款平均在2023年7月1日支出。

因此把2023年的保單年度的最終賠款調(diào)整到2023年7月1日得水平即為

1000?1.052.5?1129.73，同樣把2023年保單年度的最終賠款調(diào)整到2023年7月1日的

1.5.86水平即為2000?1.05?2151保單年度根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率計(jì)算的保費(fèi)最終賠款權(quán)重經(jīng)趨勢(shì)調(diào)整后的最終賠款1129.732151.86經(jīng)驗(yàn)賠付率2023200010000.30.56492023300020000.70.7173平均經(jīng)驗(yàn)賠付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716費(fèi)率上調(diào)幅度=0.6716/0.6=12%

十一：已知兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)A和B的損失金額聽從下述分布，，其中風(fēng)險(xiǎn)A發(fā)生損失的概率是風(fēng)險(xiǎn)B的兩倍，假使已知某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)在某次事故的損失額為300元，求該風(fēng)險(xiǎn)下次損失額的BL估計(jì)。損失額風(fēng)險(xiǎn)A的概率分布風(fēng)險(xiǎn)B的概率分布3000.50.630000.30.3700000.20.1解：

1E(x)?(2)?E(x??1)?(E(x??2))?12726.73321a?(15050?12726.7)2?(8080?12726.7)2?10795755.56

33VAR(X??1)?0.5?(300?15050)2?0.3(3000?15050)2?0.2(70000?15050)2?756242500VAR(X??2)?0.6?(300?8080)2?0.3(3000?8080)2?0.1(70000?8080)2?427467600??21?756242500??427467600?646650866.733?nk??59.899z??0.01642an?k信度估計(jì)值為zX?(1?z)??12522.65

十二、已知有四個(gè)風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的被保險(xiǎn)人，每人可能發(fā)生的損失為2或者4，其分布如下表所示，隨機(jī)選定某一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，并且從中選取四個(gè)被保險(xiǎn)人，總的損失為4，假使從同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)中再抽取一個(gè)被保險(xiǎn)人，請(qǐng)用bl-s信度模型估計(jì)這5個(gè)被保險(xiǎn)人的總損失。解：類別概率均值方差2.20.36一類142.60.84二類14三類四類14141433.610.64??2.85，??0.71，a?(2.22?2.62?32?3.62)?2.852?0.2675

4?0.60110.714?0.2675??zX?(1?z)??1.738x??8.695xz?n?n?k十三、假設(shè)不同被保險(xiǎn)人的索賠頻率相互獨(dú)立，每個(gè)被保險(xiǎn)人在每月的索賠次數(shù)聽從泊松分布，不同被保險(xiǎn)人的泊松參數(shù)互不一致，泊松參數(shù)聽從伽馬分布，其密度函數(shù)為

(100?)6e?100?f(?)?，假設(shè)保險(xiǎn)人在過去4個(gè)月份的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示，請(qǐng)應(yīng)用bl-s

120?模型估計(jì)保險(xiǎn)人在下個(gè)月的索賠次數(shù)。

十四

十六：已知100個(gè)人投保，這些投保的個(gè)體有相互獨(dú)立的索賠，索賠的均值和方差依照性別分別如下表：均值方差24男性210女性設(shè)S為總的索賠量，總的保險(xiǎn)費(fèi)依照E(S)?2D(S)收取，這100個(gè)成員中，男女性別個(gè)數(shù)未知，設(shè)男性有N個(gè)人，N聽從二項(xiàng)分布，b(100,0.4)。求總保費(fèi)為多少？

,0.4)，則總索賠解：設(shè)X表示男性索賠，Y表示女性索賠，N表示男性個(gè)數(shù)，N~b(100為男、女之和，即

S?X1?X2???XN?YN?1?YN?2???Y100E(X)?2，D(X)?4E(Y)?4，D(Y)?10

則E(S)?E(E(SN))

?E(NE(X)?(100?N)E(Y))?400?2E(N)

=320

D(S)=E(D(SN))?D(E(SN))

?E(ND(X)?(100?N)D(Y))?D(NE(X)?(100?N)E(Y))?760?96?856

所以總保費(fèi)為E(S)?2D(S)=378.5

十七、設(shè)??2，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4，計(jì)算總索賠S的分布f(S?x),x?0,1,2,3,4的概率。

一：一般解法：f(x)?P(S?x)??P(S?xN?n)P(N?n)

n?0??經(jīng)計(jì)算為X01234N?Pn?0?*n(x)P(N?n)

P*0(x)100.1353P*1(x)00.10.20.30.410.2707P*2(x)000.010.040.120.2707P*3(x)0000.010.0630.1804P*4(x)00000.00140.451f(x)0.13530.027070.056830.092220.13688?nn!e??方法二：S?x1N1?x2N2?x3N3?x4N4

其中，Ni聽從參數(shù)為?pi的泊松分布，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4列成下表進(jìn)行計(jì)算X1N1012340.81870.163750.0163750.001090.0000550.22N20.670300.268100.05360.43N30.5488000.329300.64N40.44930000.35930.8P（S?x）0.13530.027070.056830.092220.13688?iP(Ni?x)(0.2)xe?0.2(0.4)xe?0.4(0.6)xe?0.6(0.8)xe?0.8x!x!x!x!十八：由100000張同類醫(yī)療保單的組合，設(shè)被保險(xiǎn)人的損失是相互獨(dú)立的，保單規(guī)定保險(xiǎn)人只賠付被保險(xiǎn)人所發(fā)生損失的80%，設(shè)在保險(xiǎn)期間內(nèi)可能發(fā)生的損失都聽從分布X0502005001000100000.10.10.20.20.1P(X?x)0.3若要求所收取的保費(fèi)總額低于理賠總額的概率不超過5%，試確定安全附加保費(fèi)100000解：設(shè)損失變量為L(zhǎng)?100000?Xi?1i，則理賠變量為

S?0.8L?0.8?Xi?1i，又設(shè)安全附加費(fèi)為?，則保費(fèi)總額為G?(1??)E(S)則根據(jù)題意

E(S)?1060*100000

D(S)?5439120?100000??E(S)?S?E(S)?E(S)?????()有P??D(S)?D(S)??D(S)?所以安全附加保費(fèi)為1.645*5439120*100000=1213193.9

十九：一個(gè)保險(xiǎn)公司為投保人提供三種保險(xiǎn)，其特征見下表：種類人數(shù)索賠概率個(gè)體賠付期望15000.055210000.11035000.155已知對(duì)于每一個(gè)投保人，在索賠發(fā)生的條件下，個(gè)體索賠量得期望與方差相等，且保險(xiǎn)供給將收取純保費(fèi)的(1??)倍為保費(fèi)，求相對(duì)附加保費(fèi)?使得P(S?(1??)E(S))?0.05成立。

解：設(shè)Xi代表第i類得個(gè)體索賠變量，?Ii?1?表示第i類索賠發(fā)生，?Ii?0?Ii為0-1變量，表示第i類索賠不發(fā)生，Bi代表在索賠發(fā)生的條件下，索賠的大小。則根據(jù)個(gè)體索賠量得定義，Xi?IiBi，且P(Ii?1)?qi，qi為索賠概率。則E(Xi)??iqi,D(Xi)??iqi(1?qi)??i2qi

其中?i?E(BiIi?1),?i2?D(BiIi?1)，且根據(jù)已知?i??i2成立所以E(S)?32?n?qiii?13i?1i?500?0.25?1000?0.1?500?0.75?1500

2D(S)??ni(?iqi(1?qi)??i2qi)=12687.5

查表的到：?E(S)D(S)?1.645所以??0.1235

二十：某保險(xiǎn)公司規(guī)定賠款最高限額是3000元時(shí)，超過部分由投保人自己支付，隨機(jī)變量X即一筆賠款的分布函數(shù)是F(x)，而F(x)遵從于F(x)?1?e?0.001x試計(jì)算對(duì)一筆賠款應(yīng)由保險(xiǎn)人支付平均額度。

X?0

?d?F(x)?0.001e?0.001x,(x?0)解：賠款額的概率密度是f(x)??dx

?0?因此根據(jù)賠償限額的規(guī)定，我們得到

二十一：假設(shè)汽車保險(xiǎn)的損失分布是參數(shù)(??3,??100)的帕累托分布：

1003),x?0求免賠額為20時(shí)的賠償期望值為多少？

x?100100?50解：E(X)????1?3?11001003?1E(X?20)?(1?())?15.28

3?11202303F(20)?1?()?0.4213

120E(X)?E(X?20)則賠款的期望值為E(Y)??60

1?FX(20)二十二：假設(shè)某汽車保險(xiǎn)的損失分布是參數(shù)(??3,??100)的帕累托分布：

1003),x?0求免賠額為200時(shí)的賠償期望值為多少？F(x)?1?(x?100100?50解：E(X)????1?3?11001003?1E(X?200)?(1?())?44.44

3?1300F(x)?1