電磁場作業(yè)題答案全

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第1章矢量分析

1.1什么是場？什么是矢量場？什么是標(biāo)量場？什么是靜態(tài)場？什么是時(shí)變場？

答：假使在空間某一個(gè)區(qū)域內(nèi)上任意一點(diǎn)都有一確定物理量值與之對(duì)應(yīng)，則這個(gè)區(qū)域就構(gòu)了一個(gè)物理量的場。

假使這個(gè)確定物理量值是一個(gè)標(biāo)量（只有大小沒有方向），我們稱這種場為標(biāo)量場，如溫度場、密度場、電位場等等。

假使這個(gè)確定物理量值是一個(gè)矢量（既有大小又有方向），我們稱這種場為矢量場，如電場、磁場、重力場等等。

假使在場中的這個(gè)物理量僅僅是空間位置的函數(shù)，而不是時(shí)間的函數(shù)（即不隨時(shí)間變化的場），我們稱這種場為靜態(tài)場。

假使在場中的這個(gè)物理量不僅僅是空間位置的函數(shù)，而且還是時(shí)間的函數(shù)（即隨時(shí)間變化的場），我們稱這種場為時(shí)變場。

1.2什么是標(biāo)量？什么是矢量？什么是常矢？什么是變矢？什么是單位矢量？

答：一個(gè)物理量假使僅僅只有大小的特征，我們稱此物理量為標(biāo)量。例如體積、面積、重量、能量、溫度、壓力、電位等。

假使一個(gè)物理量不僅僅有大小，而且還具有方向的特征，我們稱此物理量為矢量。例如電場強(qiáng)度，磁感應(yīng)強(qiáng)度、電位移矢量、磁場強(qiáng)度、速度、重力等。

一個(gè)矢量假使其大小和方向都保持不變的矢量我們稱之為常矢。假使矢量的大小和方向或其中之一是變量的矢量稱為變矢。

矢量與矢量的模值的比值，稱為單位矢量。即模值為1的矢量稱為單位矢量1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值線？什么是等值線方程？

答：在標(biāo)量場中大量一致的函數(shù)值（他們具有不同的位置）。構(gòu)成的曲面，稱為等值面。例如，溫度場中由一致溫度構(gòu)成的等溫面，電位場中一致電位構(gòu)成的等位面等都是等值面。

描述等值面的方程稱為等值面方程。假定u?x,y,z?是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)。則等值面方程可表述為u?x,y,z??C（c為任意常數(shù)）

在標(biāo)量場中平面中一致的函數(shù)值構(gòu)成的曲線，稱為等值線。

描述等值線的方程稱為等值線方程。假定u?x,y?是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)。則等值線方程可表述為u?x,y??C（c為任意常數(shù)）1.4求以下電場的等位線方程(1)??xz，(2)??4x?y22解：根據(jù)等值線方程的定義即電位函數(shù)應(yīng)為一常數(shù)，所以等位線方程為

⑴??c?xz，即x?c；⑵??4?c即x2?y2?4?k（k為常數(shù)）zcx2?y21

電磁場作業(yè)答案

1.5求下電場的等值面方程1）??2221222，2）?=（x-x0)?(y?y0)?(z-z0)，3）?=ln(x+y+z)22x?y?z2解：根據(jù)等值面方程的定義即電位函數(shù)應(yīng)為一常數(shù)，所以等位面方程為

⑴??1即x2?y2?z2?1?k2?ccx2?y2?z2⑵?=（x-x0)2?(y?y0)2?(z-z0)2?c即(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?c2?k2⑶ln?x2?y2?z2??c即x2?y2?z2?ec?k2，（k為常數(shù)）

1.6什么方向?qū)?shù)？什么梯度？梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系？

答：在標(biāo)量場中任一點(diǎn)在某一方向上的變化率稱為方向?qū)?shù)。

在任意一個(gè)給定點(diǎn)所有方向上方向?qū)?shù)的最大值，稱為該點(diǎn)的梯度

梯度是在某一點(diǎn)所有方向?qū)?shù)的最大值；而方向?qū)?shù)是梯度在某一方向上的投影。1.7求函數(shù)u?x2?y2?z2在點(diǎn)M(0,1,1)沿l?2ex?ey?ez2方向的方向?qū)?shù)。

解：在求解方向?qū)?shù)時(shí)首先要求出標(biāo)量函數(shù)對(duì)坐標(biāo)軸各變量的變化率，然后求出沿l方向的方向余弦，帶入方向?qū)?shù)公式，即?u??xxx?y?z222?u??y?x2yx?y?z?u?0?y222?u??zzx?y?z222

在點(diǎn)M(1,0,1)有?u?1l的方向余弦是cos??由式得?u?lM0?u1??z2112?22?22?13cos??23cos??23?112121??0????3232321.8求函數(shù)u?x2?y2?z2在點(diǎn)M(0,1,1)的梯度。解：根據(jù)梯度計(jì)算公式得

?u?112?u?u?u即

?u??0??ex?ey?ez?x?y?z2221.9什么是矢量線？什么是通量？什么是散度？

答：在矢量場中用一些有向曲線來描述矢量場，假使曲線上每一點(diǎn)的切線方向都表示該點(diǎn)的矢量場的方向，這些曲線稱為矢量線。

在矢量場中任意矢量F沿有向曲面S的積分稱為矢量F通過該有向曲面S的通量。

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即???F?ds??F?n0ds

ss在矢量場F中的任一點(diǎn)P作一包圍該點(diǎn)的任意閉合面s，并使s所限定的體積??以任

意方式趨于零時(shí)，穿出該閉合面s的通量與s所限定體積??比值的極限值稱為矢量場F在點(diǎn)P的散度，記作divF（讀作散度F）。即

divF?lim???0?F?ds?lim?F?nds

ss0?????0??1.10求矢量場中矢量A?xex?yey?2zez經(jīng)過點(diǎn)M(1,2,3)的矢量線方程。

解：在矢量場中任意矢量可以表示為A?Axex?Ayey?Azez和矢量方程dx?dy?dz

AxAyAz可得dx?dy?dz

xy2z解微分方程，可得y?c1x，z?c2x2

將點(diǎn)M(10.,2.0,3.0)的坐標(biāo)代入，可得c1?2，c2?3

矢量線方程為y?2x，z?3x1.11設(shè)s是上半球面x2?y2?z2?a22?z?0?，它的單位法線矢量n0與oz軸的夾角是銳角，求

矢量場r?exx?eyy?ezz向n0所指的一側(cè)穿過s的通量。[提醒：r與n0同指向]

解：根據(jù)題意選取球坐標(biāo)則矢量r?xex?yey?zez?aer，而球面上任意微元面積為

dsr?dl?dl?er?r2sin?d?d?er，

因此，根據(jù)通量定義可得?=?r?dsr??aer?dl?dl?er?ass2?3?20sin?d??d?=2?a3

02?1.12試計(jì)算空間矢量場矢量A?(3x?2yz)ex?(y?yz)ey?(xyz?3xz)ez的散度。解：根據(jù)散度在直角坐標(biāo)系中的表示式??A??Ax??Ay??Az

?x?y?z322可得??A??Ax??Ay??Az?6x?3y2?z2?xy?6xz

?x?y?z1.13什么是環(huán)量？什么是旋度？

答：在矢量場中任意矢量F沿有向閉合曲線的積分稱為矢量F沿曲線的環(huán)量。

矢量場中矢量F在某一點(diǎn)的旋度是一矢量，其大小是矢量F在該點(diǎn)的最大環(huán)量面密度，其方向是環(huán)量面密度最大值時(shí)面元正法線單位矢量。

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1.14求矢量場A??yex?xey?cez(c為常數(shù)）沿以下曲線的環(huán)量(1)圓周x2?y2?R2,z?0（旋轉(zhuǎn)方向與z軸成右手關(guān)系）

(2)圓周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋轉(zhuǎn)方向與z軸成右手關(guān)系）解：設(shè)圓周包圍的曲面為s，則s??R2，據(jù)斯托克斯定理，可得

?ex????A?dl???A?ds??1）??????xlss????y??2rd?rd??2?R200R2?ey??yxez?????ds???2ez?ds?z?sC??其中??A?2ez?ex??2)

??A?dl???A?ds????????xlss????y,ey??yxds?rdrd?

ez???2??ds???2ez?ds?2?Rez?z?sC??1.15試計(jì)算空間矢量場矢量A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez的旋度：解：由??A?(?Fz??Fy)e?(?Fx??Fz)e?(?Fy??Fx)e

xyz?y?z?z?x?x?y得??A??xz?2yz?ex???2y?yz?3z2?ey?2zez1.16試證明(1)對(duì)于標(biāo)量函數(shù)u，有

??2u?2u???u?u?u???2u?2u???2u?2u????????????u?????ex?ey?ez????ex???ey???ez?0?????y?x???y?z?y?z???x?z?x?z???x??x?y?x?y?(2)對(duì)于矢量函數(shù)A，有

???Az?Ay???Ay?Ax?????Az?Ay???Ax?Az?????(??A)??????e??e???zy??y???x??y??ez???x???y??z???z?z?x??????????22???Ax?Az????Ay?Ax??2Az?Ay?2Ax?2Az?Ay?2Ax???????????x?y??x?z??y?z??x?y??x?z??y?z?0?y??z?x??z??x?y??

第2章靜電場

2.1什么是靜電場？什么是電荷守恒定律？

答：相對(duì)于觀測者來說靜止不動(dòng)，其電量也不隨時(shí)間發(fā)生變化的電荷稱之為靜電荷。靜電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場。靜電場是一種不隨時(shí)間變化的電場。

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宏觀世界里電荷既不能被產(chǎn)生，也不能被消滅，它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體上，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。

2.2什么是試驗(yàn)電荷？什么是點(diǎn)電荷？什么是環(huán)量？

答：在電場中一個(gè)電荷產(chǎn)生的電場相對(duì)于場源產(chǎn)生電場的影響可以忽略不記，這樣的電荷稱為試驗(yàn)電荷。

一般來說當(dāng)一個(gè)帶電體距離觀測點(diǎn)的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于帶電體本身的尺寸時(shí)，帶電體的大小和幾何尺寸可以忽略，則該帶電體可近似看作一個(gè)點(diǎn)電荷。2.3在宏觀世界電荷是如何分布的？答：在宏觀世界電荷是連續(xù)分布的。但連續(xù)分布電荷的帶電體，其電荷分布不一定是均勻地。具體分布有1．電荷體分布；2．電荷面分布，3．電荷線分布。2.4簡述庫侖定律

答：真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q1和q2之間有相互作用力F，其作用力的大小與兩電量q1，q2的乘積成正比；與q1，q2之間距離R的平方成反比；其作用力的方向在它們的連線方向；假使兩點(diǎn)電荷同性則為斥力，異性為引力。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

F12?14??0?q1q20q1q2R?R|R|24??0|R|3??牛頓??2.5三個(gè)點(diǎn)電荷q1?4（庫），q2?q3?2（庫），分別放在直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)上：（0，0，0，）（0，1，1，），（0，-1，-1，）。求放在點(diǎn)（6，0，0）上的點(diǎn)電荷q0??1（庫）所受的力。

q1q2R0?解：由庫侖定理F?4??0R2q1q0R04?(?1)(6?0)ex?(0?0)ey?(0?0)ez96ex?2????36?10?2??6?109ex得F1??94??0R106((6?0)2?(0?0)2?(0?0)2)24?36?6ex?ey?ezq2q0R02?(?1)(6?0)ex?(0?1)ey?(0?1)ez9?2????18?10?同理F2?4??0R10?9((6?0)2?(0?1)2?(0?1)2)2384?36?6ex?ey?ezq2q0R02?(?1)(6?0)ex?(0?1)ey?(0?1)ez9F3??2????18?10?

4??0R10?9((6?0)2?(0?1)2?(0?1)2)2384?36?在點(diǎn)（6，0，0）上的點(diǎn)電荷所受的力由F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3組成。即

1F?F1?F2?F3??36?109(1?)ex

382.6為什么引入電場強(qiáng)度？電場強(qiáng)度是如何定義的？答：為了描述電場的性質(zhì)我們引入了電場強(qiáng)度。

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電磁場作業(yè)答案

在電場中任意點(diǎn)放置一試驗(yàn)電荷q0，試驗(yàn)電荷q0在該點(diǎn)所受的力與該試驗(yàn)電荷電量的比值稱為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度，用數(shù)學(xué)公式表示為：

E?FqR??q04??0|R|3??牛頓/庫侖??或??伏特/米??2.7電位與電場強(qiáng)度是什么關(guān)系？說明電位的物理意義。答：電位與電場強(qiáng)度是負(fù)梯度關(guān)系。即E????

電位說明單位正電荷從該點(diǎn)到參考點(diǎn)電場力所做的功。電位是相對(duì)值，電場中不同參考個(gè)點(diǎn)的電位值不同。但電場中任意兩點(diǎn)的差值與參考點(diǎn)無關(guān)。2.8有一長為2l，電荷線密度為?的直線電荷。

(1)求直線延長線上到線電荷中心距離為2l處的電場強(qiáng)度和電位；

(2)求線電荷中垂線上到線電荷中心距離為2l處的電場強(qiáng)度和電位。解：(1)如題2.4圖（a）建立坐標(biāo)系，題設(shè)線電荷位于x軸上l~3l之間，則x處的電荷微元在坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度和電位分別為

?dx??ex?，d???dxdE?24??0x4??0x由此可得線電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度和電位分別

為

3l3l?dx?????ex?E?0??dE??e?x2ll4??x6??l00????0??d???3ll?3ll?dx??ln34??0x4??0

題2.4圖

(2)如題2.4圖（b）建立坐標(biāo)系，題設(shè)線電荷位于y軸上?l~l之間，則y處的電荷微元在點(diǎn)?0,2l?處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度和電位分別為

dE??dy?dy???ed??，r4??0r24??0r式中，dy?2ld?2ll1r?sin???，，，分別代入上兩式，并考慮

22cos?cos2?5l?4l對(duì)稱性，可知電場強(qiáng)度僅為x方向，因此可得所求的電場強(qiáng)度和電位分別為

???dy?ex??ex?exE?2l,0??2dE?2excos??cos?d??sin??2023??r04??l4??l45??0l000?????2l,0??2d????0?4??0??0??1d??1???0.24??ln?tan?tan?1????cos?2??0??224????06

電磁場作業(yè)答案

2.9半徑為a的圓盤，均勻帶電，電荷面密度為?s。求圓盤軸線上到圓心距離為b的場點(diǎn)的電位和電場強(qiáng)度。

解：根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，采用圓柱坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在圓盤形面電荷的圓心，z軸與面電荷軸線重合。場點(diǎn)P的坐標(biāo)為?0,?,b?。在帶電圓盤上取一個(gè)電荷元?sr?dr?d??，源點(diǎn)坐標(biāo)為?r?,??,0?。由電荷元產(chǎn)生的電位d???sr?dr?d??

4??0R計(jì)算P點(diǎn)電位時(shí)，場點(diǎn)坐標(biāo)?0,?,b?不變，源點(diǎn)坐標(biāo)?r?,??,0?中r???是變量。R?r?2?b2

整個(gè)圓盤形面電荷產(chǎn)生的電位為

題2.8圖

????0a2??sr?dr?d??4??0r?2?b20??a?sr?dr?2?0r?2?b20??s?2??a?b2?b2??=s??a2?b2?b??

??2?0?2?0?根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，整個(gè)圓盤形面電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度只有ez方向的分量E??????????bbez??s??22?z2?0?b2?a?b??b?ez??s?1??2?0?a2?b2????ez??2.10什么是電偶極子？

答：兩個(gè)等值異號(hào)的點(diǎn)電荷所組成的系統(tǒng)，其特征是兩電荷之間距離l遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于兩電荷到觀測點(diǎn)的距離，即r>>l。

s其中p、?為常數(shù)，2.11在球坐標(biāo)系中，已知電偶極子電位為??peco?試求電偶極子所0e24??0r在空間任意點(diǎn)電場強(qiáng)度。

解：電位與電場強(qiáng)度是負(fù)梯度關(guān)系在球坐標(biāo)系中梯度公式為

??1??1???E???????e?e??e???r????r?r??rsin?????將

??peco?s24??0r代入上式得

spesin?E?e2peco??er?334??0r4??0r?伏米?(注意:電位?不是坐標(biāo)?的函數(shù))

2.12簡述靜電場中的高斯定理？什么是介質(zhì)擊穿？什么是擊穿強(qiáng)度？什么是束縛電荷？什么是電極化？什么是極化強(qiáng)度？

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電磁場作業(yè)答案

答：在靜電場中電位移矢量通過任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量。即?D?ds?qf

s介質(zhì)在電場強(qiáng)度達(dá)到一定強(qiáng)度的作用下，介質(zhì)中的電子將擺脫原子核的束縛成為自由電子，使介質(zhì)導(dǎo)電，這一現(xiàn)象稱為介質(zhì)擊穿。

使介質(zhì)發(fā)生擊穿的電場強(qiáng)度，稱為擊穿強(qiáng)度。在電場中，介質(zhì)內(nèi)部的電荷不能擺脫原子核的束縛成為自由電子的電荷，稱為束縛電荷。在電場作用下，束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為電極化。單位體積內(nèi)，電偶極矩的矢量和。即Pe?lim?pe???0???庫米?

22.13在真空中有一個(gè)半徑為a的帶電球體，其體電荷密度?f?kr(k是常數(shù)，r是球坐標(biāo)系的徑向變量)，求該球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度和電位的表達(dá)式。

解：1．求球內(nèi)、外的D和E由于電場的球?qū)ΨQ性，在與帶電球同心，半徑為r的高斯面上，D與介質(zhì)無關(guān)，方向是徑向。

???D?ds???q??fd??krd??krr2drsin?d?d?

?????r0??0?2?0?D?ds?D4?r2

?r0krr2drsin?d?d??k?r4

?0?2?0當(dāng)rDi??k?r4

k2rer4Ei?kr2er4?0當(dāng)r>a時(shí)，4?r2D0?k?a4所以D0?ka2er4r4

題2.14圖

ka4E0?er

4?0r22．求球內(nèi)、外電位分布因電荷分布在有限區(qū)域，故可選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)。

當(dāng)r≤a時(shí)，??Eidr?E0dr????raa?arkr2dr?4?0??aka4ka3kr3dr??3?012?04?0r2

??ka4ka41當(dāng)r≥a時(shí)，?0?E0dr???2dr??

rr4?0r4?0r2.14有兩相距為d的平行無限大平面電荷，電荷面密度分別為?和??。求兩無窮大平面分

割出的三個(gè)空間區(qū)域的電場強(qiáng)度。

解：如題2.14圖所示的三個(gè)區(qū)域中，作高斯面S1，據(jù)高斯通量定理，可得在區(qū)域（1）和（3）中，電場強(qiáng)度為零；再作高斯面S2，據(jù)高斯通量定理，可得在區(qū)域（2），E???02.15求厚度為d，體電荷密度為?的均勻帶電無限大平板在空間三個(gè)區(qū)域產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。解：如圖2.15所示的三個(gè)區(qū)域中，作高斯面S1，據(jù)高斯通量定理，電場強(qiáng)度在S1上的通量

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電磁場作業(yè)答案

為

?s1E?ds?2E1S1??dS1?0?d2?0可得在區(qū)域（1）和（3）中，電場強(qiáng)度E1?對(duì)于區(qū)域（2），如圖建立坐標(biāo)系，作高斯面S2，據(jù)高斯通量定理，電場強(qiáng)度在S2上的通量為E1S2?E2S2?得E2??x?x?d??d??E1????x???0?02?0?0?2??xS2，?0題2.15圖

2

2.16平行板電容器的極板面積S=400（厘米），間距d=0.5(厘米)，中間的一半是玻璃??r?7?，

另一半是空氣??r?1?，如題2.16圖所示。已知玻璃和空氣的擊穿場強(qiáng)分別是90（千伏/厘米）和30（千伏/厘米），問極板間電壓為U=10（千伏）時(shí)，電容器是否會(huì)被擊穿？

解：設(shè)兩極板間電場的方向沿ed方向（正極板指向負(fù)極板，除去邊界效應(yīng)）。由邊界條件得D1n?D2n玻璃介質(zhì)中電位移矢量D1??1E1en空氣介質(zhì)中電位移矢量D2??2E2en

即D1n??1E1en?D2n??2E2en（1）又由于U?E1dl?E2dl?E1d?E2d（2）

0022d/2d/2εr=1εr=70.25cm0.25cmU=10KV題2.16圖?1?求解方程（1）和（2）電場強(qiáng)度是E??12?1U2?2Uen和E2??en

(?1??2)d(?1??2)d將?1??1r?0?7?0、?2??2r?0??0和U=10（千伏）代入上式得

E1=35（千伏/厘米）；E2=5（千伏/厘米）

所以，當(dāng)極板間電壓為10（千伏）時(shí)，在玻璃中和空氣中的場強(qiáng)分別是35（千伏/厘米）和5（千伏/厘米），空氣層要被擊穿，10千伏的電壓全加在玻璃層上，仍小于玻璃的擊穿場強(qiáng)。因此電容器不會(huì)完全擊穿。

2.17簡述靜電場方程及其物理意義

答：??E?r??0說明靜電場是一個(gè)無旋場。

??D??介質(zhì)中某點(diǎn)的電位移矢量的散度等于該點(diǎn)的自由電荷的體密度。2.18簡述靜電場的邊界條件

答：場量由一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，在兩種不同介質(zhì)分界面上場量要發(fā)生變化，場量發(fā)生變化規(guī)律稱為邊界條件。

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電磁場作業(yè)答案

電場強(qiáng)度的邊界條件E1t?E2t在兩種介質(zhì)形成的邊界上，分界面上的電場強(qiáng)度切向分量相等，說明切線方向的電場強(qiáng)度是連續(xù)的。

q電位移矢量的邊界條件D1n?D2n??說明，假使兩種媒質(zhì)的分界面上有一層自由?S??sf電荷，則D的法向分量是不連續(xù)的。1．假設(shè)有兩種媒質(zhì)假使一種是導(dǎo)體，另一種媒質(zhì)是電介質(zhì)。則D1n??sf2．假設(shè)有兩種媒質(zhì)都是電介質(zhì)，而且分界面上沒有自由面電荷，則D1n?D2n電位的邊界條件?1??2說明分界面兩側(cè)的電位是連續(xù)的。2.19簡述電容的概念

答：當(dāng)兩導(dǎo)體在幾何形狀，導(dǎo)體相互位置和導(dǎo)體之間的介質(zhì)一定的狀況下，導(dǎo)體所帶電荷與兩導(dǎo)體之間的電壓成正比，比例系數(shù)稱為電容。即q?UC

多導(dǎo)體系統(tǒng)又分為自有電容和互有電容。自有電容是導(dǎo)體對(duì)地具有的電容?；ビ须娙菔嵌鄬?dǎo)體之間具有的的電容。

2.20球形電容器內(nèi)導(dǎo)體極板半徑為R1，外導(dǎo)體極板半徑為R2，極板間充滿介電常數(shù)為?的電介質(zhì)。求電容器的電容。

解：設(shè)球形電容器內(nèi)導(dǎo)體電極上的分別帶有電荷?q，則在極間介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為

E?q4??r2，極間電壓為

U??R2R1Edr?q?11?q?R2?R1?因此?????4????R1R2?4??R1R2

C?q4??R1R2?UR2?R1

2.21如何計(jì)算電場能量？

答：可以根據(jù)帶電體上的電位和電量進(jìn)行計(jì)算，也可以根據(jù)電場的能量密度進(jìn)行計(jì)算，即

111111q22We?q?1?(?q)?2?q(?1??2)?qU?CU??222222CWe?11D?Ed????E2d??2?2?2.22內(nèi)、外兩個(gè)半徑分別為a、b的同心球面極板組成的電容器，極板間介質(zhì)的介電常數(shù)為

?0，當(dāng)內(nèi)、外電極上的電荷分別為?q時(shí)，求電容器內(nèi)儲(chǔ)存的靜電場能量。

解：如題2.22圖建立球坐標(biāo)，球形極板間的電場強(qiáng)度和電位移矢量為

E?q4??0r2，D?q4?r2，

則極板間的電場能量

1?q?111?q?4?2W?????4?4?rdr????a2?4???0r2?4???0?b22?drq2?11?????2ar8??0?ab?b第3章靜電場問題的解法

題2.22圖

3.1簡述求解靜電場問題是如何分類的？如何求解他們問題？

答：靜電場問題總的來說可分為兩種類型：分布型問題和邊值型問題。靜電場問題不管是分布型問題還是邊值型問題的解法又可分為解析法和數(shù)值法。解析法的解是一種數(shù)學(xué)表達(dá)式，其解是確切解。解析法包括分開變量法、鏡像法、復(fù)變函數(shù)法等。用公式求解的方法均為解

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電磁場作業(yè)答案

析法。數(shù)值法的解則是直接計(jì)算得到的一組數(shù)值，其解是近似解。數(shù)值法包括有限差分法、有限元法等。

3.2簡述分布型問題的求解方法？答：分布型問題是已知電荷或帶電體的分布求場量的問題。計(jì)算方法有三種方法：高斯定理、電場強(qiáng)度、電位方法。計(jì)算時(shí)假使電場對(duì)稱首先考慮高斯定理，其次是電位方法。3.3邊值型問題是如何分類的？

答：邊值型問題是已知電場中所有不同媒質(zhì)分界面(這里主要是指導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面)上的邊界條件（電位函數(shù)的變化率）或不同媒質(zhì)分界面的電位，求解電場中場量問題。邊值問題又分為三種類型。第一類邊值問題（又稱為狄里赫利問題）。是已知電場內(nèi)部電荷的分布和給定不同分界面上的電位，即給定?s??(s)求解電場中場量的問題。

其次類邊值問題（又稱為諾埃曼問題）。是已知電場內(nèi)部電荷的分布和所有導(dǎo)體表面上邊界條件(實(shí)際上是已知導(dǎo)體上的面電荷密度)，即給定?sf??????n求解電場中場量的問題。

第三類邊值問題(又稱為混合型邊值問題)。是在已知電場內(nèi)部電荷的分布下，已知一部分導(dǎo)體上的電位和另外一部分導(dǎo)體表面上電位函數(shù)的法向?qū)?shù)，即給定?s??(s)和

?sf??????n求解電場中場量的問題。

3.5長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上面蓋板的電位為U0，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。

解：根據(jù)題意，電位.?(x,y)?滿足的邊界條件為：

1...?(0,y)??(a,y)?02...?(x,0)?03?(x,b)?U0根據(jù)條件1和2，電位.?(x,y)?的通解應(yīng)取為

?(x,y)??Asinh??sin??

nn?yan?yan?1?由條件得U0??Asinh??sin??

nn?ban?xan?1004U0n?sinh(n?b/a)?a(n?1,3,5)2U2U?x所以An?asinh(sin(na)ddx?n?sinh(n?b/a)(1?cosn?)???0(n?2,4,6)n?b/a)?0?故得到槽內(nèi)的電位分布：?(x,y)?4U?01nsinh(n?b/a)n?1,3,5??sinh??sin??

n?yan?xa3.6簡述鏡像法的原理及其應(yīng)用

答：鏡象法是用一個(gè)虛擬的帶電體（點(diǎn)電荷或線電荷）代替實(shí)際場源電荷在導(dǎo)體上的感應(yīng)出來的電荷，用來計(jì)算由原電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的合成電場。這些虛擬的電荷稱為鏡象電

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電磁場作業(yè)答案

荷。在使用鏡像法時(shí)鏡像電荷不能破壞原電荷和感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，邊界條件保持不變，假使是兩個(gè)平面還應(yīng)當(dāng)滿足其夾角為??180，而n又為整數(shù)時(shí)，最終的鏡象電荷才可能與原

n0電荷重合在一起，即鏡象電荷的總數(shù)為有限的（2n-1）個(gè)。

3.7一無限大導(dǎo)體平面折成90角，角域內(nèi)有一點(diǎn)電荷q位于(x0，y0)點(diǎn)，如圖3.7題所示。用鏡象法求角域內(nèi)任意點(diǎn)的電位，電場強(qiáng)度及電荷q所受力(標(biāo)出鏡象電荷的位置和數(shù)（x，y）值)。

解：三個(gè)鏡象電荷坐標(biāo)分別是：q（??q、q（?q、1x1?-x，y1?y）2x2?-x，y2??y）q（??q3x3?x，y3??y）Nqi電位??r??1?4??0i?1r?ri?Y。

q（2,3）??r??14??014??0q(x-x0)2?(y-y0)2q(x-x2)?(y-y2)N22-14??0?14??0q(x-x1)2?(y-y1)2q(x-x3)?(y-y3)22

0x?題3.7圖qi(r?r)電場強(qiáng)度E?r??1?4??0i?1r?ri?3E?r?r0qr?r1qr?r2qr?r3

???4??0|r?r0|34??0|r?r1|34??0|r?r2|34??0|r?r3|3(x?x0)ex?(y?y0)ey?(z?z0)ez32E??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|000(x?x2)ex?(y?y2)ey?(z?z2)ez??q(x?x1)ex?(y?y1)ey?(z?z1)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32111q4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32222??q(x?x3)ex?(y?y3)ey?(z?z3)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|323333電荷所受力F?q1r0?r1q?q2r0?r2q?q3r?0rq3334??0|r0?r1|4??0|r0?r2|4??0|r0?r3|

?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ezq2(x0?x2)ex?(y0?y2)ey?(z0?z2)ezF??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|324??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32010101020232?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ez?4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|320303033.8一個(gè)電荷量q為，質(zhì)量為m的小帶電體，放置在無限大導(dǎo)體平面下方，與平面相距為h。

求q的值以使帶電體上受到的靜電力恰與重力相平衡。

‘解：將小帶電體視為點(diǎn)電荷q，導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷對(duì)q的靜電力等于鏡像電荷q對(duì)q的

‘作用力。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷為q??q，位于導(dǎo)體平面上方h處，則小帶電體受到的

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電磁場作業(yè)答案

靜電力為：f??eq224??0(2h)q2?mg24??0(2h)令fe的大小和重力mg相等，即于是得到：q?4h??0mg

3.9一個(gè)點(diǎn)電荷放在60度的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)（1，1，0）處。求：（1）所有鏡像電荷的位置和大小；（2）點(diǎn)x?2,y?1處的電位。解：（1）q1'??q,?

'x1?2cos750?0.366y1?2sin75?1.366'0'

q2?q,?'x2?2cos1650??1.366y2?2sin165?0.366'0'

'?s905??1.366?x3?2co1q3??q,?'0?n95??0.366?y3?2si1

'0??x4?2cos285?0.366q4?q,?'0??y4?2sin285??1.366''0??x5?2cos315?1q5??q,?'0??y5?2sin315??1'（2）點(diǎn)x?2,y?1處的電位?（2，1，0）?q（R?4??01'q1R1Y'q3R3'q4R4'q5R5?'q2R2???）?0.3214??q?2.88?109q

q（x0,y0）ｑ１(x１,y１）θXｑ１＇(x１＇,y１＇）q＇(x0,-y0）3.10在一無限大導(dǎo)體平面上有一半徑為a的導(dǎo)體半球凸起。如圖題3-10所示，設(shè)在點(diǎn)?x0,y0?有一點(diǎn)電荷q，若用鏡象法求解導(dǎo)體外部空間任一點(diǎn)的電位，試計(jì)算各個(gè)鏡象電荷的位置和數(shù)值。解：利用鏡象法計(jì)算各個(gè)鏡象電荷的位置和數(shù)值如題3-4圖所示，計(jì)算如下：

22d?x0?y0題3-10圖q'?q

x1?d1co?s

q1??aqd

q'?aqsin??dx0x?y2023

co?s?y0x?y2023

d1?a2d

y1?d1sin?

第4章恒定電流的電場

4.1電流是如何形成的？什么是直流電？什么是交流電？

答：電荷在電場作用下的宏觀定向運(yùn)動(dòng)就形成電流。不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流(直流)。隨時(shí)間變化的電流稱為時(shí)變電流(交流)。4.2什么是恒定電流場？

答：恒定電流產(chǎn)生的場，我們稱為恒定電流場，它分為恒定電流的電場和恒定電流的磁場。4.3什么是傳導(dǎo)電流？什么是電流？

答：固態(tài)或液態(tài)導(dǎo)體(或統(tǒng)稱為導(dǎo)電媒質(zhì))中的電流都稱為傳導(dǎo)電流。在真空或氣體中，電荷在電場作用下的定向運(yùn)動(dòng)形成的電流，稱為運(yùn)流電流。4.4在恒定電場中傳導(dǎo)電流密度與電場強(qiáng)度是什么關(guān)系？

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電磁場作業(yè)答案

答：傳導(dǎo)電流密度與電場強(qiáng)度成正比（電磁場中歐姆定理）即4.7寫出恒定電流電場的基本方程，表述它們的意義。答：??Jf?0說明恒定電流的電場是一個(gè)無散場。

??E?0說明恒定電流的電場是一個(gè)無旋場。4.8什么是接地電阻？什么是絕緣電阻？如何計(jì)算？

Jf??E

答：電氣設(shè)備到大地之間的電阻，稱為接地電阻。它包括接地線電阻，接地體電阻、接地體與土壤電阻和土壤電阻四部分。絕緣電阻是絕緣介質(zhì)的漏電阻，它是絕緣介質(zhì)兩端的電壓與介質(zhì)中的漏電流的比值。計(jì)算絕緣電阻有有三種方法。1．公式法：利用公式R?dl進(jìn)行計(jì)算

??sl上式中的dl方向上的長度元，s是垂直于電流方向的面積，它可能是坐標(biāo)變量的函數(shù)。

2．電場強(qiáng)度法：利用拉普拉斯方程求出電位φ再由E????,Jf??E,I??Jf?ds

S求得電流強(qiáng)度I，

然后由R?兩電極的電位差求得絕緣電阻。

I當(dāng)電極具有某種對(duì)稱關(guān)系時(shí)，也可以假設(shè)一個(gè)由電極1通過絕緣材料到電極2的電流I后由Jf?Is,E?Jf；U??E?dl計(jì)算電壓，最終由R=U/I求得電阻R。

l?3．電容法：利用在一致的邊界條件下，靜電場和恒定電場的相像性，可以得出兩導(dǎo)體間的電容和電導(dǎo)之間的關(guān)系，從電容可以算電導(dǎo)或從電導(dǎo)算出電容。C??即R?1??

G?G?C4.9如題4-9圖所示，由導(dǎo)電媒質(zhì)構(gòu)成的扇形，厚度為h，電導(dǎo)率為?。求A、B之間的電阻。解：設(shè)A、B間的電壓為U，則在導(dǎo)電媒質(zhì)中有

?2??1??????r??0，r?r??r?解得

??Alnr?B，代入邊界條件，

AlnR1?B?0，AlnR2?B?U，

UlnR1lnR2/R1解得可得

??A?UlnR2/R1，B??

U1?erlnR2/R1rUrlnlnR2/R1R1，E????????er???r題4-9圖

J??E??U??er，I??J?ds?lnR2/R1r??R?bR1U?U?R?adr?alnr??R?b因此，可得

R?U??I?alnR?bR

第5章恒定電流的磁場

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電磁場作業(yè)答案

5.1簡述安培力定理

答：在真空中有兩個(gè)通有恒定電流I1和I2的細(xì)導(dǎo)線回路，它們的長度分別是l1和l2。通有電流I1的回路對(duì)通有電流I2的回路的作用力F12是

?0F12?4???I2dl2?(I1dl1?R)

R20

Iαdαl2l1x5.2一個(gè)半徑為a的圓線圈，通有電流I，求圓線圈軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

解：根據(jù)電流的對(duì)稱性，采用圓柱坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在圓形線圈的圓心，Z軸與線圈軸線重合，場點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(0,?,z)，取一個(gè)電流元Iad?＇，源點(diǎn)坐標(biāo)為(a,?＇,０),如題

IaαoRθPdBzy題5-2圖5-2圖所示，則Ｒ＝Zez?aer，

RZaeR??ez?er?cos?ez?sin?er

RRRB??dB??B?usIad?,e?X(cos?ez?sin?er)4?R,2?usIad?,cos?4?R2er?u0Iad?,sin?4?R2ez

?2?u0Iad?sin?4?RaR20ez?2?u0Iasin?uIsin?ezd??0a2ez204?R2R?,sin??R?a2?z2

B?U0Iasin?eZ?2R2U0a2I2(a2?z)322eZ當(dāng)z=0時(shí)，B?U0a2I2(a)322eZ

5.3簡述洛侖茲力

答：電荷以某一速度v在磁場運(yùn)動(dòng)，磁場對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷有作用力，這種作用力稱為洛侖茲力，洛侖茲力與運(yùn)動(dòng)電荷垂直。所以，他不作功，只改變運(yùn)動(dòng)電荷的方向，不改變運(yùn)動(dòng)電荷的速度。

5.4矢量磁位與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系是什么？答：矢量磁位的旋度是磁感應(yīng)強(qiáng)度

5.5已知某一電流在空間產(chǎn)生的矢量磁位A，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（A?exx2y?eyxy2?ez4xyz）解：

B???A?(???ex?ey?ez)?(x2yex?xy2ey?4xyzez)?x?y?z=y2ez?4yzey?x2ez?4xzex??4xzex?4yzey?(y2?x2)ez

15

電磁場作業(yè)答案

5.6有一根長位2L的細(xì)直導(dǎo)線與柱坐標(biāo)的z軸重合，導(dǎo)線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)導(dǎo)線中通有電流I，方向沿z軸的方向。1）求空間任一點(diǎn)p??,?,z?的矢量磁位A；2）求在z=0的平面上任一點(diǎn)p??,?,z?的矢量磁位A。當(dāng)?>2L時(shí)，結(jié)果又如何？解：1）由于對(duì)稱性，可以只探討Z≥0的狀況由矢量磁位方程得：dA??0Idzez

4?RR?rsin?

Z＇?Z?rct?gdZ＇?rd?sin2?

dA??0IdZ＇?Ieez?0zd?4?R4?sin?

Z在整條線段上積分得

A???2?1dA???2?1?0Iez?Ied??0z4?sin?4???2?1d?sin?

?1rdAP由

?d?1?ln(?ctg?)?Csin?sin?lcos?21?n1(1?co?s2)得A??0Iezlnsin?2sin?2e??0Iezlnsi?cos?114?4?si?n2(1?co?s1)?sin?1sin?1?＇＇dＺＺRr由圖可知

sin?1?rr?(z?l)22

si?n2?rr?(z?l)z?lr?(z?l)2222

lcos?1?z?lr?(z?l)22?1題5-5圖co?s2?（1）A??0Iln4?r2?(z?l)2?(z?l)r?(z?l)?(z?l)A??22ez

（2）在Z=0時(shí)，

?0I?I(r2?l2?l)(r2?l2?l)r2?l2?llnez?0lnez4?4?r2?l2?l(r2?l2?l)(r2?l2?l)

?0I(r2?l2?l)2?0Ir2?l2?llnln4?2?rr25.7什么是磁偶極子？

答：假使觀測距離R遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一個(gè)小圓形電流線圈的半徑（半徑為r），即R>>r。我們稱這個(gè)小圓形電流線圈為磁偶極子。5.8簡述安培環(huán)路定理答：媒質(zhì)中磁場強(qiáng)度H沿任一閉合路徑的線積分(環(huán)量)等于這個(gè)閉合路徑所交鏈的總傳導(dǎo)電流。H?dl?Jf?ds?I

ls??5.9設(shè)無限長同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑是a(米)，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑是b(米)，外導(dǎo)體的厚度忽略不計(jì)。并設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率是μ0，

ab16

題5-9圖電磁場作業(yè)答案

內(nèi)、外導(dǎo)體間充滿磁導(dǎo)率是μ的均勻磁介質(zhì)，如題5-9圖所示。內(nèi)、外導(dǎo)體分別通以大小都等于I但方向相反的電流，求各處的B和H。解：先求內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強(qiáng)度表示式。由式

?H?dl??Jlsf?ds在內(nèi)導(dǎo)體中取一半徑為

ρ的圓形

回路，它必與某一條H線相重合，并使積分路徑沿著H線的方向。同時(shí)由于對(duì)稱性，路徑上的H是常量。另外，在恒定電流的狀況下，導(dǎo)體截面上的Jf是常量。故上式變?yōu)?/p>

H?2??即得到H?I???22?aI?I?2[安/米]和B??0H?02?2[特](0≤ρ22?a2?a≤a)

采用同樣的方法，可求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場H?I2??[安/米]

B??H??I[特](0≤ρ≤b)

2??在ρ電磁場作業(yè)答案

矢量位函數(shù)的解A(x,y,z,t)??0Jf(x,,y,,z,,t?,4???r)v0rd?,

6.13給出諧變電磁場電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式和麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)表示式。答：電磁場電場強(qiáng)度瞬時(shí)表達(dá)式E?exExmcos(?t??xE)?eyEymcos(?t??yE)?ezEzmcos(?t??zE)

磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式H?exHxmcos(?t??xH)?eyHymcos(?t??yH)?ezHzmcos(?t??zH)非限定形式??H?Jf?j?D限定形式??H?(??j??)E

??E??j?B??E??j??H??B?0??H?0

??????????????D??f??E??f/?第七章平面電磁波

7.1什么是平面波？什么是均勻平面波？

答：電磁波的場矢量只沿著它的傳播方向變化，在與波傳播方向垂直的無限大平面內(nèi)，電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H的方向、振幅和相位都保持不變的波稱為平面波?；蚍Q等相位面為平面的電磁波稱為平面波，假使平面波的任何一個(gè)等相位面上的場矢量四處相等，則稱這種平面波為均勻平面波。

7.2給出理想介質(zhì)中電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的均勻平面波方程。

22解：電場強(qiáng)度?E?1?E

222?????xv?tv22磁場強(qiáng)度?H?1?H

222?x?t7.4已知在自由空間傳播的均勻平面波的磁場強(qiáng)度為

H(z,t)?(ex?ey)?0.8cos6??108t?2?z?（1）求該均勻平面波的頻率、波長、相位常數(shù)和相速；?A/m，

（2）求與H(z,t)相伴的電場強(qiáng)度E(z,t)；（3）計(jì)算瞬時(shí)坡印廷矢量。解：1）由所給磁場強(qiáng)度表示式可得頻率相位常數(shù)??2?rad/m波長??2??f??6??108??3?108Hz2?2??2?m?1m2?相速

vp??6??108?m/s?3?108m/s?2???H??0?E

?t2）由麥克斯韋方程得：

?Hx?1?E11??Hy???H???ex?ey???0.8?2?sin(6??108t?2?z)ex?0.8?2?sin(6??108t?2?z)ex?t?0?0??z?z??0??21

電磁場作業(yè)答案

積分得

E?1?1.6?1.6??cos(6??108t?2?z)ex?cos(6??108t?2?z)ex??301.2cos(6??108t?2?z)(ex?ey)V/m88??0?6??106??10?3）瞬時(shí)坡印廷矢量

S?E?H?2?301.2?0.8cos2(6??108t?2?z)ezW/m2?481.9cos2(6??108t?2?z)ezW/m2

7.5在自由空間中，已知電場E(z,t)?ey103sin(?t??z)V/m，試求磁場強(qiáng)度H(z,t)。解：利用麥克斯韋方程??E??j??H，可得到電磁波的磁場表達(dá)式。

H??1j????E??ex?031?Ey1?ex10sin(?t??z)?ex103sin(?t??z)?ex2.65sin(?t??z)

j???z?0?07.6理想介質(zhì)（參數(shù)為???0、???r?0、??0)中有一均勻平面波沿x方向傳播，已知其電場

瞬時(shí)值表達(dá)式為E(x,t)?ey377cos(109t?5x)V/m試求：(1)該理想介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)；(2)與E(x,t)相伴的磁場H(x,t)；(3)該平面波的平均功率密度。

2解：1）理想介質(zhì)中的均勻平面波的電場強(qiáng)度E應(yīng)滿足波動(dòng)方程?2E????E?02?t其中?E??Eyey?22?2Ey?x22?2E?Eyey??377?108cos(109t?5x)eyey??9425cos(10t?5x)ey2?2?t?t9

所以?9425cos(109t?5x)???[377?10199t?5x)cos(109t?5x)]?0即????r?9425cos(109t?5x)?25?10?18????0?0?r1999377?10t?5x)cos(10t?5x)25?10?18?0?025?10?18??2.25?9104??10?7?36?2）由麥克斯韋方程??E??j??0H得：H????E??1?Eyez?j??0j??0?x1j104??109?737e7?j5x(?j5)?1.5e?j5xezA/m

則H(x,t)?1.5cos(109t?5x)ez

3）由坡印廷定矢量得平均功率密度為：

E(x,t)?Re[Ee?j?t]?Re([377ej10te?j5xey]H(x,t)?ReHe[j?t]?Re1[.5ej10tej?tez]

9911Re[E?H*]?Re[377e?j5xey?1.5ej5xez]?282.75exW/m2227.7在自由空間中，一均勻平面波的相位常數(shù)為?0?0.524rad/m，當(dāng)該波進(jìn)入到理想介質(zhì)后，Sav?其相位常數(shù)變?yōu)??1.81rad/m.設(shè)該理想介質(zhì)的?r?1，試求該理想介質(zhì)的?r和波在該理想介

質(zhì)中的傳播速度。

解：在自由空間的相位常數(shù)為?0???0?0

22

電磁場作業(yè)答案

所以???0?0.254?3?108rad/s?1.572?108rad/s?0?0?1.81?2?11.93??0?0??0?02在理想介質(zhì)中，相位常數(shù)????0?r?0?1.81rad/s所以?r?波在該理想介質(zhì)中的傳播速度為

vp?1?1?c?3?10811.93???0?r?0?rm/s?0.87?108m/s

7.8在自由空間中，一均勻平面波的波長為?0?0.2m，當(dāng)該波進(jìn)入到理想介質(zhì)后，其波長變?yōu)??0.09m。設(shè)該理想介質(zhì)的?r?1，試求該理想介質(zhì)的?r和波在該理想介質(zhì)中的傳播速度。解：在自由空間，波的相速?p0=c=3×108m/s，故波的頻率為f?vp0?3?10Hz?1.5?109Hz

?00.28在理想介質(zhì)中，波長??0.09m，故波的相速為vp?f??1.5?109?0.09m/s?1.35?108m/s

1c而v?1??p???0?r?0?r故????cr?v?p??3?108??????4.94??1.35?108????27.9在空氣中，一均勻平面波沿Y方向傳播，其磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式為

???H(y,t)?ez4?10?6cos?107?t??y??A/m（1）求相位常數(shù)?4??和t?3ms時(shí)，Hz?0的位置；（2）

求電場強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式E(y,t)。解：（1）????0?0?107??1?rad/m?rad/m?0.105rad/m8303?1030y?在t=3ms時(shí)，欲使Hz?0，則要求107??3?10?3??若取n=0，解得y=899992.5m。

?4??2?n?,n?0,1,2,???

考慮到波長λ=2?=60m，故y?29999???0.75???29999???22.5

?222因此，t=3ms時(shí)，Hz?0的位置為y=22.5±n?m

2（2）電場的瞬時(shí)表示式為

23

電磁場作業(yè)答案

?????E?(H?ey)?0??ez4?10?6cos?107?t??y????120?4????

?????ex1.508?10?3cos?107?t?0.105y??V/m4??7.10頻率f?500kHz的正弦均勻平面波在理想介質(zhì)中傳播，其電場振幅矢量Em?ex4?ey?ez2

kV/m,磁場振幅矢量Hm?ex6?ey18?ez3A/m。試求：(1)波傳播方向的單位矢量；(2)介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)?r；（3）電場E和磁場H的復(fù)數(shù)表達(dá)式。解：1）電場單位矢量

磁場單位矢量

eE?Eex4?ey?ez21??(ex4?ey?ez2)22E214?1?21369(ex6?ey18?ez3)

eH?Hex6?ey18?ez3??H62?182?32波傳播方向的單位矢量

en?eE?eH??1774911?(ex4?ey?ez2)?(ex6?ey18?ez3)21369

(?ex33?ey24?ez78)??ex0.375?ey0.273?ez0.886)2）由??E?H21?103369??0?r?0得?r?n369?0?2.5621?10?0n3）電場E的復(fù)數(shù)表達(dá)式

E?Eme?jke?r?(ex4?ey?ez2)e?jke?r其中r?exx?eyy?ezz

k???????0?0?r?2??500?103?0?0?r???1063?108?r?1.05?10?2?r?1.66?10?2rad/m

n?r磁場H的復(fù)數(shù)表達(dá)式

H?Hme?jke?(ex6?ey18?ez3)e?jken?r

7.11已知自由空間傳播的均勻平面波的磁場強(qiáng)度為

?31????6?H???ex?ey?ez?10cos??t????x?y?z??A/m

?2???2??試求：(1)波的傳播方向；(2)波的頻率和波長；(3)與H相伴的電場E；(4)平均坡印廷矢量。

解：波的傳播方向由波矢量K來確定。由給出的H的表示式可知

k?r?(exkx?eyky?ezkz)?(exx?eyy?ez)?kxx?kyy?kzz???x??y?0.5?z

故

kx???

eky??

kz?0.5?

即k??ex??ey??ez0.5?k?(?1)2?1?(0.5)2?1.5?rad/m則波的傳播方向單位矢量為

K1en??(?ex??ey??ez0.5?)??ex0.667?ey0.667?ez0.333

k1.5?2）

??2?2??m?1.55mk1.5?

f?vp??3?108Hz?2.25?108Hz1.33324

電磁場作業(yè)答案

3）與H相伴的E可由??E?j??E求得，也可直接由下面的關(guān)系式求出

E?(H?en)?0?(ex1.5?ey?ez)10?6cos[?t??(?x?y?0.5z)]?(?ex0.667?ey0.667?ez0.333)?377?377?10(?0.333ex?ey1.167?ez1.668)?cos[2??2.25?10t??(?x?y?0.5z)]V/m?68

4）平均坡印廷矢量

11Re[E?H*]?Re[377?10?6(?0.333ex?ey1.167?ez1.668)e?j?(?x?0.5z)?10?622?j?(?x?0.5z)(?ex1.5?ey?ez)e]?188.5?10?12(?2.84ex2.84ey?1.24ez)W/m2Sav?7.12什么是良導(dǎo)體？良導(dǎo)體與理想導(dǎo)體有何不同？

答：當(dāng)導(dǎo)電媒質(zhì)滿足(?/??)>>1就稱為這種媒質(zhì)為良導(dǎo)體。良導(dǎo)體的電導(dǎo)率?很大但它是一個(gè)有限值，而理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率?是無窮大值。

7.13什么是衰減常數(shù)？什么是相位常數(shù)？什么是傳播常數(shù)？

答：電磁波每前進(jìn)單位長度，場量的幅值衰減為原有值的e??倍，故稱?為衰減常數(shù)。表示單位長度上相位的變化，稱為相位常數(shù)。?和?共同決定電磁波的傳播特性。因此，稱?,???j?為傳播常數(shù)。

7.13什么是透入深度？它與衰減常數(shù)的關(guān)系？

答：透入深度是電磁波從導(dǎo)電媒質(zhì)表面向其內(nèi)部傳播，衰減為表面值的1/e(?0.368)時(shí)所經(jīng)過

21透入深度d的距離，它與衰減常數(shù)的關(guān)系是e????1/e故d?1???????f??表示電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中衰減的快慢。

7.14海水的電導(dǎo)率??4S/m，相對(duì)介電常數(shù)?r?81求頻率為10kHz，100kHz，1MHz，10MHz，100MHz，lGHz的電磁波在海水中的波長、衰減系數(shù)和波阻抗。解：先判定海水在各頻率下的屬性

??48.8?108?????2?f?r?02?f?81?0f

可見，當(dāng)f≤107Hz時(shí)，滿足?>>1，海水可視為良導(dǎo)體。此時(shí)