2013年浙江大學(xué)物理競賽講義-恒定電流

/穩(wěn)恒電流講義一、電路的基本概念及規(guī)律1.電流強(qiáng)度電荷的定向運動形成電流，電流強(qiáng)度即單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一截面的電量。設(shè)在時間間隔△ｔ通過某一截面的電量為△Q，則電流強(qiáng)度為電流的微觀表達(dá)式:(其中n為電荷的數(shù)密度，S為導(dǎo)體的橫截面積，v為電荷定向移動的速度)2．電流密度在通常情況的電路問題中,通過導(dǎo)線截面的電流用電流強(qiáng)度描述就可以了，但在討論大塊導(dǎo)體中的電流的流動時，用電流強(qiáng)度描述就過于粗糙了，這是因為電流在截面上將會有一個強(qiáng)弱不同的分布，而且各點的電流方向可能并不一致。為此需引入電流密度j，電流密度的定義,考慮導(dǎo)體中某一給定點P，在該點沿電流方向作一單位矢量n，并取一面元△Ｓ與n垂直,設(shè)通過△Ｓ的電流強(qiáng)度為△Ｉ,則定義P點處電流密度的大小為電流密度的單位為安培/米２(A·m－2）。通過導(dǎo)體任一有限截面△S的電流強(qiáng)度為:3.電動勢正電荷在電場力的作用下從高電勢處移到低電勢處,而一非靜電力把正電荷從低電勢處搬運到高電勢處,提供非靜電力的裝置稱為電源。電源內(nèi)的非靜電力克服電源內(nèi)靜電力作用,把流到負(fù)極的正電荷從負(fù)極移到正極。若正電荷q受到非靜電力，則電源內(nèi)有非靜電場,非靜電場的強(qiáng)度也類似電場強(qiáng)度的定義：將非靜電場把單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極時所做的功定義為電源的電動勢,即4．歐姆定律通過一段導(dǎo)體的電流強(qiáng)度與導(dǎo)體兩端的電壓成正比,與電阻Ｒ成反比，即這條定律，只適用于金屬和電解液,即R為常數(shù)的情形。滿足歐姆定律的元件的電阻稱為線性電阻，對于非線性元件,歐姆定律不適用,但仍可定義電阻，只是R還與工作狀態(tài)下的電壓、電流有關(guān)。5．歐姆定律的微觀表達(dá)式設(shè)想在載有穩(wěn)恒電流的各向同性的導(dǎo)體內(nèi)取一長度為,垂直截面積為的小電流管分析，有則：（為電導(dǎo)率），即6．含源電路的歐姆定律如圖所示含有電源的電路稱為含源電路.含源電路的歐姆定律就是找出電路中兩點間電壓與電流的關(guān)系.常用“數(shù)電壓”的方法．即從一點出發(fā)，沿一方向，把電勢的升降累加起來得到另一點的電勢,從而得到兩點間的電壓。設(shè)電流從a流向b,則有a、b兩點間電壓為寫成一般形式閉合回路的歐姆定律：對于上圖可把a(bǔ)、b兩點連起來形成一閉合回路,則,即,，寫成一般形式：二、題型與方法題型一：復(fù)雜電路的計算問題方法一:基爾霍夫定律１:基爾霍夫第一定律——節(jié)點定則:流入任何一個節(jié)點的總電流必等于流出該節(jié)點的總電流。注意:N個節(jié)點，可以列N－1個獨立方程2：基爾霍夫第二定律——回路定則:沿任一閉合回路的電勢變化的代數(shù)和為零(或沿任一閉合回路，升高的電勢等于降落的電勢）注意:M個網(wǎng)孔，可以列M個獨立方程【例1】如圖所示，電源電動勢，內(nèi)阻，電阻，求電路中三條支路上的電流強(qiáng)度。方法二:疊加原理內(nèi)容：含源網(wǎng)絡(luò)中每一個支路中的電流,可以看作網(wǎng)絡(luò)中每一個電源在支路中獨立提供的電流的疊加.方法：在計算每個電源獨立作用提供的電流時，應(yīng)將其它電源的電動勢去掉，僅保留其內(nèi)阻。方法三：等效電壓源（戴維寧定理）任意一含源的二端網(wǎng)絡(luò)都可以等效成一電動勢為E0,電源內(nèi)阻為ｒ０的電源.求E0的方法：網(wǎng)絡(luò)兩端開路時的路端電壓求r０的方法:網(wǎng)絡(luò)除電源后的等效電阻方法四：等效電流源(諾爾頓定律）兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個電流源,電流源的電流I0等于網(wǎng)絡(luò)兩端短路時流經(jīng)兩端點的電流，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除電源后的等效電阻【例2】如圖,電路構(gòu)成為四面體的棱,各電阻均為Ｒ=2Ω，各電源電動勢均為Ｅ=2V，內(nèi)阻均為r=1Ω，求節(jié)點B、C間的電壓。【例3】在如圖復(fù)15－6所示的網(wǎng)絡(luò)中，僅知道部分支路上電流值及其方向、某些元件參數(shù)和支路交點的電勢值（有關(guān)數(shù)值及參數(shù)已標(biāo)在圖上）。請你利用所給的有關(guān)數(shù)值及參數(shù)求出含有電阻Rx的支路上的電流值及其方向。2Ω【例４】若干個電阻構(gòu)成如圖所示的電路，其中A和B兩點的接地電阻是固定不變的。輸入電壓V1，V２，…V2Ω(1）當(dāng)n＝3時，B點輸出電壓有幾種可能的值？（２)當(dāng)n→∞時，Ｂ點的最大輸出電壓是多少？題型二:等效電阻求解問題方法一：等勢縮點法：利用對稱性求電路的等效電阻問題【例5】如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò),每一段的電阻為r，求ＡB的等效電阻和ＭN之間的等效電阻?！咎岣摺坑蓡挝婚L度電阻為r的導(dǎo)線組成如圖所示的正方形網(wǎng)絡(luò)系列.n=1時,正方形網(wǎng)絡(luò)邊長為L,n＝2時,小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長為L/３；n=3時，最小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長為L/9。當(dāng)n=１、2、３時，各網(wǎng)絡(luò)上A、B兩點間的電阻分別為多少？【例６】一正方體，每一條邊的電阻為R，求ＲAＣ，RＡD,RAＧ。AAB【相關(guān)變換】如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r．試求A、Ｂ兩點間的等效電阻．【提高】如圖所示，正六邊形每條棱的電阻都為r,每個頂點至中心O連線電阻也為r。1)求A,H兩點的電阻；2)求A，B兩點的電阻。方法二：利用遞推法求解等效電阻【例7】：在圖8—11甲所示無限網(wǎng)絡(luò)中,每個電阻的阻值均為R，試求A、B兩點間的電阻RAB。【相關(guān)變換１】在圖8－１３甲所示的三維無限網(wǎng)絡(luò)中，每兩個節(jié)點之間的導(dǎo)體電阻均為R,試求Ａ、B兩點間的等效電阻ＲAＢ?！鞠嚓P(guān)變換2】試求框架上A、B兩點間的電阻RＡB．此框架是用同種細(xì)金屬制作的，單位長度的電阻為ρ。一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮,如圖所示。?。罛邊長為a,以下每個三角形的邊長依次減少一半．【相關(guān)變換3】如圖所示，由粗細(xì)、質(zhì)地均勻的細(xì)金屬絲連成的無限內(nèi)接網(wǎng)絡(luò)。已知金屬絲單位長度的電阻為ρ,求等效電阻RAB（AＢＣ為等邊三角形，且邊長為a,內(nèi)接三角形的頂點均為三角形各邊的中點）【提高】六個相同的電阻(阻值均為）連成一個電阻環(huán)，六個接點依次為１、2、3、4、５和6，如圖復(fù)16-5－１所示?，F(xiàn)有五個完全相同的這樣的電阻環(huán),分別稱為、、┅?，F(xiàn)將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導(dǎo)線連接，如圖復(fù)16-5—２所示。然后將的1、3、5三點分別與的2、４、6三點用導(dǎo)線連接，┅依此類推。最后將的１、3、5三點分別連接到的２、４、6三點上.1．證明全部接好后,在上的1、3兩點間的等效電阻為.２。求全部接好后，在上的1、３兩點間的等效電阻。2R2R方法三：利用電流分布法求等效電阻【例8】電阻分布如圖所示，試求A、Ｂ間的等效電阻。方法四:利用電流疊加原理求等效電阻【例9】電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每一小段的電阻均為Ｒ，求ＡＢ之間的等效電阻R【例10】一個無限延展的矩形線圈平面網(wǎng)絡(luò)，求任意相鄰兩點ＡB間的電阻。變:若把AB間的電阻r去掉,則AＢ間的電阻為多少?變：若把AB間的電阻換成R，則AB間的電阻為多少？變：若把所有電阻換成電容C，則AB間的等效電容是多少？【相關(guān)變換】無限大六角形網(wǎng)絡(luò)，每邊電阻為r,求:(1）ａb之間電阻；(２）如果電流從a流入,從ｇ流出,求dｅ段的電流.【提高】一個平面把空間分為兩個部分。一半充滿了均勻的導(dǎo)電介質(zhì),而物理學(xué)家在另一半空間里工作。他們在平面上畫出一個邊長為a的正方形的輪廓，并用精細(xì)的電極使一電流I0在正方形的兩個相鄰角,一個流入，一個流出。同時，他們測量另兩個角之間的電勢差V.如圖所示。問物理學(xué)家們?nèi)绾斡眠@些數(shù)據(jù)來計算均勻介質(zhì)的電阻率？方法五：利用△—Ｙ轉(zhuǎn)化求解等效電阻【例10】試?yán)谩鳌猋轉(zhuǎn)化求RAG【提高】如圖所示電路，圖中各電阻均相等為r，電容Ｃ1＝Ｃ２=２C0C3=C0．電源電動勢為ε，內(nèi)電阻為r/1２,試求C1,C2，Ｃ3題型三:含容電路的計算【例1１】如圖７—2１所示的電路中,三個電容器完全相同,電源電動勢ε１=3.0V，ε2=4.5V，開關(guān)K1和K2接通前電容器均未帶電，試求K1和K2接通后三個電容器的電壓Uａo、Uｂｏ和Uco各為多少?！鞠嚓P(guān)變換１】正六面體網(wǎng)絡(luò)中,四個電阻都相同，ε１＝4V,ε2=８Ｖ，ε3=12V，ε4=16V,四個電源均不計內(nèi)阻,Ｃ１=C2=Ｃ3=C4=1μF.試求:①四電容器積聚的總能；②若將a、ｂ兩點短接，C2上將具有多少電荷?AA【相關(guān)變換２】在圖示的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中,所有電源的電動勢均為E0,所有電阻器的電阻值均為R０，所有電容器的電容均為C0，則圖示電容器A極板上的電荷量為多少？【例12】如圖７—22所示,由n個單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò),每一個單元由三個電容器連接而成，其中有兩個的電容為3Ｃ，另一個的電容為３C。以ａ、b為網(wǎng)絡(luò)的輸入端,ａ′、b′為輸出端,今在a、b間加一個恒定電壓U，而在ａ′ｂ′間接一個電容為C的電容器,試求:（1）從第k單元輸入端算起，后面所有電容器儲存的總電能；(2）若把第一單元輸出端與后面斷開，再除去電源，并把它的輸入端短路，則這個單元的三個電容器儲存的總電能是多少?【相關(guān)變換１】由如圖所示的電路，其中E為內(nèi)阻可以忽略的電源的電動勢，R為電阻的阻值;K為開關(guān);A、B右邊是如圖所標(biāo)的8個完全相同的容量均為Ｃ的理想電容器組成的電路，問從合上K到各電容器充電完畢，電阻R上發(fā)熱消耗的能量是多少？（在解題時，要求在圖上標(biāo)出你所設(shè)定的各個電容器極板上電荷的正負(fù)）【例13】如圖所示，C1=4C０，C2=2C０,C３=Ｃ0,電池的電動勢為E，內(nèi)阻不計,C０和Ｅ均已知，先在斷開S４的條件下,接通S1，Ｓ2，Ｓ３，令電池給三個電容器充電,然后斷開S1,Ｓ２，S3，接通S4,使電容器放電，問放電過程中，電阻R上共產(chǎn)生多少熱量?放電過程中達(dá)到放電量一半時,R上電流多大？【例14】如圖所示的一個由正三角型和正六邊形組成的平面無限電阻和電容網(wǎng)絡(luò).網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的正三角形每邊上有三個串聯(lián)的電容為C的電容器,除AB邊以外，正六邊形每邊有一個電容為C的電容器，如圖所示，網(wǎng)絡(luò)中正六邊形的邊長為ａ，單位長度導(dǎo)線的電阻為r,AB邊上有一個電動勢為ε，內(nèi)電阻為零的電池。求:從電建Ｓ閉合到系統(tǒng)穩(wěn)定的過程中,整個網(wǎng)絡(luò)的電阻所放出的總熱量。題型四:非線性電路的分析（含二極管、三極管）【例15】如圖16—4—１所示,電阻，電動勢,內(nèi)阻不計，兩個相同的二極管串聯(lián)在電路中，二極管的特性曲線如圖１6－6－2所示。試求：通過二極管的電流。電阻消耗的功率?！纠?6】兩個相同的非理想二極管，其伏安特性曲線如圖所示，它們與電容器連在一起，兩個電阻器,一個理想電池如圖所示接入電路中.兩個電阻分別為R＝16歐和r＝4歐，電池電動勢，電容器電容C=10—4F，二極管伏安特性曲線參數(shù)u0=１V，I0=0。05Ａ。求：（１）電路中電鍵閉合后電容器充電電壓。(２）電容器充電后電鍵斷開，當(dāng)電容器放電時，求電阻R上釋放的熱量。哪一個二極管釋放熱量？RCRCrUU0I0I【例1７】半導(dǎo)體ｐn結(jié)太陽能電池是根據(jù)光生伏打效應(yīng)工作的。當(dāng)有光照射pｎ結(jié)時，ｐn結(jié)兩端會產(chǎn)生電勢差，這就是光生伏打效應(yīng)。當(dāng)pn結(jié)兩端接有負(fù)載時,光照使ｐn結(jié)內(nèi)部產(chǎn)生由負(fù)極指向正極的電流即光電流，照射光的強(qiáng)度恒定時，光電流是恒定的,已知該光電流為IL；同時，pn結(jié)又是一個二極管,當(dāng)有電流流過負(fù)載時，負(fù)載兩端的電壓V使二極管正向?qū)?，其電流為，式中Ｖr和I0在一定條件下均為已知常數(shù).１、在照射光的強(qiáng)度不變時，通過負(fù)載的電流I與負(fù)載兩端的電壓V的關(guān)系是I=________＿_(dá)__＿_(dá)____。太陽能電池的短路電流IS=__________＿_(dá)___，開路電壓VＯＣ=____＿_(dá)__________＿＿_(dá)，負(fù)載獲得的功率Ｐ＝_＿_(dá)___＿_(dá)_＿_(dá)___。2、已知一硅pn結(jié)太陽能電池的IL=95ｍＡ，I０=4。1×１0-9mＡ，Ｖr=0。0２6V.則此太陽能電池的開路電壓VOC＝＿_(dá)_＿＿_(dá)_＿_(dá)____＿_(dá)_＿_(dá)_V，若太陽能電池輸出功率最大時，負(fù)載兩端的電壓可近似表示為,則VmP＝________＿_(dá)＿_(dá)__Ｖ。太陽能電池輸出的最大功率Pmａx=____＿_(dá)＿_(dá)____＿_(dá)_mW。若負(fù)載為歐姆電阻,則輸出最大功率時，負(fù)載電阻R=_＿_(dá)________＿Ω。圖10-7【例１８】晶體三極管的基極Ｂ、反射極E和集電極C的電勢分別用UB、UE和UC表示。理想的硅NＰN開關(guān)三極管的性能如下:圖10-7當(dāng)UB較UE高0.6V或更高，即UB—UE≥0．６V時，三極管完全導(dǎo)通,即發(fā)射極E與集電極C之間相當(dāng)于用導(dǎo)線直接接通。當(dāng)UB－UＥ〈０.６V時，三極管關(guān)斷。即發(fā)射極Ｅ與集電極C之間完全不通。開關(guān)三極管只有完全導(dǎo)通與關(guān)斷兩個狀態(tài)。圖10-7所示是一個有實際用途的電路,Ⅰ和Ⅱ都是理想的硅ＮPN開關(guān)三極管。圖10-8要求１．在圖１0—8中畫出輸出電壓Ｕ2隨輸入電壓U1變化的圖線.圖10-82。舉出此電路一個可能的應(yīng)用.題型五:電勢差計電勢差計是一種利用補(bǔ)償法比較精確測量電壓、電動勢、電阻的儀器，通常測量電源參數(shù)時,總有電流流過電源,因而造成誤差（精確測量時，要想辦法消除電流的影響，補(bǔ)償法可以實現(xiàn)這一點）圖中工作電源與粗細(xì)均勻的電阻線A、Ｂ相連。適當(dāng)調(diào)節(jié)Ｃ的位置,當(dāng)電阻絲在A、C段的電勢降剛好與待測電源的電動勢Ｅx相等時，靈敏電流計Ｇ內(nèi)沒有電流流過，待測電源中的電流也為0，這時,稱待測電路得到了補(bǔ)償.測量步驟與原理：①先將開關(guān)K擲于2方，調(diào)節(jié)觸