第六章Maple程序設計

/第六章Maple程序設計教學目的：學習并駕馭計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple下的算法設計和程序設計原理和方法，包括基本程序結構、子程序求值、程序的嵌套以及程序的調(diào)試。教學要求：駕馭算法設計和程序設計原理和基本方法。重點內(nèi)容：算法設計，程序設計。難點內(nèi)容：算法設計，程序設計。前面,我們運用的是Maple的交互式叮囑環(huán)境.所謂交互式叮囑環(huán)境,就是一次輸入一條或幾條叮囑,然后按回車,這些叮囑就被執(zhí)行了,執(zhí)行的結果顯示在同一個可執(zhí)行塊中.對于大多數(shù)用戶來說,利用交互式叮囑環(huán)境解決問題已經(jīng)足夠了,但假如要解決一系列同一類型的問題或者希望利用Maple編寫須要的解決特定問題的函數(shù)和程序,以期更加充分地利用Maple的強大功能,提高大規(guī)模問題的計算效率,進行確定的程序設計是必要的.程序設計主要包括兩個方面:行為特性的設計和結構特性的設計.所謂行為特性的設計,通常是指將解決問題的過程的每一個微小環(huán)節(jié)精確地加以定義,并且還應當將全部的解題過程用某種工具完整地描述出來,這一過程也稱為算法的設計.而結構特性設計是指為問題的解決確定合適的數(shù)據(jù)結構.幸運的是,Maple自身供應了一套編程工具,即Maple語言.Maple語言事實上是由Maple各種叮囑以及一些簡潔的過程限制語句組成的.1編程基礎1.1算子所謂算子,是從一個抽象空間到另一個抽象空間的函數(shù).在數(shù)學上算子的含義通常是函數(shù)到函數(shù)的映射.在Maple中,算子常用“箭頭”記號定義(也稱箭頭操作符)：>f:=x->a*x*exp(x);>g:=(x,y)->a*x*y*exp(x^2+y^2);另外,函數(shù)unapply也可以從表達式建立算子：>unapply(x^2+1,x);>unapply(x^2+y^2,x,y);當我們依次把算子f作用到參數(shù)0,a,x^2+a時即可得平常意義上的函數(shù)值：>f:=t->t*sin(t);>f(0);>f(a);>f(x^2+a);上述結果是函數(shù)作用的例子.而最終一個結果事實上是算子f和算子g:=t->t^2+a復合后再作用到參數(shù)x的結果.從數(shù)學上講,作用和復合是不同的，它們產(chǎn)生的結果是有區(qū)分的,但在運用它們時,兩者還是有些重疊的.在Maple中,可以依靠于語法把它們區(qū)分開:當復合兩個算子時,結果仍是算子,兩個算子的定義域必需是相容的；當把一個算子作用于一個參數(shù)(參數(shù)必需在算子的定義域中)時,結果是一個表達式;在Maple中，函數(shù)作用的語法是運用括號()，如函數(shù)f作用到參數(shù)u寫作f(u).而復合算子的符號是@，多重復合時運用符號@@.通過進一步的例子可以清楚區(qū)分作用和復合的功能:f和g復合的結果是算子,而把這個算子作用到參數(shù)x得到表達式f(g(x)).例如,,則是一個算子,而是一個表達式,因為x是一個實數(shù).試比較下述兩例：>D(g@f);>D(g*h);另外一個應引起留意的問題是算子(函數(shù))和表達式的異同，在第一章中曾探討過函數(shù)和表達式的區(qū)分，這里再通過幾個例子說明其中的微妙差異：>f1:=x^2+1;>f2:=y^2+1;>f3:=f1+f2;再看下面的例子：>g1:=x->x^2+1;>g2:=y->y^2+1;>g3:=g1+g2;和前面例子不同的是，兩個算子(函數(shù))g1,g2相加的結果照舊是函數(shù)名g3，出現(xiàn)這個問題的主要緣由是g1和g2分別為x，y的函數(shù)，Maple認為它們的定義域不相容.要得到和前例的結果，只需稍作改動：>g3:=g1(x)+g2(y);下面的例子想說明生成Maple函數(shù)的兩種方式“箭頭操作符”及“unapply”之間微妙的差異：>restart:a:=1:b:=2:c:=3:>a*x^2+b*x+c;>f:=unapply(a*x^2+b*x+c,x);>g:=x->a*x^2+b*x+c;由此可見，f中的a,b,c已經(jīng)作了代換，而g中則顯含a,b,c。再看下面試驗：>f(x);g(x);f和g兩者相同，再對其微分：>D(f);D(g);再變更常數(shù)c的值，視察f和g的變更：>c:=15;>f(x);g(x);由此可見，在利用Maple進行函數(shù)探討時，對同一問題應當用不同方法加以校驗，而這一切的支撐是數(shù)學基礎！1.2編程初體驗利用算子可以生成最簡潔的函數(shù)—單個語句的函數(shù),但嚴格意義上講它并非程序設計,它所生成的數(shù)據(jù)對象是子程序.所謂子程序，簡潔地說,就是一組預先編好的函數(shù)叮囑,我們由下面的簡潔程序來看看Maple程序的結構：>plus:=proc(x,y)x+y;end;這個程序只有2個參數(shù),在程序內(nèi)部它的名稱是x,y,這是Maple最簡潔的程序結構,僅僅在proc()和end中間加上在計算中須要的一條或者多條叮囑即可,Maple會把最終一個語句的結果作為整個子程序的返回結果,這一點須要引起留意.再看下例：>P:=proc(x,y)x-y;x*y;x+y;end:>P(3,4);明顯,盡管程序P有三條計算叮囑，但返回的只是最終一個語句x+y;的結果.要想輸出全部的計算結果，須要在程序中增加print語句:>P:=proc(x,y)print(x-y);print(x*y);print(x+y);end:>P(3,4);再看下面幾個例子：>forifrom2to6doexpand((x+y)^i);od;>F:=proc(n::integer)ifnmod12=0thentrueelsefalsefiend:>F(123^123),F(1234567890^9);從上面幾個簡潔的例子可以看出Maple子程序主要包含以下一些內(nèi)容：把定義的子程序賦值給程序名procname,以后就可以用子程序名procname來調(diào)用程序；子程序一律以proc()開頭,括號里是程序的輸入?yún)?shù)，假如括號中什么都沒有,表示這個子程序沒有任何輸入?yún)?shù)；子程序中的每一個語句都用分號(或冒號)分開(這一點不是主要的,程序設計時,在可能的時候—過程當中的最終一個語句、for-循環(huán)、if語句中的最終一個語句省略終結標點也是允許的,這并不是為了懶散,而是因為在終結語句后面插入一個語句產(chǎn)生的影響要比僅僅執(zhí)行一個新語句產(chǎn)生的影響大)；在定義完子程序之后,Maple會顯示它對該子程序的說明(除非在end后用冒號結束),它的說明和你的定義是等價的,但形式上不愿定完全相同；Maple會自動地把除了參數(shù)以外的變量都作為局部變量(localvariable),這就是說,它們僅僅在這個子程序的定義中有效,和子程序以外的任何同名變量無關.在定義了一個子程序以后,執(zhí)行它的方法和執(zhí)行任何Maple系統(tǒng)子程序一樣—程序名再加上一對圓括號(),括號中包含要調(diào)用的參數(shù),假如子程序沒有參數(shù),括號也是不能省略的.除了上面給出的程序設計方法外，在Maple中還可以干脆由“->”(箭頭)生成程序,如下例：>f:=x->ifx>0thenxelse-xfi;>f(-5),f(5);甚至于程序名也可以省略，這種狀況通常會在運用函數(shù)map時遇到：>map(x->ifx>0thenxelse-xfi,[-4,-3,-2,0,1]);假如須要察看一個已經(jīng)定義好的子程序的過程,用eval叮囑,查看Maple中源程序(如factor函數(shù))運用下述組合叮囑：interface(verboseproc=2);print(factor);1.3局部變量和全局變量Maple中的全局變量,是指那些在交互式叮囑環(huán)境中定義和運用的變量,前面所運用的變量幾乎都屬于全局變量.而在編寫子程序時,須要定義一些只在子程序內(nèi)部運用的變量,稱其為局部變量.當Maple執(zhí)行子程序時,全部和局部變量同名的全局變量都保持不變,而不管在子程序中給局部變量賜予了何值.假如要把局部變量定義為全局變量,須要用關鍵詞global在程序最起先加以聲明,而局部變量則用local聲明,雖然這是不必要的,但在程序設計時,聲明變量是有確定好處的.下面通過實例演示局部變量和全局變量的不同.為了更清楚地視察子程序對全局變量的影響,在子程序外先設定一個變量a的值：>a:=1;>f:=proc()locala;a:=12345678/4321;evalf(a/2);end;>f();>a;>g:=proc()globala;a:=12345678/4321;evalf(a/2);end;>g();>a;明顯,在前一個程序中,由于在子程序外已經(jīng)賦值給a,a是全局變量,它的值不受子程序中同名局部變量的影響；而在后一個子程序中,由于重新把a定義為全局變量,所以子程序外的a隨著子程序中的a值的變更而變更.子程序中的輸入?yún)?shù),它既不是全局的,也不是局部的.在子程序內(nèi)部,它是形式參數(shù),也就是說,它的詳細取值尚未被確定,它在程序調(diào)用時會被替換成真正的參數(shù)值.而在子程序外部,它們僅僅表示子程序接受的參數(shù)的多少,而對于詳細的參數(shù)值沒有關系.1.4變量nargs,args和procname在全部程序中都有三個有用的變量：nargs,args和procname.前兩個給出關于調(diào)用參量的信息:nargs變量是調(diào)用的實際參量的個數(shù),args變量是包含參量的表達式序列,args的子序列通過范圍或數(shù)字的參量選取.例如,第i個參量被調(diào)用的格式為:args[i].nargs,args變量通常在含有可選擇參量的程序中運用.下面看一個例子：>p:=proc()locali;RETURN(nargs,[seq(i^3,i=args)])endproc:>p(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);該程序利用Maple函數(shù)RETURN返回了輸入?yún)⒘康膫€數(shù)以及參量序列的立方列表,RETURN函數(shù)運用時必需在其后加圓括號，即使無結果返回時也得如此。下面是一個關于求隨意序列最大值的困難程序：>maximum:=proc()localr,i;r:=args[1];forifrom2tonargsdoifargs[i]>rthenr:=args[i]endifenddo;r;endproc:>maximum(12^4,5^7,69^3,10^4+4.9*1000);假如變量procname(程序被調(diào)用的名字)存在的話，它可以用來干脆訪問該程序,通常用procname(args)完成調(diào)用:>f:=proc(a)ifa>0thenRETURN(a^(1/2))elseRETURN('procname(args)')endifendproc:>f(100-3^6),f(10^2+90-9*4); 2基本程序結構全部的高級程序設計語言都具有程序結構,因為為了完成一項困難的任務,僅僅依據(jù)語句依次依次執(zhí)行是遠遠不夠的,更須要程序在特定的地方能夠跳轉、分叉、循環(huán),……,和此同時,程序結構就產(chǎn)生了.2.1分支結構(條件語句)所謂分支結構,是指程序在執(zhí)行時,依據(jù)不同的條件,分別執(zhí)行兩個或多個不同的程序塊,所以常常稱為條件語句.if條件結構的語法為：if邏輯表達式1(條件1)then程序塊1elif邏輯表達式2(條件2)then程序塊2else程序塊3fi;其中,fi是條件語句的結束標記,也可以寫作endif.下面是一個推斷兩個數(shù)中較大者的例子：>bigger:=proc(a,b)ifa>=bthenaelsebfiend;再如下例：>ABS:=proc(x)ifx<0then-x

elsex;fi;end;明顯，這個確定值函數(shù)的簡潔程序,對于隨意實數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)值型變量計算都是沒有問題的,但對于非數(shù)值型的參數(shù)則無能為力.為此，我們須要在程序中添加一條推斷參數(shù)是否為數(shù)值型變量的語句：>ABS:=proc(x)iftype(x,numeric)thenifx<0then-xelsex;fi;else'ABS'(x);fi;end:這里,我們用到一個if語句的嵌套,也就是一個if語句處于另一個if語句當中.這樣的結構可以用來推斷困難的條件.我們還可以用多重嵌套的條件結構來構造更為困難的函數(shù),例如下面的分段函數(shù)：>HAT:=proc(x)iftype(x,numeric)thenifx<=0then0;elseifx<=1thenx;else0;fi;fi;else'HAT'(x);fi;end;盡管在上面的程序中我們用了不同的縮進來表示不同的層次關系,這段程序還是很難懂.對于這種多分支結構,可以用另一種方式書寫,只需在其次層的if語句中運用elif,這樣就可以把多個分支形式上寫在同一個層次中,以便于閱讀.>HAT:=proc(x)iftype(x,numeric)thenifx<=0then0;elifx<=1thenx;else0;fi;else'HAT'(x);fi;end;和許多高級語言一樣,這種多重分支結構理論上可以多到隨意多重.再來看看前面的確定值函數(shù)的程序,似乎是完備的,但是,對于乘積的確定值則沒有方法,下面用map叮囑來修正,留意其中的type(…,`*`)是用來推斷表達式是否為乘積,進而對其進行化簡.>ABS:=proc(x)iftype(x,numeric)thenifx<0then-xelsexfi;eliftype(x,`*`)thenmap(ABS,x);else'ABS'(x);fi;end:>ABS(-1/2*b);分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，條件語句在定義分段函數(shù)時具有明顯的優(yōu)越性，下面學習幾個實例：(1)>f:=proc(x)ifx<0thenx^2+1elsesin(Pi*x)fi;end;(2)>g:=proc(x)ifx<=0thenx^2+xelseifx<3*Pithensin(x)elsex^2-6*x*Pi+9*Pi^2-x+3*Pififiend;2.2for循環(huán)在程序設計中,常常須要把相同或者類似的語句連續(xù)執(zhí)行多次,此時,通過for循環(huán)結構可以更便捷地編寫程序.試看下面幾個例子：①求1至5自然數(shù)的和：>total:=0:forifrom1to5dototal:=total+i:od;②列示2，4，6，8，10及其平方數(shù)、立方數(shù)：>forifrom2to10by2do'i'=i,'i^2'=2^i,'i^3'=i^3;od;③列示第100到第108個素數(shù)(第1個素數(shù)是2)：>forjfrom100to108doprime[j]=ithprime(j);od;④列示5到10的階乘及其因數(shù)分解：>forninseq(i!,i=5..10)don=ifactor(n);od;⑤一個困難的冪指函數(shù)生成：>f:=proc(x,n)locali,t;t:=1;forifrom1tondot:=x^(t^x);od;t;end:>f(x,10);通過上述例子可以看出，Maple的for循環(huán)結構很接近于英語語法.在上面例子中,i稱為循環(huán)變量,用于循環(huán)計數(shù),do后面的部分,稱為循環(huán)體,就是須要反復執(zhí)行的語句,可以是一條語句,也可以是多條語句.在循環(huán)體中,也可以引用循環(huán)變量.循環(huán)體的結束標記,也就是整個for循環(huán)結構的結束標記,是字母“od”(也可以寫作enddo).for循環(huán)結構的語法可總結為：for循環(huán)變量from初始值to終止值(by步長)do循環(huán)體od在for循環(huán)結構中，初始值和終了值必需是數(shù)值型的,而且必需是實數(shù),假如初始值是1,可以省略不寫,而步長用by引出.對于上面程序中的重復循環(huán)似乎可有可無,但實際科學計算中,重復次數(shù)往往成千上萬,或者重復的次數(shù)無法確定,循環(huán)就必不行少了.下面再看一個好用程序—從1到n的自然數(shù)的求和程序：>SUM:=proc(n)locali,total;total:=0;forifrom1tondototal:=total+i;od;end;>SUM(1000);該程序僅僅具有練習例舉的意義,因為在Maple中像這樣一個問題只須要一個簡潔語句就可以完成：>Sum(n,n=1..1000)=sum(n,n=1..1000);更一般地,對于確定的求和可用add叮囑(該叮囑無惰性函數(shù)形式)：>add(n,n=1..1000);再看下面一個動畫制作例子(圖略去)：>forifrom-20to30dop||i:=plots[implicitplot](x^3+y^3-5*x*y=1-i/8,x=-3..3,y=-3..3,numpoints=800,tickmarks=[2,2])od:>plots[display](p||(-20..30),insequence=true);2.3while循環(huán)for循環(huán)在那些已知循環(huán)次數(shù),或者循環(huán)次數(shù)可以用簡潔表達式計算的狀況下比較適用.但有時循環(huán)次數(shù)并不能簡潔地給出,我們要通過計算,推斷一個條件來確定是否接著循環(huán),這時,可以運用while循環(huán).while循環(huán)標準結構為：while條件表達式do循環(huán)體odMaple首先推斷條件是否成立,假如成立,就一遍遍地執(zhí)行循環(huán)體,直到條件不成立為止.下面看一個簡潔的程序,是用輾轉相除法計算兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)(Euclidean算法).>GCD:=proc(a::posint,b::posint)localp,q,r;p:=max(a,b);q:=min(a,b);r:=irem(p,q);whiler<>0dop:=q;q:=r;r:=irem(p,q);od;q;end:>GCD(123456789,987654321);在上面程序中的參數(shù)a、b后面的雙冒號“：：”指定了輸入的參數(shù)類型.若類型不匹配時輸出錯誤信息.再看下面一個擴展Euclidean算法的例子：>mygcdex:=proc(a::nonnegint,b::nonnegint,x::name,y::name)locala1,a2,a3,x1,x2,x3,y1,y2,y3,q;a1:=a;a2:=b;x1:=1;y1:=0;x2:=0;y2:=1;while(a2<>0)doa3:=a1moda2;q:=floor(a1/a2);x3:=x1-q*x2;y3:=y1-q*y2;a1:=a2;a2:=a3;x1:=x2;x2:=x3;y1:=y2;y2:=y3;od;x:=x1;y:=y1;RETURN(a1)end:>mygcdex(2^10,6^50,'x','y');2.4遞歸子程序正如在一個子程序中我們可以調(diào)用其他的子程序一樣(比如系統(tǒng)內(nèi)部函數(shù),或者已經(jīng)定義好的子程序),一個子程序也可以在它的內(nèi)部調(diào)用它自己,這樣的子程序我們稱為遞歸子程序.關于遞歸算法及其設計將在下節(jié)詳述.在數(shù)學中,用遞歸方式定義的例子許多,如Fibonacci數(shù)列：下面我們在Maple中利用遞歸子程序求Fibonacci數(shù)列的第n項：>F:=proc(n::nonnegint)::listifn<=1thenn;elseF(n-1)+F(n-2);fi;end:>seq(F(i),i=0..19);>F(20);但是,應用上述程序計算F(2000)時則不能進行,緣由是要計算F(2000),就先得計算F(1999)、F(1998)、……,無限制地遞歸會耗盡系統(tǒng)的堆?？臻g而導致錯誤.由數(shù)據(jù)結構有關理論知道,遞歸程序理論上都可以用循環(huán)實現(xiàn),比如我們重寫上面的程序如下：>F:=proc(n::nonnegint)localtemp,fnew,fold,i;ifn<=1thenn;elsefold:=0;fnew:=1;forifrom2tondotemp:=fnew+fold;fold:=fnew;fnew:=temp;od;fi;end:>F(2000):>time(F(2000));利用循環(huán),程序不像前面那么易懂了,但同時帶來的好處也是不行忽視的,循環(huán)結構不僅不會受到堆棧的限制,而且計算速度得到了很大的提高.我們知道,Maple子程序默認狀況下把最終一條語句的結果作為子程序的結果返回.我們可以用RETURN(或return)叮囑來顯式地返回結果,比如前面的遞歸結果可等價地寫成：>F:=proc(n::nonnegint)optionremember;ifn<=1thenRETURN(n);fi;F(n-1)+F(n-2);end:程序進入n<=1的分支中,執(zhí)行到RETURN叮囑就跳出程序,而不會接著執(zhí)行后面的語句了.另外,運用RETURN叮囑在確定程度上可以增加程序的可讀性.在其次章中曾提到Maple的自動求導功能，下面通過實例說明。第一個例子是關于分段函數(shù)求導問題：>F:=x->ifx>0thensin(x)elsearctan(x)fi;>Fp:=D(F);將分段函數(shù)及其導數(shù)的曲線繪制在同一個坐標系中，實線為F，虛線為Fp：>plot({F,Fp},-3*Pi..3*Pi,linestyle=[1,4],color=black);其次個例子試圖說明Maple能夠完成對多個函數(shù)的自動求導：>f:=proc(x)locals,t;s:=ln(x);t:=x^2;s*t+3*t;end;>fp:=D(f);程序fp是怎樣構造的呢？對比f和fp的源代碼可以幫助我們了解Maple自動求導機理：在fp的源代碼中，每一條賦值語句V:=f(v1,v2,…vn)之前是Vx:=fp(v1,v2,…vn)，此處vi是局部變量或形式參數(shù)，fp(v1,v2,…vn)是對f(v1,v2,…vn)在形式上的微分，用該賦值語句的的導數(shù)取代最終一條語句或返回值。這種方法被稱為向前自動微分法。在Maple內(nèi)部對這種方法有一些限制：不能有遞歸程序，不能有記憶選項，不能對全局變量賦值，只能有常數(shù)的循環(huán)變量，等。下面一個例子說明自動求導在計算時間和存儲空間上的優(yōu)越性，這是一個利用遞歸定義的的冪函數(shù)的自動求導問題：>f:=proc(x,n)locali,t;t:=1;foritondot:=x^tod;tend;>f1_3:=D[1$3](f):＃求f對x的三階導數(shù)>setbytes:=kernelopts(bytesused):＃運用寄存器內(nèi)存量>settime:=time():＃起先計時>f1_3(1.1,22);>cpu_time:=(time()-settime)*seconds;＃計算時間>memory_used:=evalf((kernelopts(bytesused)-setbytes)/1024*kbytes,5);＃存儲空間大小再利用符號微分重復上述步驟：>f22:=unapply(f(x,22),x):>setbytes:=kernelopts(bytesused):>settime():>(D@@3)(f22)(1.1);>cpu_time:=(time()-settime)*seconds;>memory_used:=evalf((kernelopts(bytesused)-setbytes)/1024*kbytes,5);明顯Maple自動求導在計算時間和存儲空間上具有明顯的優(yōu)越性。奇異利用自動微分解決較困難的函數(shù)求導問題有特殊現(xiàn)實的意義。3算法及其設計算法(algorithm)這一術語是對9世紀巴格達數(shù)學家al-Khowarizmi(阿爾-花拉子米)這一名字的訛用,他寫的書《Kitabal-jabrw’almuqabalah》(代數(shù)學)演化成為現(xiàn)在中學的代數(shù)教科書,al-Khowarizmi強調(diào)求解問題的有條理的步驟.最初,訛用的algorism表示運用十進制做算術運算的規(guī)則.18世紀時algorism演化為algorithm.隨著計算機的發(fā)展,算法的概念有了更廣的含義.所謂算法,簡潔地說,是一組嚴謹?shù)囟x運算依次的規(guī)則,并且每一個規(guī)則都是有效的且是明確的,此依次將在有限的次數(shù)下終止.作為一個算法,應具有四個特征:1)有效性(effectiveness):即算法中的每一個步驟必需是能夠實現(xiàn)的,算法執(zhí)行的結果要能達到預期的目的;2)確定性(definiteness):算法中的每一個步驟都必需是有明確定義的,不允許有模棱兩可的說明,也不允許有多義性;3)有窮性(finiteness):算法必需在有限個步驟之后終止,且還應具有合理的執(zhí)行時間;4)通用性(currency):算法過程應適用于要求形式的全部問題,而不只是用于一組特定的輸入值.對于一個問題,假如可以通過一個計算機程序,在有限的存儲空間內(nèi)運行有限長的時間而得到正確的結果,則稱該問題是算法可解的.但算法不等于程序,也不等于計算方法.程序可以作為算法的一種描述,但程序通常還需考慮許多和方法和分析無關的微小環(huán)節(jié)問題,這是因為在編寫程序時要受到計算機系統(tǒng)運行環(huán)境的限制.通常,程序設計的質(zhì)量不行能優(yōu)于算法的設計.算法的設計方法許多,下面介紹幾種常用的算法設計方法.3.1枚舉法枚舉法(也稱列舉法,窮舉法)的基本思想是依據(jù)提出的問題,列舉全部可能狀況,并檢驗那些滿意問題中提出的條件,那些不滿意.因此,枚舉法常用于“是否存在”或“有多少種可能”等類型的問題.枚舉法是重要而好用的算法之一.枚舉法的特點是算法比較簡潔,但當列舉的可能狀況較多時,執(zhí)行列舉算法的工作量將會很大.因此,在用列舉法設計算法時,應當留意使方案優(yōu)化,盡量削減運算工作量.通常,只要對實際問題作詳細的分析,將和問題及關的學問條理化,完備化,系統(tǒng)化,從中找出規(guī)律,或對全部可能的狀況進行分類,引出一些有用的信息,列舉量是可以削減的.例1(百錢買百雞問題):用100元錢買100只雞,大公雞5元錢1只,大母雞3元錢1只,小雞1元錢3只,問如何買法？這是一個不定方程求解問題.事實上,設大公雞,大母雞,小雞的數(shù)量分別為x,y,z,則:算法1)完全枚舉法>baiji:=proc()localx,y,z;forxfrom1to100doforyfrom1to100doforzfrom1to100doifx+y+z=100and5*x+3*y+z/3=100thenprint(`COCK`=x,`HEN`=y,`CHICK`=z)fi;od;od;od;end:在算法1)中,各層循環(huán)均需100次,總循環(huán)次數(shù)1003次,明顯計算量太大.對問題稍做思索,則可知x最大值不超過19,其次層循環(huán)中y的最大值為33-5x/3,z的值自然等于100-x-y,即第三層循環(huán)已經(jīng)沒有必要.由此,可得改進算法.算法2)改進算法>baiji2:=proc()localx,y,z;forxfrom1to19doforyfrom1to33-5*x/3doz:=100-x-y;if5*x+3*y+z/3=100thenprint(`COCK`=x,`HEN`=y,`CHICK`=z)fi;od;od;end:不難分析,算法2的總循環(huán)次數(shù)大為降低,僅為310次.枚舉原理是計算機應用領域中特殊重要的原理.許多實際問題,若接受人工列舉是不行想象的,但由于計算機運算速度快,擅長重復操作,因此,枚舉法是計算機算法中的一個基礎算法.例如,為了證明一個命題為真,則只需一一列舉每一種狀況均為真即可.枚舉法是比較笨拙而原始的方法,它最大的缺點是運算量大,但在實際問題中,局部運用枚舉法卻是有效的.為了更進一步說明枚舉法的運用,下面再看一個例子:例2(均分問題):有三個人均分油,共有7滿桶,7半桶,7空桶,但不許打開桶倒油，如何分法?>sever_oil:=proc()locala1,a2,a3,b1,b2,b3,k1,k2,k3,k,kk,n,i;kk:=[];fora1from1to4dofora2from1to6doif2*a1+a2=7thena3:=7-a1-a2;forb1from1to6doforb2from1to6doif2*b1+b2=7anda1+b1<7anda2+b2<7thenb3:=7-b1-b2;if((7-a1-b1)+(7-a2-b2)+(7-a3-b3)=7)and(2*(7-a1-b1)+(7-a2-b2)=7)thenk1:=[a1,a2,a3];k2:=[b1,b2,b3];k3:=[(7-a1-b1),(7-a2-b2),(7-a3-b3)];k:={k1,k2,k3};n:=nops(kk);ifn=0thenkk:=[[k1,k2,k3]];elseforifrom1tondoif{op(kk[i])}=kthenbreak;endif;enddo;ifi>nthenkk:=[op(kk),[k1,k2,k3]];endif;endif;endif;endif;enddo;enddo;endif;enddo;enddo;n:=nops(kk);forifrom1tondoprintf("第%a種狀況\n",i);printf("第一家:%a個滿桶%a個半桶%a個空桶\n",kk[i,1,1],kk[i,1,2],kk[i,1,3]);printf("其次家:%a個滿桶%a個半桶%a個空桶\n",kk[i,2,1],kk[i,2,2],kk[i,2,3]);printf("第三家:%a個滿桶%a個半桶%a個空桶\n\n",kk[i,3,1],kk[i,3,2],kk[i,3,3]);enddo;endproc:>sever_oil();第一種狀況第一家：1個滿桶，5個半桶，1個空桶其次家：3個滿桶，1個半桶，3個空桶第三家：3個滿桶，1個半桶，3個空桶其次種狀況第一家：3個滿桶，1個半桶，3個空桶其次家：2個滿桶，3個半桶，2個空桶第三家：2個滿桶，3個半桶，2個空桶在該程序中,為了給出可讀性的輸出,大量運用了printf語句格式.3.2歸納法歸納法的基本思想是通過列舉少量的特殊狀況,經(jīng)過分析,最終找出一般關系.明顯,歸納法要比枚舉法更能反映問題的本質(zhì).但是,要從一個實際問題中總結歸納出一般的關系卻并非易事,尤其要歸納出其數(shù)學模型更難.從本質(zhì)上講,歸納就是通過視察一些簡潔而特殊的狀況,最終總結出有用的結論或解決問題的有效途徑.歸納是一種抽象,即從特殊現(xiàn)象中找出一般關系.由于在歸納過程中不行能對全部可能的狀況進行列舉,因而最終得到的結論還只是一種揣測(即歸納假設).所以,對于歸納假設還必需加以嚴格的證明,通常接受數(shù)學歸納法.下面是一個歸納法的典型例子。例3：求前n個自然數(shù)學的平方和:明顯，有：從上述幾個值很難看出Sn和n之間的關系.G.Polya曾經(jīng)提出下表所示的歸納公式：n123456…1+2+3+…+n136101521…12+22+32+…+n21514305591…(12+22+32+…+n2)/(1+2+3+…+n)3/35/37/39/311/313/3…由此即可揣測：而于是：要證明上式是否正確，需用數(shù)學歸納法對其加以證明.3.3遞歸法若一個算法通過把問題連續(xù)地歸納到帶更小輸入的相同問題，據(jù)此來解決原來的問題，則這個算法稱為遞歸的.例4：給出計算an的遞歸算法，其中a是非0實數(shù)而n是非負整數(shù).>A:=proc(a::nonnegative,n::nonnegint)ifn=0then1;elseA(a,n):=a*A(a,n-1);fi;end:例5：把線性搜尋算法表達成遞歸過程.>search1:=proc(a::list,i::nonnegint,j::nonnegint,x)ifa[i]=xtheni;elifi=jthen0;elsesearch1(a,i+1,j,x);fi;end:例6：構造對分搜尋算法的遞歸形式.>search2:=proc(a::set,i,j,x)localm;m:=trunc((i+j)/2);ifx=a[m]thenreturnm;elifx<a[m]andi<mthenreturnsearch2(a,i,m-1,x);;elifx>a[m]andj>mthenreturnsearch2(a,m+1,j,x);elsereturn0;fi;end:下面的例子想說明遞歸和迭代的微妙關系.例7：n!的計算.>fact:=proc(n::posint)ifn=1then1;elsefact(n):=n*fact(n-1);fi;end:明顯,這是遞歸算法.而假如是下述程序,則為迭代算法:>fact1:=proc(n::posint)localx,i;x:=1;forifrom1tondox:=x*i;od;end:3.4遞推法所謂遞推，是指從已知條件動身，逐次推出所要求的各中間結果及最終結果.其中，初始條件或是問題本身已經(jīng)給定,或是通過對問題的分析和化簡后確定.遞推本質(zhì)上也屬于歸納法.下面通過一個著名的難題的遞推來說明該方法.例8(漢諾塔問題)：19世紀后期一個著名的游戲叫做漢諾塔，它是由安裝在一個板上的3根柱子和若干大小不同的盤子構成。起先時，這些盤子依據(jù)大小次序放在第一根柱子上，使得大盤子在底下。游戲的規(guī)則是：每次把1個盤子從一根柱子移動到另個根柱子，但是不允許這個盤子放在比它小的盤子上面。游戲的目標是把全部的盤子依據(jù)大小次序都放在其次根柱子上，并且將最大的盤子放在底部。令Hn表示解n個盤子的漢諾塔問題所須要的移動次數(shù)。建立一個關于序列{Hn}的遞推關系。設初始時刻n個盤子均在柱1。依據(jù)游戲規(guī)則我們可以用Hn-1次移動將上邊的n-1個盤子移到柱3。在這些移動中保留最大的盤子不動。然后，用一次移動將最大的盤子移到其次根柱子上。我們可以再運用Hn-1次移動將柱3上的n-1個盤子移到柱2，把它們放到最大的盤子上面，這個最大的盤子始終放在柱2的底部。簡潔看出，運用更少的步數(shù)是不行能求解這個難題的。這就證明白Hn=2Hn-1+1初始條件是H1=1，因為依照規(guī)則一個盤子可以用一次移動從柱1移到柱2。我們可以運用迭代方法求解這個遞推關系。留意H=2H+1=2（2H+1）+1=2H+2+1=2(2H+1)+2+1=2H+2+2+1……=2H+2+2+……+2+1=2+2+……+2+1=上述公式可以用數(shù)學歸納法證明。一個古老的傳聞告知我們，漢諾塔里的僧侶依據(jù)這個游戲規(guī)則從一個柱子到另一個柱子移動64個金盤子。他們1秒鐘移動1個盤子，據(jù)說當他們結束游戲時世界就到了末日。這個世界將在僧侶起先移動盤子多久以后終結？依據(jù)公式，僧侶須要=18446744073709551615次移動來搬這些盤子。每次移動須要1秒鐘，他們將用5849億年來求解這個難題，因此這個世界的壽命應當比它已有的壽命更長。例9（編碼字的枚舉）：一個計算機系統(tǒng)把一個十進制數(shù)字串作為一個編碼字,假如它包含偶數(shù)個0就是有效的，否則就不是有效的.設an是有效的n位編碼字的個數(shù)，試找出an的遞推關系.留意到a1=9(因為串0是無效的).本問題只需通過考慮由n-1位數(shù)字串構成n位數(shù)字串的方式來解決.而該方式共有兩種：第一種：在一個n-1位有效數(shù)字串后加上一個非0數(shù)字，而加這個數(shù)字的方式有9種，此時，an=9an-1；其次種：在一個n-1位無效數(shù)字串后加上0數(shù)字，這樣做的方式數(shù)等于無效n-1位數(shù)字串的個數(shù)，因為共存在10n-1個n-1位有效數(shù)字，此時，an=10n-1-an-1.從而，有：an=9an-1+(10n-1-an-1)=10n-1+8an-1>a:=proc(n::posint)ifn=1then9;else10^(n-1)+8*a(n-1);fi;end;有些實際問題，既可以用遞推法也可以用遞歸法求解。但遞歸和遞推算法的實現(xiàn)方法是不一樣的。遞推是從初始條件動身，逐次推出所需求的結果；而遞歸則是從算法本身到達遞歸邊界。通常，遞歸算法要比遞推算法更清楚易讀，其結構也比較簡練。特殊是在許多比較困難的問題中，很難找到從初始條件推出所需結果的全過程，此時，設計遞歸算法要比遞推算法簡潔得多。但遞歸算法也有一個致命的缺點，即執(zhí)行的效率比較低。3.5回溯法回溯法也稱為摸索法，該方法首先短暫放棄規(guī)模大小的限制，并將問題的候選按某種依次逐一枚舉和檢驗.當發(fā)覺當前問題選解不行能是解時,就選擇下一個候選解；倘如當前候選解除了還不滿意規(guī)模要求外，滿意全部其他要求時，接著擴大當前候選解的規(guī)模，并接著摸索.假如當前候選解滿意規(guī)模在內(nèi)的全部要求時，該候選解就是問題的一個解.在回溯法中，放棄當前候選解，找尋下一個候選解的過程稱為回溯.擴大當前候選解的規(guī)模，并接著摸索的過程稱為向前摸索.例10（皇后問題）：由n2個方塊排成n行n列的正方形,稱之為“n元棋盤”.假如兩個皇后位于n元棋盤上的同一行、或同一列、或同一對角線上，則稱它們在相互攻擊。現(xiàn)要求找出訪n元棋盤上的n個皇后互不攻擊的布局。n個皇后在n元棋盤上的布局共有nn種為了從中找出互不攻擊的布局，須要對此nn種方案逐個進行檢查，將有攻擊的布局刪掉。這是一種列舉法。但這種方法對于較大的n，其工作量會急劇增加。而事實上，從互不攻擊的布局的要求可分析出逐一列舉也是沒有必要的。例如：每一行只能放一個皇后。又如，假如第一行上的皇后已經(jīng)在某一列，則其它行上的皇后就不行能在該列。下面用回溯法來設計求解這個問題的算法。首先，將問題歸結為在n元棋盤的每一行上安置一個皇后，并假設第i個皇后被安置在第i行上。定義一個一維數(shù)組A(1:n)，其中每一個元素A(i)用于在安置皇后過程中隨時記錄第i行上的皇后所在的列號。由此可知，這種狀況下，事實上已經(jīng)剔除了兩個皇后在同一行上的可能性。因此，在安置每一行上的皇后時，只需考慮每兩個皇后不能在同一列或同一對角線上即可。簡潔驗證，第i行上的皇后和第k行上的皇后正好在同一列的充要條件為:A(i)－A(k)＝０正好同在某一對角線上的充要條件為:｜A(i)－A(k)｜－｜i－k｜＝０初始時，將每一行的皇后均放在第一列，即初始狀態(tài)為Ａ(i)=1,i=1,2,….n.然后，從第一行（即i=1）起先進行以下過程。設前i－1行上的皇后已經(jīng)布局好，即它們互不攻擊?，F(xiàn)考慮支配第i行上的皇后的位置，使之和前i－1行的皇后也都互不攻擊。為了實現(xiàn)這一點，可以從第i行皇后的當前位置起先向右搜尋：（1）若A(i)<=n,則需檢查第i－1行皇后是否互不攻擊。若無攻擊，則考慮支配下一行皇后的位置；若有攻擊，則將第i行皇后右移一個位置，重新進行這個過程。（2）若A(i)>n，則說明在前i－1行皇后的當前布局下，第i行皇后已無法安置。此時將第*行皇后重新放在第一列，且回退一行，再考慮第i－1行皇后和前i－2行皇后均互不攻擊的下一個位置。在這種狀況下，假如已退到第0行（n元棋盤不存在第0行），則過程結束。（3）若當前安置好的皇后是在最終一行（即第n行），則說明已找到了n個皇后互不攻擊的一個布局，將這個布局打印輸出。然后將第n行的皇后右移一個位置，重新進行這個過程，以便進一步找出另外的布局。綜合以上過程，可以形象地概括成一句話：“向前走，碰壁回頭”。這種方法也稱為深度優(yōu)先搜尋技術DFS(DepthFirstSearch)。>Q:=proc(col::integer,n::integer,Row,Lbias,Rbias,result::array)locali,j,A,m;forifrom1tondoifRow[i]=1andLbias[col+i]=1andRbias[n+col-i]=1thenresult[col]:=i;Row[i]:=0:Lbias[col+i]:=0:Rbias[n+col-i]:=0;ifcol=nthenA:=matrix(n,n);forjfrom1tondoformfrom1tondoA[j,m]:=0;enddo;enddo;forjfrom1tondoA[result[j],j]:=Q;enddo;print(A);elseQ(col+1,n,Row,Lbias,Rbias,result);endif;Row[i]:=1:Lbias[col+i]:=1:Rbias[n+col-i]:=1;endif;enddo;endproc:>Queen:=proc(n::integer)locali,Row,Lbias,Rbias,result;ifn<4thenprint(2??üμ?μ??á1?);return;endif;Row:=array(1..n);result:=array(1..n);Lbias:=array(1..(2*n));Rbias:=array(1..(2*n));forifrom1tondoRow[i]:=1;enddo;forifrom1to2*ndoLbias[i]:=1:Rbias[i]:=1;enddo;Q(1,n,Row,Lbias,Rbias,result);return;endproc:>Queen(4);例11：在9()個方格中填入1到N（N≥10）內(nèi)的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，使全部相鄰兩個方格內(nèi)的數(shù)字和為質(zhì)數(shù).試求出全部滿意這個要求的各種數(shù)字填法.可用摸索法找到問題的解.即從第一個方格起先，為當前方格找尋一個合理的整數(shù)填入，并在當前位置正確填入后，為下一個方格找尋填入的合理整數(shù)，如不能為當前方格找到一個合理的可填整數(shù)，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù).當為第9格也填入了合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出，并調(diào)整第9格的填數(shù)去找下一個解.為了進一步說明回溯法及其程序設計的本質(zhì)，下面的程序給出的是求解類似問題的通用形式，即個方格中中填數(shù)的問題.其中check子程序是為判定兩數(shù)和為質(zhì)數(shù)而設計的.>check:=proc(s::array,top::integer,n::integer)locali,j,m;iftop=1thenreturntrue;endif;forifrom1totopdoforjfrom1totopdoifi<>jands[i]=s[j]thenreturnfalse;endif;enddo;enddo;m:=(n-1)*n;forifrom1totop-1doif(imodn)<>0andisprime(s[i]+s[i+1])=falsethenreturnfalse;endif;ifi<=mandtop>n+iandisprime(s[i]+s[i+n])=falsethenreturnfalse;endif;enddo;returntrue;endproc:>Get:=proc(number::integer,n::integer)localresult,top,i,ok,A;result:=array(1..(n*n));top:=1;i:=1;whiletruedoresult[top]:=i;ok:=check(result,top,n);ifokthentop:=top+1;i:=1;elseifi<numbertheni:=i+1;elsetop:=top-1;i:=result[top]+1;whilei>=numberandtop>1dotop:=top-1;i:=result[top]+1;enddo;endif;endif;iftop>n*nthenA:=matrix(n,n,result);print(A);top:=top-1;i:=result[top]+1;whilei>=numberandtop>1dotop:=top-1;i:=result[top]+1;enddo;endif;iftop<=1andresult[top]>=numberthenreturn;endif;enddo;endproc:要運行該程序,只需輸入最大的N及方格的行數(shù)n即可:>Get(10,3);3.6貪欲法貪欲法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意的解的方法.貪欲法一般可以快速得到滿意的解,因為它省去了為找最優(yōu)解要窮盡全部可能而必需耗費的大量時間.貪欲法常以當前狀況為基礎作最優(yōu)選擇，而不考慮整體狀況,所以貪欲法不如回溯法.例如去商場購物找錢時,為使找回的零錢數(shù)最少,不考慮找零錢的全部可能的方案,而是從最大面值的幣種起先,按遞減的依次考慮各幣種,先盡量用大面值的幣種,當不足大面額時才去考慮下一種較小面值的幣種.這就是貪欲法.例12（裝箱問題）：設有編號為0，1，2，…，n-1的n種物品，體積分別為v0,v1,…,vn-1，將這n種物品裝到容量為V的箱子里.約定這n種物品的體積不超過V.不同的裝箱方案所須要的箱子數(shù)可能不同,求裝盡這n種物品的箱子數(shù)最少是多少？>count:=proc(cargo::list,volume::float)localm,n,box,i,j,box_count,cargos;m:=nops(cargo);cargos:=sort(cargo);box:=[];box_count:=0;forifrom1tomdon:=nops(box);forjfrom1tondoifvolume-value(convert(box[j],`+`))>cargos[i]thenbreak;endif;enddo;ifj=0thenbox:=[[cargos[i]]];elifj<=nthenbox[j]:=[op(box[j]),cargos[i]];elsebox:=[op(box),[cargos[i]]];box_count:=box_count+1;endif;enddo;return[box_count,box];endproc:>count([1,1.1,1.2,2,2.5,3.4,3,4,6,7.9,8,5],10.0);3.7數(shù)字模擬法數(shù)字模擬也稱數(shù)字仿真或計算機仿真,也就是用計算機模擬實物系統(tǒng),對實物系統(tǒng)的結構和行為進行動態(tài)演示,以評價或預料系統(tǒng)的行為效果,為決策供應信息.一般分為兩類:確定性模擬和隨機性模擬.在實際問題的求解中，當遇到很難建立數(shù)學模型或算法的問題時,通常接受模擬法.例13（戰(zhàn)艦問題）：一敵艦在某海疆內(nèi)沿正北方向航行時,我方戰(zhàn)艦恰位于敵艦的正西方向1nmile處,我艦向敵艦放射制導魚雷,敵艦速度為0.42nmile/min,魚雷的速度為敵艦速度的2倍.假設魚雷和敵艦距離<0.02nmile時敵艦被擊中,試寫出敵艦被擊中的Maple仿真程序.建立直角坐標系（圖1），設敵艦為動點Q，魚雷為動點P，Q點的初始位置為Q(1，0)，P點的初始位置為P(0，0).為了計算出追擊過程中每一時刻P點和Q點的詳細位置，需分別描P、Q兩點運動的方向、速度及位置變更規(guī)律。由于Q點從初始點動身沿y軸方向運動且速度為常數(shù)v,故Q點在t=tk時刻的位置為Q(1,v0tk)。由于P點的運動方向始終指向Q，設在t=tk時刻，P點位置是P(xk,yk),則向量，此時P點的運動方向可由其方向余弦表示：其重量表示為：P點運動速度為常數(shù)v=2v。取時間步長t=2s,設在t=t時刻，P點的位置為P(x,y)，于是P點的位置變更規(guī)律為:據(jù)此，可寫出其計算機仿真程序如下:>Digits:=4:with(plots):>f:=proc()locald,x,y,x1,y1,dt,v0,v1,t,i,j,px,py,qx,qy,F,G:i:=0:dt:=2:v0:=0.42/60:v1:=2*v0:x:=0:y:=0:d:=1:t:=0:whiled>0.02doi:=i+1:d:=sqrt((1-x)^2+(v0*t-y)^2):x1:=x+v1*dt*(1-x)/d:y1:=y+v1*dt*(v0*t-y)/d:x:=x1:y:=y1:t:=t+dt:px[i]:=x:py[i]:=y:qx[i]:=1:qy[i]:=v0*t:od:printf("擊中敵艦的時間t=%as\n",t);printf("[%12a,%12a]%12a\n",px,py,qx,qy);forjfrom1toidoprintf("[%12a,%12a]%12a\n",px[j],py[j],qy[j]);od:F:=plot([seq([px[j],py[j]],j=1..i)],style=point,color=red);G:=plot([seq([qx[j],qy[j]],j=1..i)],style=point,color=blue);display({F,G},scaling=constrained,title='Figure1');endproc:>f();擊中敵艦的時間t=96s數(shù)字模擬總體來說是一種近似方法.在上述問題的解決過程中,接受逐點掃描法將各個時刻的P,Q坐標標示出來,并推斷P,Q兩點間的距離而得結論.因此,時間步長,相應的最小距離值的是確定該問題解的精度的主要參數(shù).給參數(shù)賦不同的值將會得到不同的結果.當然,該問題還可通過數(shù)學分析的方法求解.下面的內(nèi)容想進一步說明仿真法和數(shù)學分析法的異同.設敵艦的速度為常數(shù)v0，追曲線為y=y(x)。即在時刻t，魚雷的位置在點P(x,y)處，這時敵艦的位置在Q(1,vt)處。由于魚雷在追擊過程中始終指向敵艦，而魚雷運動方向沿曲線的切線方向，所以有：即：兩邊對x求導，得：即：由已知魚雷的速度為2v，即：*因為所以，即代入（*）式得曲線滿意的微分方程模型令方程化為：分別變量，積分并代入初始條件計算得：即而兩式相減得干脆積分并代入初始條件得:這就是魚雷追擊曲線的方程.因魚雷擊中敵艦時，它的橫坐標x=1，代入曲線方程得y=.即敵艦航行至nmile處時將被擊中，這段航程所須要的時間是95.2381s.毫無疑問,隨著計算機技術的進一步普及,計算機模擬在科學探討中將會充當更為重要的角色.為了進一步展示計算機模擬的作用和地位,下面的例子是古典概型中一個典型問題—擲骰子問題的仿真:>ludo:=proc()localm,s,i,S,bool,dice,budeng;dice:=[seq(rand(1..6)(),i=1..10^5)]:print(`Theprobabilityofludoisasfollow:`);print(evalf(add(i,i=dice)/nops(dice)));s:=[]:print(`Theprobabilityofiofdiceisasfollow:`);formfrom1to6dos:=[op(s),evalf(nops(select(has,dice,m))/nops(dice))]:od:s:S:=s;forifrom1tonops(s)doprintf("s[%a]=%a\n",i,s[i]);S[i]:=evalf(ceil(s[i]*100)/100,2);od:budeng:=[];print(`So,wewillhavetheresultasfollows:`);printf("");forifrom1to6doifevalf(1/6,2)=evalf(s[i],2)thenprintf("s[%a]=",i);elsebudeng:=[op(budeng),i];endif;enddo;printf("0%a\n",evalf(1/6,2));ifbudeng<>[]thenprintf("");forifrom1tonops(budeng)doprintf("s[%a]=0%a",budeng[i],S[budeng[i]]);enddo;endif;return;endproc:>ludo();s[1]=.1664000000s[2]=.1683300000s[3]=.1674300000s[4]=.1651900000s[5]=.1651200000s[6]=.1675300000s[1]=s[2]=s[3]=s[4]=s[5]=s[6]=0.174子程序求值在Maple子程序中的語句,求值的方式和交互環(huán)境中的求值有所不同,這在某種程度上是為了提高子程序的執(zhí)行效率而考慮的.在交互式環(huán)境中,Maple對于一般的變量和表達式都進行完全求值(除了數(shù)組、映射表等數(shù)據(jù)結構外).比如先將b賦給a,再將c賦給b,則最終a的值也指向c.>a:=b:b:=c:a+1;但在子程序內(nèi)部狀況就不一樣了,試看下述試驗：>f:=proc()locala,b;a:=b;b:=c;a+1;end:結果盡然是：>f();這是因為a和b都是局部變量,Maple對于子程序中的局部變量只進行一層的求值.下面,我們針對子程序中的不同的變量,系統(tǒng)介紹其求值機制.4.1參數(shù)子程序中的參數(shù),就是那些在proc()的括號中的變量.參數(shù)是一類特殊的變量,在調(diào)用子程序時,會把它們替換成實際的參數(shù).>sqrt1:=proc(x::anything,y::name)y:=x^2;end:>sqrt1(d,ans);>ans;我們再來試試別的參數(shù),比如前面賦值過的a作為第一個參數(shù),其次個參數(shù)仍用ans,只不過加了單引號：>sqrt1(a,'ans');>ans;事實上,Maple在進入子程序以前就已經(jīng)對參數(shù)進行了求值,因為是在子程序外進行求值,所以求值規(guī)則聽從調(diào)用時所在的環(huán)境.上面是在交互式環(huán)境下調(diào)用sqrt1得到的結果,作為比照看看在子程序內(nèi)部調(diào)用上面的sqrt1子程序會有什么不同.>g:=proc()locala,b,ans;a:=b;b:=c;sqrt1(a,ans);end:>g();因為這次調(diào)用是在程序內(nèi)部,所以只進行第一層求值,進入sqrt1的參數(shù)值為b.Maple對于子程序的參數(shù),都只在調(diào)用之前進行一次求值,而在子程序內(nèi)部出現(xiàn)的地方都用這次求值的結果替換,而不再重新進行求值.如前所述之sqrt1：>sqrt1:=proc(x::anything,y::name)y:=x^2;y+1;end:>sqrt1(d,'ans');可見,對參數(shù)賦值的作用只有一個—返回確定的信息.因為在子程序內(nèi)部,恒久不會對參數(shù)求值.我們可以認為,參數(shù)是一個0層求值的變量.4.2局部變量和全局變量Maple對于局部變量只進行一層求值,也就相當于用eval(a,1)得到的結果.這種求值機制不僅可以提高效率,而且還有著更重要的作用.比如在程序中,我們往往須要把兩個變量的值交換,一般地,我們運用一個中間變量來完成這樣的交換.但假如求值機制和交互式環(huán)境中一樣,將達不到我們的目的.試看,在交互式環(huán)境下,我們企圖用這樣的方法交換兩個未被賦值的變量會有什么后果：>temp:=p:p:=q:q:=temp;不管在交互式環(huán)境下還是在程序中,Maple對于幾乎每一個全局變量都進行完全求值,而對于數(shù)組、映射表和子程序,Maple接受賦值鏈中的上一名稱來求值.除了上面這些特殊數(shù)據(jù)對象及下面一個特例外,總結起來,Maple對于子程序的參數(shù)進行0層求值,對于局部變量進行1層求值,而對于全局變量,則進行完全求值.對于上面說的求值規(guī)則,在Maple中還有個特例,就是“同上”操作符“％”須要引起留意.就其作用來說,它應當屬于局部變量.在進入一個子程序時,Maple會自動地把該子程序中的％設置成NULL(空).但是,對于這個“局部變量”,Maple不遵循上面的規(guī)則,無論在那兒都會將其完全求值.我們下面通過一個例子說明它在子程序中的求值機制：>f:=proc()locala,b,c,d;print("Atthebeginning,[%]is",%);a:=b;b:=c;c:=d;a+1;print("Now[%]is",%);end:>f();可以看出,盡管在子程序內(nèi)部,局部變量a僅進行一層求值,但指代a+1的同上操作符卻進行了完全求值,得到d+1的結果.4.3環(huán)境變量所謂環(huán)境變量就是從一個程序退出時系統(tǒng)自動設置的全局變量.Maple中有幾個內(nèi)建的環(huán)境變量，如Digits，Normalizer，Testzero,mod,printlevel等.從作用域來看,它們應當算作是全局變量.在求值上,它們也像其他全局變量一樣,始終都是完全求值.但是假如在子程序中間對環(huán)境變量進行了設置,那么,在退出該子程序時,系統(tǒng)會自動地將其復原成進入程序時的狀態(tài),以保證當前行時的環(huán)境.正因如此,我們稱其為環(huán)境變量.試看下面程序：>f:=proc()print("Enteringf.Digitsis",Digits);Digits:=20;print("NowDigitshasbecome",Digits);end:>g:=proc()print("Enteringg.Digitsis",Digits);Digits:=100;print("NowDigitsis",Digits);f();print("Backingfromf,Digitsis",Digits);end:>f();>g();>Digits;可以看出,從子程序g中返回時,Digits又被自動地設成了原來的值(10).假如你須要