初等數(shù)論習(xí)題集

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第1章

第1節(jié)

1.證明定理1。

2.證明：若m?p?mn?pq，則m?p?mq?np。

3.證明：任意給定的連續(xù)39個(gè)自然數(shù)，其中至少存在一個(gè)自然數(shù)，使得這個(gè)自然數(shù)的數(shù)字和能被11整除。

4.設(shè)p是n的最小素約數(shù)，n=pn1，n1>1，證明：若p>3n，則n1是素?cái)?shù)。5.證明：存在無窮多個(gè)自然數(shù)n，使得n不能表示為

a2?p（a>0是整數(shù)，p為素?cái)?shù)）

的形式。

第2節(jié)

1.證明：12?n4?2n3?11n2?10n，n?Z。2.設(shè)3?a2?b2，證明：3?a且3?b。

3.設(shè)n，k是正整數(shù)，證明：nk與nk+4的個(gè)位數(shù)字一致。

4.證明：對(duì)于任何整數(shù)n，m，等式n2?(n?1)2=m2?2不可能成立。5.設(shè)a是自然數(shù)，問a4?3a2?9是素?cái)?shù)還是合數(shù)？6.證明：對(duì)于任意給定的n個(gè)整數(shù)，必可以從中找出若干個(gè)作和，使得這個(gè)和能被n整除。

第3節(jié)

1.證明定理1中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。

2.證明定理2的推論1,推論2和推論3。3.證明定理4的推論1和推論3。

4.設(shè)x，y?Z，17?2x?3y，證明：17?9x?5y。

5.設(shè)a，b，c?N，c無平方因子，a2?b2c，證明：a?b。

32n?16.設(shè)n是正整數(shù)，求C12n,C2n,?,C2n的最大公約數(shù)。

第4節(jié)

1.證明定理1。

2.證明定理3的推論。

3.設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：(a?b)[a,b]=a[b,a?b]。

4.求正整數(shù)a，b，使得a?b=120，(a,b)=24，[a,b]=144。5.設(shè)a，b，c是正整數(shù)，證明：

[a,b,c]2(a,b,c)2?。

[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)6.設(shè)k是正奇數(shù)，證明：1?2???9?1k?2k???9k。

第5節(jié)

1.說明例1證明中所用到的四個(gè)事實(shí)的依據(jù)。

2.用輾轉(zhuǎn)相除法求整數(shù)x，y，使得1387x?162y=(1387,162)。

1

3.計(jì)算：(27090,21672,11352)。

4.使用引理1中的記號(hào)，證明：(Fn+1,Fn)=1。

5.若四個(gè)整數(shù)2836，4582，5164，6522被同一個(gè)大于1的整數(shù)除所得的余數(shù)一致，且不等于零，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？

6.記Mn=2n?1，證明：對(duì)于正整數(shù)a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。

第6節(jié)

1.證明定理1的推論1。2.證明定理1的推論2。

3.寫出22345680的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

4.證明：在1,2,?,2n中任取n?1數(shù)，其中至少有一個(gè)能被另一個(gè)整除。

115.證明：1????（n?2）不是整數(shù)。

2n6.設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：存在a1，a2，b1，b2，使得

a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，

并且[a,b]=a2b2。

第7節(jié)

1.證明定理1。

2.求使12347!被35k整除的最大的k值。

n?2r?13.設(shè)n是正整數(shù)，x是實(shí)數(shù)，證明：?[]=n。

2rr?1?4.設(shè)n是正整數(shù)，求方程

x2?[x2]=(x?[x])2

在[1,n]中的解的個(gè)數(shù)。

5.證明：方程

f(x)=[x]?[2x]?[22x]?[23x]?[24x]?[25x]=12345

沒有實(shí)數(shù)解。

6.證明：在n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，2的指數(shù)h=n?k，其中k是n的二進(jìn)制表示的位數(shù)碼之和。

第8節(jié)

1.證明：若2n?1是素?cái)?shù)，則n是2的乘冪。2.證明：若2n?1是素?cái)?shù)，則n是素?cái)?shù)。3.證明：形如6n?5的素?cái)?shù)有無限多個(gè)。

4.設(shè)d是正整數(shù)，6?|d，證明：在以d為公差的等差數(shù)列中，連續(xù)三項(xiàng)都是素?cái)?shù)的狀況最多發(fā)生一次。

5.證明：對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，必存在連續(xù)的n個(gè)自然數(shù)，使得它們都是合數(shù)。

?16.證明：級(jí)數(shù)?發(fā)散，此處使用了定理1注2中的記號(hào)。

pn?1n

第2章

2

第1節(jié)

1.證明定理1和定理2。2.證明定理4。

3.證明定理5中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。4.求81234被13除的余數(shù)。

5.設(shè)f(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，并且f(1),f(2),?,f(m)都不能被m整除，則f(x)=0沒有整數(shù)解。

6.已知99?62??427，求?與?。

第2節(jié)

1.證明定理1。

2.證明：若2p?1是奇素?cái)?shù)，則

(p!)2?(?1)p?0(mod2p?1)。3.證明：若p是奇素?cái)?shù)，N=1?2???(p?1)，則

(p?1)!?p?1(modN)。

4.證明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且

(n?1)!??1(modn)，

則n是素?cái)?shù)。

5.設(shè)m是整數(shù)，4?m，{a1,a2,?,am}與{b1,b2,?,bm}是模m的兩個(gè)完全剩余系，證明：{a1b1,a2b2,?,ambm}不是模m的完全剩余系。

6.設(shè)m1,m2,?,mn是兩兩互素的正整數(shù)，?i（1?i?n）是整數(shù)，并且

?i?1(modmi)，1?i?n，?i?0(modmj)，i?j，1?i,j?n。

證明：當(dāng)bi通過模mi（1?i?n）的完全剩余系時(shí)，b1?1?b2?2???bn?n

通過模m=m1m2?mn的完全剩余系。

第3節(jié)

1.證明定理1。

2.設(shè)m1,m2,?,mn是兩兩互素的正整數(shù)，xi分別通過模mi的簡(jiǎn)化剩余系（1?i?n），

mm=m1m2?mn，Mi=，則

miM1x1?M2x2???Mnxn

通過模m的簡(jiǎn)化剩余系。

3.設(shè)m>1，(a,m)=1，x1,x2,?,x?(m)是模m的簡(jiǎn)化剩余系，證明：

?(m)i?1?{mi}?2?(m)。

ax1其中{x}表示x的小數(shù)部分。

4.設(shè)m與n是正整數(shù)，證明：

?(mn)?((m,n))=(m,n)?(m)?(n)。

5.設(shè)a，b是任意給定的正整數(shù)，證明：存在無窮多對(duì)正整數(shù)m與n，使得

a?(m)=b?(n)。

6.設(shè)n是正整數(shù)，證明：

3

(ⅰ)?(n)>

1n；2(ⅱ)若n是合數(shù)，則?(n)?n?n。

第4節(jié)

1.證明：1978103?19783能被103整除。2.求313159被7除的余數(shù)。

3.證明：對(duì)于任意的整數(shù)a，(a,561)=1，都有a560?1(mod561)，但561是合數(shù)。4.設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，證明：

pq?1?qp?1?1(modpq)。

5.將612?1分解成素因數(shù)之積。

6.設(shè)n?N，b?N，對(duì)于bn?1的素因數(shù)，你有甚麼與例6相像的結(jié)論？

第4章

第1節(jié)

17寫成三個(gè)既約分?jǐn)?shù)之和，它們的分母分別是3，5和7。1052.求方程x1?2x2?3x3=41的所有正整數(shù)解。3.求解不定方程組：

1.將

?x1?2x2?3x3?7。?2x?5x?20x?1123?14.甲班有學(xué)生7人，乙班有學(xué)生11人，現(xiàn)有100支鉛筆分給這兩個(gè)班，要使甲班的

學(xué)生分到一致數(shù)量的鉛筆，乙班學(xué)生也分到一致數(shù)量的鉛筆，問應(yīng)怎樣分法？

5.證明：二元一次不定方程ax?by=n，a>0，b>0，(a,b)=1的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為[n]或[n]?1。abab(a?1)(b?1)個(gè)整數(shù)

26.設(shè)a與b是正整數(shù)，(a,b)=1，證明：1,2,?,ab?a?b中恰有可以表示成ax?by（x?0，y?0）的形式。

第2節(jié)

1.證明定理2推論。

2.設(shè)x，y，z是勾股數(shù)，x是素?cái)?shù)，證明：2z?1，2(x?y?1)都是平方數(shù)。3.求整數(shù)x，y，z，x>y>z，使x?y，x?z，y?z都是平方數(shù)。4.解不定方程：x2?3y2=z2，x>0，y>0，z>0，(x,y)=1。5.證明下面的不定方程沒有滿足xyz?0的整數(shù)解。

(ⅰ)x2?y2?z2=x2y2；(ⅱ)x2?y2?z2=2xyz。

6.求方程x2?y2=z4的滿足(x,y)=1，2?x的正整數(shù)解。

第3節(jié)

4

1.求方程x2?xy?6=0的整數(shù)解。?x?y?z?02.求方程組?3的整數(shù)解。33x?y?z??18?3.求方程2x?3y=1的正整數(shù)解。1114.求方程??的正整數(shù)解。

xyz5.設(shè)p是素?cái)?shù)，求方程

211??的整數(shù)解。pxy6.設(shè)2n?1個(gè)有理數(shù)a1,a2,?,a2n?