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文檔簡介
3第七 y
作業(yè) 多元函;x21y2;已知fx
x2y2,則x
x,y
x2y2x2y2z
x2y29
的定義域是xy4
2
9zln[xlnyx)]x,y,x0,yx1x,yx0,xyxsin
x,函數(shù)f(x,y) ,
的連續(xù)范圍 全平 z
yy2 y22x
x2x339
3393939x
t
t03
9 lim(x2y2)e(xy) y
22
lim
lim
lim10,lim
lim
lim
lim20t
t
t
t
t
t)
作業(yè) 偏導(dǎo)x2yf(x,yx2y
f
(3,4)251(2(3) 1 2x
y設(shè)uxz2
x yx2
z曲線: y
在點245處的切線與Ox軸正向的傾角是4x2.設(shè)uey2,
0 證:因為ue
1,ue
y2 所以2xuyu2xey21ye
2xey22xey22x
z
lnx
2x
2 zelnxlny
ln
2
lny
ln
ln2yln從 elnxlny
elnxlny
elnxlny
ylnx
x
2z
lnxln
lnyln
lnxln
1 lnylnx
x 設(shè)u
2u2u2uz22
0 0u
0yz
z x2yx2y2,y1 y 2 2 2 2
x2
2y2u
0xz2 z
x2y1 y
x x2y2 x2y2u
2 y2
所
x2
2
205.設(shè)函5.設(shè)函數(shù)fxy
x2
x.x試求fx,y的偏導(dǎo)函數(shù)
1x0fxxy4x
xxy fx,y2x2ysin1,
x x,y4x32xy2sin1x2y2cos x0,fx0y
fx,yf0,y
x2x2y2sin1lim 0
x
f0,ylimf0,yyf0,ylim00
y
y0 xfx,y4x32xy2sin1x2y2cos x偏導(dǎo)函數(shù)在0,3點處是否連續(xù)lim
xylim2x2ysin10f03
x,y在03點處連續(xù)xx0yx
lim
xylim4x32xy2sin1x2y2cos1不存在,從而
x,yx0x
x0
x 03點處不連作業(yè) 全微分及其應(yīng)(1)z
f(xy在點(x0,y0z
f(x,yzx2y3在點21處,當x0.02y0.01z 4,全微分dz0.20z
f(xy在點(x0,y0處的全增量為z,全微分為dz
f(x,y(x0,y0處的全增量與全微分的關(guān)系式是zdzodzx2x2y
在點(01處的dudxu(lny)cosx,則du(lny)cosxlnlnysinxdx ux
du
xz
()y
(y)xdxydylnydz 2x2y2x2y2z
x2
z2 2.證明fxy
在點00處連續(xù)fx00fy00存在,但在0f(0y)0,f(x0)0fy(000,fx(00)0z 不存在,從而在0,0處不可微
x2
x23.設(shè)函數(shù)fxy3.設(shè)函數(shù)fxy
x2
x2y2x2y2試證(1)函數(shù)fxy在點00處是可微的
f0,0xxx
fx,0f0,x
x2sin1x
0,f
0,0z又
2 x2y x2y 0
x2y
所以函數(shù)fx,y在點00處是可微(2)函數(shù)fxx,y在點00處不連續(xù)xx2y20,x
x,y2x
x2
x2y2
x2
fxxylim2xsin 2cos 2
x
xyfxx,y在點00處不連作業(yè) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法zu2lnvuyv3y2xxz
2
22ln3y2xx23y2x2zx2yxy2xucosvyusinv v
v
vsin2vsinvsin2vcosv z x2y2設(shè)ux
,z
yxxy
2xlnxy
xyzx2
2siny,ysinx, 2sin(1)設(shè)u
fx,yf具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求u,u和uy y 解
1
f1,u
x
1x
1
,u
yy 1
y2
z2
(2)設(shè)ufxyz,zy,t,tyxf,,u和u duf1dxf2dyf3dzdz1dy2dtdt1dyf1f322dxf2f31f321 xf1f322yf2f31(1)z
1 1 ,其中fu可微, fx2y2
x y
z2xyf,z12yf2 f f1
1z
12xyf
1 2y2f 所 x yy f
yf
f yf 2 (2)設(shè)z xy,其中可微,則
xxyy
02證:因為z yxy,z2yxxy2 2 2 2
xxyyyx3x2yxyxy3xxxy y2x2 2y2 2 x y2 2zxf2x,x,f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求xy
y2 解:因為xfx2f1f2x2f2xf1
f2 2
2
2 2 2所以xyyf2xf1
f2
f22xf12x
f2
f224yf12
4u2
y)xx
y)x2
x
xy
0證:因為uyy2u2yy2y2
, 2u1y
y 1
,yx
從而左22y
2
xx3x4x3
2xyx2x3x2
x2
x 作業(yè) 隱函數(shù)求導(dǎo)
3
3xy0
dyd
x2;xx2yzzxyz,則dz
0,則x 2xyz2xyzxy z2dyyzln;xyyzln已知cos2xcos2ycos2z1,則dzsin2xdxsin2ydysinzfxzzyfdz
zf1dxf2dy1xf1Fyzxyyz0F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求x2FzFyyz0z
1 2
F2z
FyF
FyF y2FFFF
y2FFFyFFFyF 21 22FyF
2 22FyF
d d求由方程組x22y23z2dz2xdx2
所確定的yx及zx的導(dǎo) d d解:由已知2xdx4ydy6zdz02xdx2dz2xdx6zdz
dz ,dyx6xyxdx2ydy3z2xdx2ydy
13z 2y6xzfuuuyPtdt確定uxyfux與u均可微;Pt,u連續(xù)u1.試證:PyzPxz0zfuuzfuu
x uuuPx,uP
1uuuuPy,uPy
1uPyzPxzPyfuPxPxfuPy
1ux
1u2z2z 2fuzfesiny滿足方程fu
解:因為x
uex
2sin
uex
sin
f
u
sin 2
fuecosy,y2fuecosyfue(sin2z2z
fue2xf(u)e2x,fuf(u) r210r1r1,fuceuc 作業(yè) 方向?qū)?shù)與梯 z4x29y2在點2,1的梯度為gradz16,18函數(shù)uxyz在點(111處沿方向l{coscoscos}coscoscos,且函數(shù)u在該點的梯度是函數(shù)uexcos(yz在點(000)處沿方向
3函數(shù)uln(x1
y2z2A(101AB(322)向?qū)?shù)是.2求ux2y2z2A(a00)B(0a0)
A2x,2y,2zA{2a,0,graduB2x,2y,2zB{0,2a,ABABABAB
02zx2xyy2在點1,1沿方向l2,1zz的值不變?gradz1,12xy2yx1,133l2,1,z{3,3}
,13 5
5 25 251212z在該點沿梯度相反方向,即沿與梯度垂直的那個方向,即
1212122 zxx2x軸正向到l得轉(zhuǎn)角為fxy
x2y2x2y2在點00處沿著方向l的方向?qū)?shù)
cos,sin,cos
,sin xx2yx2由于該函數(shù)在點0,0處不可微,從而不能xx2yx2f
fx,yf0,
x2
lim
x2
x2
x2cossin1sin2作業(yè) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)z4x2y2P的切平面平行于平面2x2yz1zez2xy3在點120處的切平面方程是2xy43x22y2由曲線z 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點M0,3,2 18處的指向內(nèi)側(cè)的單位法向量為0, , x22y23z221在點122處的法線方程
x y y xtyt2zt3Px2yz41 1的坐標是1,1,1或 , 3 27xsin2tysintcostzcos2t在對應(yīng)于的點tπ4222解:切點為1,1,1,T2sintcostcos2tsin2t2costsin222
x
y
z
xz1從而切線為 2 2 2, y x1z10xz 2 121212 121212求兩個圓柱面的交線:x2z21在點M 處的切線和法平
x
y
z切線為 1
2,,法平面為xyz 12 求曲面ax2by2cz21abc0在點xyz12 n2ax02by02cz0}//{ax0by0axxbyyczz1xx0yy0z
y2
b
22求函數(shù)z1a2b2在點M 處沿曲線a222
1 22 2y
2
Ma2,b2
, b
2y
2 na2,
bnn2a2nn2a2b2xzxfyx 證:設(shè)切點為x0,y0z0 則n
fy0,fy0,
xfy0x
x x
1,
x0
0 0
0 切平面為
fy0xxfy0yyz
x x x 0 0
0xyz0作業(yè) 多元函數(shù)的極函數(shù)zx34x22xyy2的極值 zx4y4x22xyy2的極值點是1,1,11zx3y33x23y29x的極值點是1032zx2y222x22y2f10f102函數(shù)ze2xx2yy2的極值是e2 證明z1eycosxyey有無窮多個極大值點,但無極小值點.z1eysinx0zeycosxeyyey xkkZy1k 又 1eycosx, ey(cosx2y), ey ACB21k11e1k1e1k11021k21e1k1e1k1只有當k為偶數(shù)時才大于零,從而才有極值。而這時A1k11e1k10zlnx3lnyx2y225下的極值.Llnx3lnyx2y225
Lxx2x0Lyy2y0xy25
,y 從而225x225,y275,x5,y53, 4ln53ln
fxyx2y2x2y24上的最大值與最小值.fx2x0,fy2y0xy0得駐點,Lx2y2x2y2L2x2x0L2y2y0,x2y24 若0則必有x0,y0,x2y24 若0則必有x0,y2,或x2,y0,f000,f204,f024,最小值為在半徑為R的半球內(nèi)求一積為最大的內(nèi)接長方體解:設(shè)在第一卦限內(nèi)的頂點坐標為xyz,則V4xyzx2y2z2L4xyzx2y2z2R2,則由L4yz2x0,L4xz2y0,
4xy2z0,x2y2z2 33可得xyzR 43R3,其長寬均 23R,高為333 x2y2求橢圓xyz1解:由對稱性,得知橢圓的中心點為0,0,1而問題轉(zhuǎn)化為求在約束條件x2y2xyz
d
d2R2z
x2y2zLR2z12x2y2R2x2y2z2R,Lx2x0Ly2y0Lz2z12R,2從而,當0xyxy2
R,z
22當00z1xyRd22x2y2于是橢圓xyz1的長半軸為3RR第七章《多元函數(shù)微分學(xué)》測試試單項選擇題(3分二重極限
2y4值為 x1x 2
二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)和fy(x0,y0)都存在,則f(x,y)( (B)在該點連續(xù)可微(C)在該點沿任意方向的方向?qū)?shù)存在;(D)函數(shù)fx,yx2ay2a0在0,0處 (A)不取極值 (B)取極小值;(C)取極大值;(D)是否取極值依賴于axtyt2zt3x2yz4平行的切線 (A)1(B)2(C)3(D)z
fu,v,其中uex,vxy,下面運算中 I:
x
,II
2
2v(A)I、II都不正確 (B)I正確,II不正確(C)I不正確,II正確 (D)I、II都正確填空題(3分PVRTPV
z
x xydxxyx2y x2y x x2xxy函數(shù)u xxyxy,其中xzyzz z
zxyP處的法線l平行于直線
:x6
y 2z1 y
x1x
y21
z
1 2設(shè)zxf ),其中f,g均為二階可微函數(shù), x zfxfyyg1yg1fyfyg
2 2
xfx
yg1g2 f11fyf1gygxgx
fgxg
xg x
12
22 22
22
y
設(shè)uxyv
,試以新變量uvy
x2
y
0z z
2 2
2 1 1
2
2z122 xuyvy22
2y
yuvyy
y yzz
z
2 2
2
x
2x x
2z
2zx
x 2
2x
x
2
2
x
2322222322
v yy2
uvy
y已知z
fxyxyzf,dzddzf1dxf2dydx1dydy2dzdxdz
fdx
2dzdx,dz
fdxfdzf
1 2 (f)dz(ff)dx,dz1f1 2 1
f 26n是曲面z
2y2
在P1,2,3處指向外側(cè)的法向量,求3x23y23x23y2zxn2x,y
22 指向下側(cè)在此即拋物面的外側(cè)3 3du
dv
6xdx6ydy2zdzx3x23y2z2232
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