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文檔簡介

3第七 y

作業(yè) 多元函;x21y2;已知fx

x2y2,則x

x,y

x2y2x2y2z

x2y29

的定義域是xy4

2

9zln[xlnyx)]x,y,x0,yx1x,yx0,xyxsin

x,函數(shù)f(x,y) ,

的連續(xù)范圍 全平 z

yy2 y22x

x2x339

3393939x

t

t03

9 lim(x2y2)e(xy) y

22

lim

lim

lim10,lim

lim

lim

lim20t

t

t

t

t

t)

作業(yè) 偏導(dǎo)x2yf(x,yx2y

f

(3,4)251(2(3) 1 2x

y設(shè)uxz2

x yx2

z曲線: y

在點245處的切線與Ox軸正向的傾角是4x2.設(shè)uey2,

0 證:因為ue

1,ue

y2 所以2xuyu2xey21ye

2xey22xey22x

z

lnx

2x

2 zelnxlny

ln

2

lny

ln

ln2yln從 elnxlny

elnxlny

elnxlny

ylnx

x

2z

lnxln

lnyln

lnxln

1 lnylnx

x 設(shè)u

2u2u2uz22

0 0u

0yz

z x2yx2y2,y1 y 2 2 2 2

x2

2y2u

0xz2 z

x2y1 y

x x2y2 x2y2u

2 y2

x2

2

205.設(shè)函5.設(shè)函數(shù)fxy

x2

x.x試求fx,y的偏導(dǎo)函數(shù)

1x0fxxy4x

xxy fx,y2x2ysin1,

x x,y4x32xy2sin1x2y2cos x0,fx0y

fx,yf0,y

x2x2y2sin1lim 0

x

f0,ylimf0,yyf0,ylim00

y

y0 xfx,y4x32xy2sin1x2y2cos x偏導(dǎo)函數(shù)在0,3點處是否連續(xù)lim

xylim2x2ysin10f03

x,y在03點處連續(xù)xx0yx

lim

xylim4x32xy2sin1x2y2cos1不存在,從而

x,yx0x

x0

x 03點處不連作業(yè) 全微分及其應(yīng)(1)z

f(xy在點(x0,y0z

f(x,yzx2y3在點21處,當x0.02y0.01z 4,全微分dz0.20z

f(xy在點(x0,y0處的全增量為z,全微分為dz

f(x,y(x0,y0處的全增量與全微分的關(guān)系式是zdzodzx2x2y

在點(01處的dudxu(lny)cosx,則du(lny)cosxlnlnysinxdx ux

du

xz

()y

(y)xdxydylnydz 2x2y2x2y2z

x2

z2 2.證明fxy

在點00處連續(xù)fx00fy00存在,但在0f(0y)0,f(x0)0fy(000,fx(00)0z 不存在,從而在0,0處不可微

x2

x23.設(shè)函數(shù)fxy3.設(shè)函數(shù)fxy

x2

x2y2x2y2試證(1)函數(shù)fxy在點00處是可微的

f0,0xxx

fx,0f0,x

x2sin1x

0,f

0,0z又

2 x2y x2y 0

x2y

所以函數(shù)fx,y在點00處是可微(2)函數(shù)fxx,y在點00處不連續(xù)xx2y20,x

x,y2x

x2

x2y2

x2

fxxylim2xsin 2cos 2

x

xyfxx,y在點00處不連作業(yè) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法zu2lnvuyv3y2xxz

2

22ln3y2xx23y2x2zx2yxy2xucosvyusinv v

v

vsin2vsinvsin2vcosv z x2y2設(shè)ux

,z

yxxy

2xlnxy

xyzx2

2siny,ysinx, 2sin(1)設(shè)u

fx,yf具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求u,u和uy y 解

1

f1,u

x

1x

1

,u

yy 1

y2

z2

(2)設(shè)ufxyz,zy,t,tyxf,,u和u duf1dxf2dyf3dzdz1dy2dtdt1dyf1f322dxf2f31f321 xf1f322yf2f31(1)z

1 1 ,其中fu可微, fx2y2

x y

z2xyf,z12yf2 f f1

1z

12xyf

1 2y2f 所 x yy f

yf

f yf 2 (2)設(shè)z xy,其中可微,則

xxyy

02證:因為z yxy,z2yxxy2 2 2 2

xxyyyx3x2yxyxy3xxxy y2x2 2y2 2 x y2 2zxf2x,x,f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求xy

y2 解:因為xfx2f1f2x2f2xf1

f2 2

2

2 2 2所以xyyf2xf1

f2

f22xf12x

f2

f224yf12

4u2

y)xx

y)x2

x

xy

0證:因為uyy2u2yy2y2

, 2u1y

y 1

,yx

從而左22y

2

xx3x4x3

2xyx2x3x2

x2

x 作業(yè) 隱函數(shù)求導(dǎo)

3

3xy0

dyd

x2;xx2yzzxyz,則dz

0,則x 2xyz2xyzxy z2dyyzln;xyyzln已知cos2xcos2ycos2z1,則dzsin2xdxsin2ydysinzfxzzyfdz

zf1dxf2dy1xf1Fyzxyyz0F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求x2FzFyyz0z

1 2

F2z

FyF

FyF y2FFFF

y2FFFyFFFyF 21 22FyF

2 22FyF

d d求由方程組x22y23z2dz2xdx2

所確定的yx及zx的導(dǎo) d d解:由已知2xdx4ydy6zdz02xdx2dz2xdx6zdz

dz ,dyx6xyxdx2ydy3z2xdx2ydy

13z 2y6xzfuuuyPtdt確定uxyfux與u均可微;Pt,u連續(xù)u1.試證:PyzPxz0zfuuzfuu

x uuuPx,uP

1uuuuPy,uPy

1uPyzPxzPyfuPxPxfuPy

1ux

1u2z2z 2fuzfesiny滿足方程fu

解:因為x

uex

2sin

uex

sin

f

u

sin 2

fuecosy,y2fuecosyfue(sin2z2z

fue2xf(u)e2x,fuf(u) r210r1r1,fuceuc 作業(yè) 方向?qū)?shù)與梯 z4x29y2在點2,1的梯度為gradz16,18函數(shù)uxyz在點(111處沿方向l{coscoscos}coscoscos,且函數(shù)u在該點的梯度是函數(shù)uexcos(yz在點(000)處沿方向

3函數(shù)uln(x1

y2z2A(101AB(322)向?qū)?shù)是.2求ux2y2z2A(a00)B(0a0)

A2x,2y,2zA{2a,0,graduB2x,2y,2zB{0,2a,ABABABAB

02zx2xyy2在點1,1沿方向l2,1zz的值不變?gradz1,12xy2yx1,133l2,1,z{3,3}

,13 5

5 25 251212z在該點沿梯度相反方向,即沿與梯度垂直的那個方向,即

1212122 zxx2x軸正向到l得轉(zhuǎn)角為fxy

x2y2x2y2在點00處沿著方向l的方向?qū)?shù)

cos,sin,cos

,sin xx2yx2由于該函數(shù)在點0,0處不可微,從而不能xx2yx2f

fx,yf0,

x2

lim

x2

x2

x2cossin1sin2作業(yè) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)z4x2y2P的切平面平行于平面2x2yz1zez2xy3在點120處的切平面方程是2xy43x22y2由曲線z 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點M0,3,2 18處的指向內(nèi)側(cè)的單位法向量為0, , x22y23z221在點122處的法線方程

x y y xtyt2zt3Px2yz41 1的坐標是1,1,1或 , 3 27xsin2tysintcostzcos2t在對應(yīng)于的點tπ4222解:切點為1,1,1,T2sintcostcos2tsin2t2costsin222

x

y

z

xz1從而切線為 2 2 2, y x1z10xz 2 121212 121212求兩個圓柱面的交線:x2z21在點M 處的切線和法平

x

y

z切線為 1

2,,法平面為xyz 12 求曲面ax2by2cz21abc0在點xyz12 n2ax02by02cz0}//{ax0by0axxbyyczz1xx0yy0z

y2

b

22求函數(shù)z1a2b2在點M 處沿曲線a222

1 22 2y

2

Ma2,b2

, b

2y

2 na2,

bnn2a2nn2a2b2xzxfyx 證:設(shè)切點為x0,y0z0 則n

fy0,fy0,

xfy0x

x x

1,

x0

0 0

0 切平面為

fy0xxfy0yyz

x x x 0 0

0xyz0作業(yè) 多元函數(shù)的極函數(shù)zx34x22xyy2的極值 zx4y4x22xyy2的極值點是1,1,11zx3y33x23y29x的極值點是1032zx2y222x22y2f10f102函數(shù)ze2xx2yy2的極值是e2 證明z1eycosxyey有無窮多個極大值點,但無極小值點.z1eysinx0zeycosxeyyey xkkZy1k 又 1eycosx, ey(cosx2y), ey ACB21k11e1k1e1k11021k21e1k1e1k1只有當k為偶數(shù)時才大于零,從而才有極值。而這時A1k11e1k10zlnx3lnyx2y225下的極值.Llnx3lnyx2y225

Lxx2x0Lyy2y0xy25

,y 從而225x225,y275,x5,y53, 4ln53ln

fxyx2y2x2y24上的最大值與最小值.fx2x0,fy2y0xy0得駐點,Lx2y2x2y2L2x2x0L2y2y0,x2y24 若0則必有x0,y0,x2y24 若0則必有x0,y2,或x2,y0,f000,f204,f024,最小值為在半徑為R的半球內(nèi)求一積為最大的內(nèi)接長方體解:設(shè)在第一卦限內(nèi)的頂點坐標為xyz,則V4xyzx2y2z2L4xyzx2y2z2R2,則由L4yz2x0,L4xz2y0,

4xy2z0,x2y2z2 33可得xyzR 43R3,其長寬均 23R,高為333 x2y2求橢圓xyz1解:由對稱性,得知橢圓的中心點為0,0,1而問題轉(zhuǎn)化為求在約束條件x2y2xyz

d

d2R2z

x2y2zLR2z12x2y2R2x2y2z2R,Lx2x0Ly2y0Lz2z12R,2從而,當0xyxy2

R,z

22當00z1xyRd22x2y2于是橢圓xyz1的長半軸為3RR第七章《多元函數(shù)微分學(xué)》測試試單項選擇題(3分二重極限

2y4值為 x1x 2

二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)和fy(x0,y0)都存在,則f(x,y)( (B)在該點連續(xù)可微(C)在該點沿任意方向的方向?qū)?shù)存在;(D)函數(shù)fx,yx2ay2a0在0,0處 (A)不取極值 (B)取極小值;(C)取極大值;(D)是否取極值依賴于axtyt2zt3x2yz4平行的切線 (A)1(B)2(C)3(D)z

fu,v,其中uex,vxy,下面運算中 I:

x

,II

2

2v(A)I、II都不正確 (B)I正確,II不正確(C)I不正確,II正確 (D)I、II都正確填空題(3分PVRTPV

z

x xydxxyx2y x2y x x2xxy函數(shù)u xxyxy,其中xzyzz z

zxyP處的法線l平行于直線

:x6

y 2z1 y

x1x

y21

z

1 2設(shè)zxf ),其中f,g均為二階可微函數(shù), x zfxfyyg1yg1fyfyg

2 2

xfx

yg1g2 f11fyf1gygxgx

fgxg

xg x

12

22 22

22

y

設(shè)uxyv

,試以新變量uvy

x2

y

0z z

2 2

2 1 1

2

2z122 xuyvy22

2y

yuvyy

y yzz

z

2 2

2

x

2x x

2z

2zx

x 2

2x

x

2

2

x

2322222322

v yy2

uvy

y已知z

fxyxyzf,dzddzf1dxf2dydx1dydy2dzdxdz

fdx

2dzdx,dz

fdxfdzf

1 2 (f)dz(ff)dx,dz1f1 2 1

f 26n是曲面z

2y2

在P1,2,3處指向外側(cè)的法向量,求3x23y23x23y2zxn2x,y

22 指向下側(cè)在此即拋物面的外側(cè)3 3du

dv

6xdx6ydy2zdzx3x23y2z2232

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